Theorem lo1o1 15485

Description: A function is eventually bounded iff its absolute value is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lo1o1	⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))

Proof of Theorem lo1o1

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1dm 15483	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
2		fdm 6664	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
3	2	sseq1d 3946	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (dom 𝐹 ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
4	1, 3	imbitrid 245	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐴 ⊆ ℝ))
5		lo1dm 15472	. . 3 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) → dom (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
6		absf 15291	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
7		fco 6679	. . . . . 6 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (abs ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
8	6, 7	mpan 696	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (abs ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
9	8	fdmd 6665	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom (abs ∘ 𝐹) = 𝐴)
10	9	sseq1d 3946	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (dom (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
11	5, 10	imbitrid 245	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) → 𝐴 ⊆ ℝ))
12		fvco3 6927	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
13	12	adantlr 721	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
14	13	breq1d 5082	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))
15	14	imbi2d 341	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≤ 𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚) ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
16	15	ralbidva 3160	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
17	16	2rexbidv 3204	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
18		ello12 15469	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
19	8, 18	sylan 586	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
20		elo12 15480	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
21	17, 19, 20	3bitr4rd 313	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))
22	21	ex 413	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1))))
23	4, 11, 22	pm5.21ndd 380	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072  dom cdm 5618   ∘ ccom 5622  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  ℂcc 11027  ℝcr 11028   ≤ cle 11171  abscabs 15187  𝑂(1)co1 15439  ≤𝑂(1)clo1 15440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ico 13295  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-o1 15443  df-lo1 15444

This theorem is referenced by:  lo1o12  15486  o1res  15513