Theorem lo1bdd 15713

Description: The defining property of an eventually upper bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lo1bdd	⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦

Proof of Theorem lo1bdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1))
2		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
3		fdm 6738	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → dom 𝐹 = 𝐴)
5		lo1dm 15712	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
7	4, 6	eqsstrrd 3948	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
8		ello12 15709	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))
9	2, 7, 8	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))
10	1, 9	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  ℝcr 11223   ≤ cle 11368  ≤𝑂(1)clo1 15680

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-er 8742  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-ico 13506  df-lo1 15684

This theorem is used by:  lo1res  15752