Theorem o1lo1 14716

Description: A real function is eventually bounded iff it is eventually lower bounded and eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
o1lo1.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
o1lo1	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem o1lo1

Dummy variables 𝑚 𝑐 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1dm 14709	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ))
3		lo1dm 14698	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
4	3	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ))
6		o1lo1.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	ralrimiva 3147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
8		dmmptg 5963	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
10	9	sseq1d 3914	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
11		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ∈ ℝ)
12	6	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
15	13, 14	absled 14612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑚 ↔ (-𝑚 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑚)))
16		ancom 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-𝑚 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝑚 ≤ 𝐵))
17		lenegcon1 10981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝑚 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 𝑚))
18	14, 13, 17	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-𝑚 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 𝑚))
19	18	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝑚 ≤ 𝐵) ↔ (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚)))
20	16, 19	syl5bb 284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((-𝑚 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚)))
21	15, 20	bitrd 280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑚 ↔ (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚)))
22	21	imbi2d 342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))))
23	22	ralbidva 3161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))))
24	23	rexbidv 3257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))))
25	24	biimpd 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))))
26		breq2 4960	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐵 ≤ 𝑛 ↔ 𝐵 ≤ 𝑚))
27	26	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝) ↔ (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)))
28	27	imbi2d 342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝))))
29	28	rexralbidv 3261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝))))
30		breq2 4960	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → (-𝐵 ≤ 𝑝 ↔ -𝐵 ≤ 𝑚))
31	30	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → ((𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝) ↔ (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚)))
32	31	imbi2d 342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))))
33	32	rexralbidv 3261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))))
34	29, 33	rspc2ev 3569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)))
35	34	3anidm12 1410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)))
36	11, 25, 35	syl6an 680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝))))
37	36	rexlimdva 3244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝))))
38		simplrr 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑛 ≤ 𝑝) → 𝑝 ∈ ℝ)
39		simplrl 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ ¬ 𝑛 ≤ 𝑝) → 𝑛 ∈ ℝ)
40	38, 39	ifclda 4409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ)
41		max2 12419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 𝑝 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))
42	41	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑝 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))
43	12	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
44	43	renegcld 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
45		simplrr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℝ)
46		simplrl 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
47	45, 46	ifcld 4420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ)
48		letr 10570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ∧ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ) → ((-𝐵 ≤ 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)) → -𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
49	44, 45, 47, 48	syl3anc 1362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((-𝐵 ≤ 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)) → -𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
50	42, 49	mpan2d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-𝐵 ≤ 𝑝 → -𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
51		lenegcon1 10981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ↔ -if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵))
52	43, 47, 51	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ↔ -if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵))
53	50, 52	sylibd 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-𝐵 ≤ 𝑝 → -if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵))
54		max1 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 𝑛 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))
55	54	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))
56		letr 10570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
57	43, 46, 47, 56	syl3anc 1362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
58	55, 57	mpan2d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≤ 𝑛 → 𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
59	53, 58	anim12d 608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((-𝐵 ≤ 𝑝 ∧ 𝐵 ≤ 𝑛) → (-if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
60	59	ancomsd 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝) → (-if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
61	43, 47	absled 14612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ↔ (-if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
62	60, 61	sylibrd 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝) → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
63	62	imim2d 57	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) → (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
64	63	ralimdva 3142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
65	64	reximdv 3233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
66		breq2 4960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑚 ↔ (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
67	66	imbi2d 342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
68	67	rexralbidv 3261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
69	68	rspcev 3554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚))
70	40, 65, 69	syl6an 680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
71	70	rexlimdvva 3254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
72	37, 71	impbid 213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝))))
73		rexanre 14528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))))
74	73	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))))
75	74	2rexbidv 3260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))))
76	72, 75	bitrd 280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))))
77		reeanv 3325	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝)))
78	76, 77	syl6bb 288	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))))
79		rexcom 3313	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚))
80		rexcom 3313	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛))
81		rexcom 3313	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))
82	80, 81	anbi12i 626	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝)))
83	78, 79, 82	3bitr4g 315	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))))
84		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
85	12	recnd 10504	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
86	84, 85	elo1mpt 14713	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
87	84, 12	ello1mpt 14700	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛)))
88	12	renegcld 10904	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
89	84, 88	ello1mpt 14700	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝)))
90	87, 89	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))))
91	83, 86, 90	3bitr4d 312	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
92	91	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))))
93	10, 92	sylbid 241	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))))
94	2, 5, 93	pm5.21ndd 381	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1520   ∈ wcel 2079  ∀wral 3103  ∃wrex 3104   ⊆ wss 3854  ifcif 4375   class class class wbr 4956   ↦ cmpt 5035  dom cdm 5435  ‘cfv 6217  ℝcr 10371   ≤ cle 10511  -cneg 10707  abscabs 14415  𝑂(1)co1 14665  ≤𝑂(1)clo1 14666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-pm 8250  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-sup 8742  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-rp 12229  df-ico 12583  df-seq 13208  df-exp 13268  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-o1 14669  df-lo1 14670

This theorem is referenced by:  o1lo12  14717  o1lo1d  14718  icco1  14719  lo1sub  14809