Theorem lo1o1 15607

Description: A function is eventually bounded iff its absolute value is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lo1o1	⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))

Proof of Theorem lo1o1

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1dm 15605	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
2		fdm 6719	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
3	2	sseq1d 3969	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (dom 𝐹 ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
4	1, 3	imbitrid 247	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐴 ⊆ ℝ))
5		lo1dm 15594	. . 3 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) → dom (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
6		absf 15413	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
7		fco 6734	. . . . . 6 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (abs ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
8	6, 7	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (abs ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
9	8	fdmd 6720	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom (abs ∘ 𝐹) = 𝐴)
10	9	sseq1d 3969	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (dom (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
11	5, 10	imbitrid 247	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) → 𝐴 ⊆ ℝ))
12		fvco3 6985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
13	12	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
14	13	breq1d 5121	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))
15	14	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≤ 𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚) ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
16	15	ralbidva 3188	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
17	16	2rexbidv 3232	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
18		ello12 15591	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
19	8, 18	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
20		elo12 15602	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
21	17, 19, 20	3bitr4rd 315	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))
22	21	ex 418	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1))))
23	4, 11, 22	pm5.21ndd 382	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  dom cdm 5663   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  ℂcc 11113  ℝcr 11114   ≤ cle 11259  abscabs 15309  𝑂(1)co1 15561  ≤𝑂(1)clo1 15562

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-ico 13394  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-o1 15565  df-lo1 15566

This theorem is used by:  lo1o12  15608  o1res  15635