Theorem lo1le 15618

Description: Transfer eventual upper boundedness from a larger function to a smaller function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lo1le.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
lo1le.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1le.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
lo1le.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
lo1le.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → 𝐶 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lo1le	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem lo1le

Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1le.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
3		lo1le.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
5	2, 4	ifcld 4535	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝑀) ∈ ℝ)
6	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑀 ∈ ℝ)
7		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
8		lo1le.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
9	8	ralrimiva 3125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
10		dmmptg 6215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
12		lo1dm 15485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
13	1, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
14	11, 13	eqsstrrd 3982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
15	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
17	15, 16	sseldd 3947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
18		maxle 13151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝑀 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 ↔ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥)))
19	6, 7, 17, 18	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (if(𝑀 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 ↔ (𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥)))
20		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑥)
21	19, 20	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (if(𝑀 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 → 𝑦 ≤ 𝑥))
22	21	imim1d 82	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) → (if(𝑀 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
23		lo1le.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
24	23	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
25	24	adantrll 722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
26		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝜑)
27		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐴)
28		lo1le.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
29	26, 27, 28	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → 𝐶 ∈ ℝ)
30	8, 1	lo1mptrcl 15588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	26, 27, 30	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
32		simprll 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → 𝑚 ∈ ℝ)
33		letr 11268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑚) → 𝐶 ≤ 𝑚))
34	29, 31, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → ((𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑚) → 𝐶 ≤ 𝑚))
35	25, 34	mpand 695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → (𝐵 ≤ 𝑚 → 𝐶 ≤ 𝑚))
36	35	expr 456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑀 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 → 𝐶 ≤ 𝑚)))
37	36	adantrd 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((𝑀 ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → (𝐵 ≤ 𝑚 → 𝐶 ≤ 𝑚)))
38	19, 37	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (if(𝑀 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 → 𝐶 ≤ 𝑚)))
39	38	a2d 29	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((if(𝑀 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) → (if(𝑀 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑚)))
40	22, 39	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) → (if(𝑀 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑚)))
41	40	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) → (if(𝑀 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑚)))
42	41	ralimdva 3145	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (if(𝑀 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑚)))
43	42	reximdva 3146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (if(𝑀 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑚)))
44		breq1 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = if(𝑀 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝑀) → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ if(𝑀 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥))
45	44	imbi1d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = if(𝑀 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝑀) → ((𝑧 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑚) ↔ (if(𝑀 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑚)))
46	45	rexralbidv 3203	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = if(𝑀 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝑀) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (if(𝑀 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑚)))
47	46	rspcev 3588	. . . . 5 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝑀) ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (if(𝑀 ≤ 𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑚)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑚))
48	5, 43, 47	syl6an 684	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑚)))
49	48	rexlimdva 3134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑚)))
50	14, 30	ello1mpt 15487	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
51	14, 28	ello1mpt 15487	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑚)))
52	49, 50, 51	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1)))
53	1, 52	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914  ifcif 4488   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638  ℝcr 11067   ≤ cle 11209  ≤𝑂(1)clo1 15453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-ico 13312  df-lo1 15457

This theorem is referenced by:  o1le  15619  vmalogdivsum2  27449  pntrlog2bndlem1  27488  pntrlog2bndlem5  27492