Theorem lo1o1 15553

Description: A function is eventually bounded iff its absolute value is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lo1o1	⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))

Proof of Theorem lo1o1

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1dm 15551	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
2		fdm 6720	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
3	2	sseq1d 3995	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (dom 𝐹 ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
4	1, 3	imbitrid 244	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐴 ⊆ ℝ))
5		lo1dm 15540	. . 3 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) → dom (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
6		absf 15361	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
7		fco 6735	. . . . . 6 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (abs ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
8	6, 7	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (abs ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
9	8	fdmd 6721	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom (abs ∘ 𝐹) = 𝐴)
10	9	sseq1d 3995	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (dom (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
11	5, 10	imbitrid 244	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) → 𝐴 ⊆ ℝ))
12		fvco3 6983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
13	12	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
14	13	breq1d 5134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))
15	14	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≤ 𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚) ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
16	15	ralbidva 3162	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
17	16	2rexbidv 3210	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
18		ello12 15537	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
19	8, 18	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) ≤ 𝑚)))
20		elo12 15548	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
21	17, 19, 20	3bitr4rd 312	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))
22	21	ex 412	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1))))
23	4, 11, 22	pm5.21ndd 379	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124  dom cdm 5659   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  ℂcc 11132  ℝcr 11133   ≤ cle 11275  abscabs 15258  𝑂(1)co1 15507  ≤𝑂(1)clo1 15508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-ico 13373  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-o1 15511  df-lo1 15512

This theorem is referenced by:  lo1o12  15554  o1res  15581