HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  unop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unop 31450
Description: Basic inner product property of a unitary operator. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unop ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต))

Proof of Theorem unop
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elunop 31407 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†” (๐‘‡: โ„‹โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ)))
21simprbi 496 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
323ad2ant1 1132 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
4 fveq2 6891 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐ด))
54oveq1d 7427 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
6 oveq1 7419 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = (๐ด ยทih ๐‘ฆ))
75, 6eqeq12d 2747 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†” ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐ด ยทih ๐‘ฆ)))
8 fveq2 6891 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘‡โ€˜๐ต))
98oveq2d 7428 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)))
10 oveq2 7420 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐ด ยทih ๐‘ฆ) = (๐ด ยทih ๐ต))
119, 10eqeq12d 2747 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐ด ยทih ๐‘ฆ) โ†” ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต)))
127, 11rspc2v 3622 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต)))
13123adant1 1129 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต)))
143, 13mpd 15 1 ((๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (๐ด ยทih ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3060  โ€“ontoโ†’wfo 6541  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   โ„‹chba 30454   ยทih csp 30457  UniOpcuo 30484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-hilex 30534
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-unop 31378
This theorem is referenced by:  unopf1o  31451  unopnorm  31452  cnvunop  31453  unopadj  31454  counop  31456
  Copyright terms: Public domain W3C validator