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Theorem o1lo1 14553
Description: A real function is eventually bounded iff it is eventually lower bounded and eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
o1lo1.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
o1lo1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem o1lo1
Dummy variables 𝑚 𝑐 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1dm 14546 . . 3 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ))
3 lo1dm 14535 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
43adantr 472 . . 3 (((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
54a1i 11 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ))
6 o1lo1.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
76ralrimiva 3113 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
8 dmmptg 5818 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
109sseq1d 3792 . . 3 (𝜑 → (dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
11 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ∈ ℝ)
126adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
1312adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
1513, 14absled 14454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑚 ↔ (-𝑚𝐵𝐵𝑚)))
16 ancom 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-𝑚𝐵𝐵𝑚) ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝑚𝐵))
17 lenegcon1 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝑚𝐵 ↔ -𝐵𝑚))
1814, 13, 17syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝑚𝐵 ↔ -𝐵𝑚))
1918anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑚 ∧ -𝑚𝐵) ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚)))
2016, 19syl5bb 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((-𝑚𝐵𝐵𝑚) ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚)))
2115, 20bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑚 ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚)))
2221imbi2d 331 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
2322ralbidva 3132 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
2423rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
2524biimpd 220 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
26 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (𝐵𝑛𝐵𝑚))
2726anbi1d 623 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝) ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝)))
2827imbi2d 331 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝))))
2928rexralbidv 3205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝))))
30 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑚 → (-𝐵𝑝 ↔ -𝐵𝑚))
3130anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑚 → ((𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝) ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚)))
3231imbi2d 331 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = 𝑚 → ((𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
3332rexralbidv 3205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑚 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
3429, 33rspc2ev 3476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)))
35343anidm12 1542 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)))
3611, 25, 35syl6an 674 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝))))
3736rexlimdva 3178 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝))))
38 simplrr 796 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑛𝑝) → 𝑝 ∈ ℝ)
39 simplrl 795 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ ¬ 𝑛𝑝) → 𝑛 ∈ ℝ)
4038, 39ifclda 4277 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ)
41 max2 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 𝑝 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))
4241ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑝 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))
4312adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4443renegcld 10711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
45 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑝 ∈ ℝ)
46 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
4745, 46ifcld 4288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ)
48 letr 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ∧ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ) → ((-𝐵𝑝𝑝 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)) → -𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
4944, 45, 47, 48syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((-𝐵𝑝𝑝 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)) → -𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
5042, 49mpan2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝐵𝑝 → -𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
51 lenegcon1 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ↔ -if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵))
5243, 47, 51syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ↔ -if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵))
5350, 52sylibd 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝐵𝑝 → -if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵))
54 max1 12218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 𝑛 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))
5554ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))
56 letr 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ) → ((𝐵𝑛𝑛 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
5743, 46, 47, 56syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑛𝑛 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
5855, 57mpan2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝑛𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
5953, 58anim12d 602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((-𝐵𝑝𝐵𝑛) → (-if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6059ancomsd 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝) → (-if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6143, 47absled 14454 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ↔ (-if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6260, 61sylibrd 250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝) → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
6362imim2d 57 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) → (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6463ralimdva 3109 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → (∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) → ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6564reximdv 3162 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
66 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑚 ↔ (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
6766imbi2d 331 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) → ((𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6867rexralbidv 3205 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6968rspcev 3461 . . . . . . . . . . 11 ((if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚))
7040, 65, 69syl6an 674 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
7170rexlimdvva 3185 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
7237, 71impbid 203 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝))))
73 rexanre 14371 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
7473adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
75742rexbidv 3204 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
7672, 75bitrd 270 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
77 reeanv 3254 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝)))
7876, 77syl6bb 278 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
79 rexcom 3246 . . . . . 6 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚))
80 rexcom 3246 . . . . . . 7 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛))
81 rexcom 3246 . . . . . . 7 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))
8280, 81anbi12i 620 . . . . . 6 ((∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝)))
8378, 79, 823bitr4g 305 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
84 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
8512recnd 10322 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
8684, 85elo1mpt 14550 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
8784, 12ello1mpt 14537 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛)))
8812renegcld 10711 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
8984, 88ello1mpt 14537 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝)))
9087, 89anbi12d 624 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
9183, 86, 903bitr4d 302 . . . 4 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
9291ex 401 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))))
9310, 92sylbid 231 . 2 (𝜑 → (dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))))
942, 5, 93pm5.21ndd 370 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  wss 3732  ifcif 4243   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  cfv 6068  cr 10188  cle 10329  -cneg 10521  abscabs 14259  𝑂(1)co1 14502  ≤𝑂(1)clo1 14503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-ico 12383  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-o1 14506  df-lo1 14507
This theorem is referenced by:  o1lo12  14554  o1lo1d  14555  icco1  14556  lo1sub  14646
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