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Theorem lo1le 15542
Description: Transfer eventual upper boundedness from a larger function to a smaller function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1le.1 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
lo1le.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1le.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
lo1le.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
lo1le.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
lo1le (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem lo1le
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1le.2 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
2 simpr 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
3 lo1le.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
43adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
52, 4ifcld 4533 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ∈ ℝ)
63ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑀 ∈ ℝ)
7 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
8 lo1le.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
98ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
10 dmmptg 6195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
12 lo1dm 15407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
131, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
1411, 13eqsstrrd 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑥𝐴)
1715, 16sseldd 3946 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
18 maxle 13116 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 ↔ (𝑀𝑥𝑦𝑥)))
196, 7, 17, 18syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 ↔ (𝑀𝑥𝑦𝑥)))
20 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑥𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
2119, 20syl6bi 253 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝑦𝑥))
2221imim1d 82 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → ((𝑦𝑥𝐵𝑚) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐵𝑚)))
23 lo1le.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐶𝐵)
2423adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐶𝐵)
2524adantrll 721 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥)) → 𝐶𝐵)
26 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝜑)
27 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥) → 𝑥𝐴)
28 lo1le.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
2926, 27, 28syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥)) → 𝐶 ∈ ℝ)
308, 1lo1mptrcl 15510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3126, 27, 30syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
32 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥)) → 𝑚 ∈ ℝ)
33 letr 11254 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵𝐵𝑚) → 𝐶𝑚))
3429, 31, 32, 33syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥)) → ((𝐶𝐵𝐵𝑚) → 𝐶𝑚))
3525, 34mpand 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥)) → (𝐵𝑚𝐶𝑚))
3635expr 458 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → (𝑀𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑚)))
3736adantrd 493 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → ((𝑀𝑥𝑦𝑥) → (𝐵𝑚𝐶𝑚)))
3819, 37sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑚)))
3938a2d 29 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → ((if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐵𝑚) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)))
4022, 39syld 47 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → ((𝑦𝑥𝐵𝑚) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)))
4140anassrs 469 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑦𝑥𝐵𝑚) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)))
4241ralimdva 3161 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) → ∀𝑥𝐴 (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)))
4342reximdva 3162 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)))
44 breq1 5109 . . . . . . . 8 (𝑧 = if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) → (𝑧𝑥 ↔ if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥))
4544imbi1d 342 . . . . . . 7 (𝑧 = if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) → ((𝑧𝑥𝐶𝑚) ↔ (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)))
4645rexralbidv 3211 . . . . . 6 (𝑧 = if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥𝐶𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)))
4746rspcev 3580 . . . . 5 ((if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥𝐶𝑚))
485, 43, 47syl6an 683 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥𝐶𝑚)))
4948rexlimdva 3149 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥𝐶𝑚)))
5014, 30ello1mpt 15409 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
5114, 28ello1mpt 15409 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥𝐶𝑚)))
5249, 50, 513imtr4d 294 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1)))
531, 52mpd 15 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070  wss 3911  ifcif 4487   class class class wbr 5106  cmpt 5189  dom cdm 5634  cr 11055  cle 11195  ≤𝑂(1)clo1 15375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-ico 13276  df-lo1 15379
This theorem is referenced by:  o1le  15543  vmalogdivsum2  26902  pntrlog2bndlem1  26941  pntrlog2bndlem5  26945
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