Theorem lo1o1 15743

Description: A function is eventually bounded iff its absolute value is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lo1o1	⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))

Proof of Theorem lo1o1

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1dm 15741	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
2		fdm 6749	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
3	2	sseq1d 3944	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (dom 𝐹 ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
4	1, 3	imbitrid 247	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐴 ⊆ ℝ))
5		lo1dm 15730	. . 3 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) → dom (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
6		absf 15548	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
7		fco 6764	. . . . . 6 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (abs ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
8	6, 7	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (abs ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
9	8	fdmd 6750	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom (abs ∘ 𝐹) = 𝐴)
10	9	sseq1d 3944	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (dom (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
11	5, 10	imbitrid 247	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) → 𝐴 ⊆ ℝ))
12		fvco3 7016	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
13	12	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
14	13	breq1d 5118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))
15	14	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≤ 𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚) ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
16	15	ralbidva 3187	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
17	16	2rexbidv 3231	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
18		ello12 15727	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
19	8, 18	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
20		elo12 15738	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
21	17, 19, 20	3bitr4rd 315	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))
22	21	ex 418	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1))))
23	4, 11, 22	pm5.21ndd 382	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108  dom cdm 5658   ∘ ccom 5662  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  ℂcc 11237  ℝcr 11238   ≤ cle 11383  abscabs 15444  𝑂(1)co1 15697  ≤𝑂(1)clo1 15698

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ico 13522  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-o1 15701  df-lo1 15702

This theorem is used by:  lo1o12  15744  o1res  15771