Theorem o1lo1 15510

Description: A real function is eventually bounded iff it is eventually lower bounded and eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
o1lo1.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
o1lo1	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem o1lo1

Dummy variables 𝑚 𝑐 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1dm 15503	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ))
3		lo1dm 15492	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ))
6		o1lo1.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
8		dmmptg 6218	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
10	9	sseq1d 3981	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
11		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ∈ ℝ)
12	6	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
15	13, 14	absled 15406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑚 ↔ (-𝑚 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑚)))
16		ancom 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-𝑚 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝑚 ≤ 𝐵))
17		lenegcon1 11689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝑚 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 𝑚))
18	14, 13, 17	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-𝑚 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 𝑚))
19	18	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝑚 ≤ 𝐵) ↔ (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚)))
20	16, 19	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((-𝑚 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚)))
21	15, 20	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑚 ↔ (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚)))
22	21	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))))
23	22	ralbidva 3155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))))
24	23	rexbidv 3158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))))
25	24	biimpd 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))))
26		breq2 5114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐵 ≤ 𝑛 ↔ 𝐵 ≤ 𝑚))
27	26	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝) ↔ (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)))
28	27	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝))))
29	28	rexralbidv 3204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝))))
30		breq2 5114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → (-𝐵 ≤ 𝑝 ↔ -𝐵 ≤ 𝑚))
31	30	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → ((𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝) ↔ (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚)))
32	31	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))))
33	32	rexralbidv 3204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))))
34	29, 33	rspc2ev 3604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)))
35	34	3anidm12 1421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ -𝐵 ≤ 𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)))
36	11, 25, 35	syl6an 684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝))))
37	36	rexlimdva 3135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝))))
38		simplrr 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑛 ≤ 𝑝) → 𝑝 ∈ ℝ)
39		simplrl 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ ¬ 𝑛 ≤ 𝑝) → 𝑛 ∈ ℝ)
40	38, 39	ifclda 4527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ)
41		max2 13154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 𝑝 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))
42	41	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑝 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))
43	12	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
44	43	renegcld 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
45		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ ℝ)
46		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
47	45, 46	ifcld 4538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ)
48		letr 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ∧ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ) → ((-𝐵 ≤ 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)) → -𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
49	44, 45, 47, 48	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((-𝐵 ≤ 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)) → -𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
50	42, 49	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-𝐵 ≤ 𝑝 → -𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
51		lenegcon1 11689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ↔ -if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵))
52	43, 47, 51	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ↔ -if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵))
53	50, 52	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-𝐵 ≤ 𝑝 → -if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵))
54		max1 13152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 𝑛 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))
55	54	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))
56		letr 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
57	43, 46, 47, 56	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
58	55, 57	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≤ 𝑛 → 𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
59	53, 58	anim12d 609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((-𝐵 ≤ 𝑝 ∧ 𝐵 ≤ 𝑛) → (-if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
60	59	ancomsd 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝) → (-if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
61	43, 47	absled 15406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ↔ (-if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
62	60, 61	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝) → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
63	62	imim2d 57	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) → (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
64	63	ralimdva 3146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
65	64	reximdv 3149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
66		breq2 5114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑚 ↔ (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛)))
67	66	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
68	67	rexralbidv 3204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))))
69	68	rspcev 3591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛 ≤ 𝑝, 𝑝, 𝑛))) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚))
70	40, 65, 69	syl6an 684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
71	70	rexlimdvva 3195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
72	37, 71	impbid 212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝))))
73		rexanre 15320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))))
74	73	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))))
75	74	2rexbidv 3203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑛 ∧ -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))))
76	72, 75	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))))
77		reeanv 3210	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝)))
78	76, 77	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))))
79		rexcom 3267	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚))
80		rexcom 3267	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛))
81		rexcom 3267	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))
82	80, 81	anbi12i 628	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝)))
83	78, 79, 82	3bitr4g 314	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))))
84		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
85	12	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
86	84, 85	elo1mpt 15507	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
87	84, 12	ello1mpt 15494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛)))
88	12	renegcld 11612	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
89	84, 88	ello1mpt 15494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝)))
90	87, 89	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → -𝐵 ≤ 𝑝))))
91	83, 86, 90	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
92	91	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))))
93	10, 92	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))))
94	2, 5, 93	pm5.21ndd 379	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  ℝcr 11074   ≤ cle 11216  -cneg 11413  abscabs 15207  𝑂(1)co1 15459  ≤𝑂(1)clo1 15460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-o1 15463  df-lo1 15464

This theorem is referenced by:  o1lo12  15511  o1lo1d  15512  icco1  15513  lo1sub  15604