Theorem o1lo1 15704

Description: A real function is eventually bounded iff it is eventually lower bounded and eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
o1lo1.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
o1lo1	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem o1lo1

Dummy variables 𝑚 𝑐 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1dm 15697	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ))
3		lo1dm 15686	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ))
6		o1lo1.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
8		dmmptg 6243	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
10	9	sseq1d 3962	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
11		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ∈ ℝ)
12	6	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
15	13, 14	absled 15600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑚 ↔ ( -𝑚 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑚)))
16		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (( -𝑚 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝑚 ≤ 𝐵))
17		lenegcon1 11820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ( -𝑚 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 𝑚))
18	14, 13, 17	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( -𝑚 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 𝑚))
19	18	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝑚 ≤ 𝐵) ↔ (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚)))
20	16, 19	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (( -𝑚 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚)))
21	15, 20	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑚 ↔ (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚)))
22	21	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))))
23	22	ralbidva 3184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))))
24	23	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))))
25	24	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))))
26		breq2 5107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐵 ≤ 𝑛 ↔ 𝐵 ≤ 𝑚))
27	26	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝) ↔ (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)))
28	27	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝))))
29	28	rexralbidv 3229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝))))
30		breq2 5107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → ( -𝐵 ≤ 𝑝 ↔ -𝐵 ≤ 𝑚))
31	30	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → ((𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝) ↔ (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚)))
32	31	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))))
33	32	rexralbidv 3229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))))
34	29, 33	rspc2ev 3589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)))
35	34	3anidm12 1446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)))
36	11, 25, 35	syl6an 697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝))))
37	36	rexlimdva 3164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝))))
38		simplrr 790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑛 ≤ 𝑝) → 𝑝 ∈ ℝ)
39		simplrl 789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ ¬ 𝑛 ≤ 𝑝) → 𝑛 ∈ ℝ)
40	38, 39	ifclda 4518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ)
41		max2 13317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 𝑝 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))
42	41	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑝 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))
43	12	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
44	43	renegcld 11743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
45		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℝ)
46		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
47	45, 46	ifcld 4529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ)
48		letr 11404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (( -𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ∧ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ) → (( -𝐵 ≤ 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)) → -𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
49	44, 45, 47, 48	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (( -𝐵 ≤ 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)) → -𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
50	42, 49	mpan2d 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( -𝐵 ≤ 𝑝 → -𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
51		lenegcon1 11820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ) → ( -𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ↔ -if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵))
52	43, 47, 51	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( -𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ↔ -if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵))
53	50, 52	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( -𝐵 ≤ 𝑝 → -if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵))
54		max1 13315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 𝑛 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))
55	54	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))
56		letr 11404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
57	43, 46, 47, 56	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
58	55, 57	mpan2d 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≤ 𝑛 → 𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
59	53, 58	anim12d 621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (( -𝐵 ≤ 𝑝 ∧ 𝐵 ≤ 𝑛) → ( -if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
60	59	ancomsd 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝) → ( -if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
61	43, 47	absled 15600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ↔ ( -if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
62	60, 61	sylibrd 262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝) → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
63	62	imim2d 58	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) → (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
64	63	ralimdva 3175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
65	64	reximdv 3178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
66		breq2 5107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑚 ↔ (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
67	66	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
68	67	rexralbidv 3229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
69	68	rspcev 3577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚))
70	40, 65, 69	syl6an 697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
71	70	rexlimdvva 3220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
72	37, 71	impbid 215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝))))
73		rexanre 15514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))))
74	73	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))))
75	74	2rexbidv 3228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))))
76	72, 75	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))))
77		reeanv 3235	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝)))
78	76, 77	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))))
79		rexcom 3292	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚))
80		rexcom 3292	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛))
81		rexcom 3292	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))
82	80, 81	anbi12i 640	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝)))
83	78, 79, 82	3bitr4g 317	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))))
84		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
85	12	recnd 11337	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
86	84, 85	elo1mpt 15701	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
87	84, 12	ello1mpt 15688	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛)))
88	12	renegcld 11743	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
89	84, 88	ello1mpt 15688	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝)))
90	87, 89	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))))
91	83, 86, 90	3bitr4d 314	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
92	91	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))))
93	10, 92	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))))
94	2, 5, 93	pm5.21ndd 382	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651  ‘cfv 6538  ℝcr 11199   ≤ cle 11344   -cneg 11542  abscabs 15401  𝑂(1)co1 15653  ≤𝑂(1)clo1 15654

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-o1 15657  df-lo1 15658

This theorem is used by:  o1lo12  15705  o1lo1d  15706  icco1  15707  lo1sub  15798