Theorem lo1bdd 15538

Description: The defining property of an eventually upper bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lo1bdd	⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦

Proof of Theorem lo1bdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1))
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
3		fdm 6725	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → dom 𝐹 = 𝐴)
5		lo1dm 15537	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
7	4, 6	eqsstrrd 3999	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
8		ello12 15534	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))
9	2, 7, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))
10	1, 9	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5123  dom cdm 5665  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  ℝcr 11136   ≤ cle 11278  ≤𝑂(1)clo1 15505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8727  df-pm 8851  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-ico 13375  df-lo1 15509

This theorem is referenced by:  lo1res  15577