Theorem lo1bdd 15477

Description: The defining property of an eventually upper bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lo1bdd	⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦

Proof of Theorem lo1bdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1))
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
3		fdm 6673	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → dom 𝐹 = 𝐴)
5		lo1dm 15476	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
7	4, 6	eqsstrrd 3958	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
8		ello12 15473	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))
9	2, 7, 8	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))
10	1, 9	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  dom cdm 5626  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  ℝcr 11032   ≤ cle 11175  ≤𝑂(1)clo1 15444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-po 5534  df-so 5535  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8638  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-ico 13299  df-lo1 15448

This theorem is referenced by:  lo1res  15516