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Theorem lo1le 15595
Description: Transfer eventual upper boundedness from a larger function to a smaller function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1le.1 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
lo1le.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1le.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
lo1le.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
lo1le.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
lo1le (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem lo1le
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1le.2 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
2 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
3 lo1le.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
52, 4ifcld 4566 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ∈ ℝ)
63ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑀 ∈ ℝ)
7 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
8 lo1le.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
98ralrimiva 3138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
10 dmmptg 6231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
12 lo1dm 15460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
131, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
1411, 13eqsstrrd 4013 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1514ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑥𝐴)
1715, 16sseldd 3975 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
18 maxle 13167 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 ↔ (𝑀𝑥𝑦𝑥)))
196, 7, 17, 18syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 ↔ (𝑀𝑥𝑦𝑥)))
20 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑥𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
2119, 20syl6bi 253 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝑦𝑥))
2221imim1d 82 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → ((𝑦𝑥𝐵𝑚) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐵𝑚)))
23 lo1le.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐶𝐵)
2423adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐶𝐵)
2524adantrll 719 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥)) → 𝐶𝐵)
26 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝜑)
27 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥) → 𝑥𝐴)
28 lo1le.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
2926, 27, 28syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥)) → 𝐶 ∈ ℝ)
308, 1lo1mptrcl 15563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3126, 27, 30syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
32 simprll 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥)) → 𝑚 ∈ ℝ)
33 letr 11305 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵𝐵𝑚) → 𝐶𝑚))
3429, 31, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥)) → ((𝐶𝐵𝐵𝑚) → 𝐶𝑚))
3525, 34mpand 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥)) → (𝐵𝑚𝐶𝑚))
3635expr 456 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → (𝑀𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑚)))
3736adantrd 491 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → ((𝑀𝑥𝑦𝑥) → (𝐵𝑚𝐶𝑚)))
3819, 37sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑚)))
3938a2d 29 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → ((if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐵𝑚) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)))
4022, 39syld 47 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → ((𝑦𝑥𝐵𝑚) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)))
4140anassrs 467 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑦𝑥𝐵𝑚) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)))
4241ralimdva 3159 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) → ∀𝑥𝐴 (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)))
4342reximdva 3160 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)))
44 breq1 5141 . . . . . . . 8 (𝑧 = if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) → (𝑧𝑥 ↔ if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥))
4544imbi1d 341 . . . . . . 7 (𝑧 = if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) → ((𝑧𝑥𝐶𝑚) ↔ (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)))
4645rexralbidv 3212 . . . . . 6 (𝑧 = if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥𝐶𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)))
4746rspcev 3604 . . . . 5 ((if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥𝐶𝑚))
485, 43, 47syl6an 681 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥𝐶𝑚)))
4948rexlimdva 3147 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥𝐶𝑚)))
5014, 30ello1mpt 15462 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
5114, 28ello1mpt 15462 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥𝐶𝑚)))
5249, 50, 513imtr4d 294 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1)))
531, 52mpd 15 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053  wrex 3062  wss 3940  ifcif 4520   class class class wbr 5138  cmpt 5221  dom cdm 5666  cr 11105  cle 11246  ≤𝑂(1)clo1 15428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-ico 13327  df-lo1 15432
This theorem is referenced by:  o1le  15596  vmalogdivsum2  27387  pntrlog2bndlem1  27426  pntrlog2bndlem5  27430
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