Theorem lo1bdd 15573

Description: The defining property of an eventually upper bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lo1bdd	⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦

Proof of Theorem lo1bdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1))
2		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
3		fdm 6718	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → dom 𝐹 = 𝐴)
5		lo1dm 15572	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
6	5	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
7	4, 6	eqsstrrd 3980	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
8		ello12 15569	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))
9	2, 7, 8	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))
10	1, 9	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  dom cdm 5664  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  ℝcr 11101   ≤ cle 11246  ≤𝑂(1)clo1 15540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5559  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-ico 13380  df-lo1 15544

This theorem is referenced by:  lo1res  15612