Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1o1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1o1 14901
 Description: A function is eventually bounded iff its absolute value is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lo1o1 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))

Proof of Theorem lo1o1
Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1dm 14899 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
2 fdm 6503 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
32sseq1d 3948 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (dom 𝐹 ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
41, 3syl5ib 247 . 2 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐴 ⊆ ℝ))
5 lo1dm 14888 . . 3 ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) → dom (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
6 absf 14709 . . . . . 6 abs:ℂ⟶ℝ
7 fco 6513 . . . . . 6 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (abs ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
86, 7mpan 689 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (abs ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
98fdmd 6505 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom (abs ∘ 𝐹) = 𝐴)
109sseq1d 3948 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (dom (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
115, 10syl5ib 247 . 2 (𝐹:𝐴⟶ℂ → ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) → 𝐴 ⊆ ℝ))
12 fvco3 6747 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑦𝐴) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹𝑦)))
1312adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹𝑦)))
1413breq1d 5044 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚 ↔ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑚))
1514imbi2d 344 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚) ↔ (𝑥𝑦 → (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑚)))
1615ralbidva 3161 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑚)))
17162rexbidv 3260 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑚)))
18 ello12 14885 . . . . 5 (((abs ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
198, 18sylan 583 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
20 elo12 14896 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑚)))
2117, 19, 203bitr4rd 315 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))
2221ex 416 . 2 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1))))
234, 11, 22pm5.21ndd 384 1 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5034  dom cdm 5523   ∘ ccom 5527  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  ℂcc 10542  ℝcr 10543   ≤ cle 10683  abscabs 14605  𝑂(1)co1 14855  ≤𝑂(1)clo1 14856 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-pm 8410  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-sup 8908  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-rp 12398  df-ico 12752  df-seq 13385  df-exp 13446  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-o1 14859  df-lo1 14860 This theorem is referenced by:  lo1o12  14902  o1res  14929
 Copyright terms: Public domain W3C validator