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Theorem o1lo1 15463
Description: A real function is eventually bounded iff it is eventually lower bounded and eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
o1lo1.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
o1lo1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem o1lo1
Dummy variables 𝑚 𝑐 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1dm 15456 . . 3 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ))
3 lo1dm 15445 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
43adantr 481 . . 3 (((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
54a1i 11 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ))
6 o1lo1.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
76ralrimiva 3145 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
8 dmmptg 6230 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
109sseq1d 4009 . . 3 (𝜑 → (dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
11 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ∈ ℝ)
126adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
1312adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
1513, 14absled 15359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑚 ↔ (-𝑚𝐵𝐵𝑚)))
16 ancom 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-𝑚𝐵𝐵𝑚) ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝑚𝐵))
17 lenegcon1 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝑚𝐵 ↔ -𝐵𝑚))
1814, 13, 17syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝑚𝐵 ↔ -𝐵𝑚))
1918anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑚 ∧ -𝑚𝐵) ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚)))
2016, 19bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((-𝑚𝐵𝐵𝑚) ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚)))
2115, 20bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑚 ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚)))
2221imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
2322ralbidva 3174 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
2423rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
2524biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
26 breq2 5145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (𝐵𝑛𝐵𝑚))
2726anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝) ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝)))
2827imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝))))
2928rexralbidv 3219 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝))))
30 breq2 5145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑚 → (-𝐵𝑝 ↔ -𝐵𝑚))
3130anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑚 → ((𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝) ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚)))
3231imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = 𝑚 → ((𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
3332rexralbidv 3219 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑚 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
3429, 33rspc2ev 3620 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)))
35343anidm12 1419 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)))
3611, 25, 35syl6an 682 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝))))
3736rexlimdva 3154 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝))))
38 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑛𝑝) → 𝑝 ∈ ℝ)
39 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ ¬ 𝑛𝑝) → 𝑛 ∈ ℝ)
4038, 39ifclda 4557 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ)
41 max2 13148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 𝑝 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))
4241ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑝 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))
4312adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4443renegcld 11623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
45 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑝 ∈ ℝ)
46 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
4745, 46ifcld 4568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ)
48 letr 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ∧ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ) → ((-𝐵𝑝𝑝 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)) → -𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
4944, 45, 47, 48syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((-𝐵𝑝𝑝 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)) → -𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
5042, 49mpan2d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝐵𝑝 → -𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
51 lenegcon1 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ↔ -if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵))
5243, 47, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ↔ -if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵))
5350, 52sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝐵𝑝 → -if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵))
54 max1 13146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 𝑛 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))
5554ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))
56 letr 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ) → ((𝐵𝑛𝑛 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
5743, 46, 47, 56syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑛𝑛 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
5855, 57mpan2d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝑛𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
5953, 58anim12d 609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((-𝐵𝑝𝐵𝑛) → (-if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6059ancomsd 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝) → (-if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6143, 47absled 15359 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ↔ (-if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6260, 61sylibrd 258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝) → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
6362imim2d 57 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) → (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6463ralimdva 3166 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → (∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) → ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6564reximdv 3169 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
66 breq2 5145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑚 ↔ (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
6766imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) → ((𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6867rexralbidv 3219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6968rspcev 3609 . . . . . . . . . . 11 ((if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚))
7040, 65, 69syl6an 682 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
7170rexlimdvva 3210 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
7237, 71impbid 211 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝))))
73 rexanre 15275 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
7473adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
75742rexbidv 3218 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
7672, 75bitrd 278 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
77 reeanv 3225 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝)))
7876, 77bitrdi 286 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
79 rexcom 3286 . . . . . 6 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚))
80 rexcom 3286 . . . . . . 7 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛))
81 rexcom 3286 . . . . . . 7 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))
8280, 81anbi12i 627 . . . . . 6 ((∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝)))
8378, 79, 823bitr4g 313 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
84 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
8512recnd 11224 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
8684, 85elo1mpt 15460 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
8784, 12ello1mpt 15447 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛)))
8812renegcld 11623 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
8984, 88ello1mpt 15447 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝)))
9087, 89anbi12d 631 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
9183, 86, 903bitr4d 310 . . . 4 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
9291ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))))
9310, 92sylbid 239 . 2 (𝜑 → (dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))))
942, 5, 93pm5.21ndd 380 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060  wrex 3069  wss 3944  ifcif 4522   class class class wbr 5141  cmpt 5224  dom cdm 5669  cfv 6532  cr 11091  cle 11231  -cneg 11427  abscabs 15163  𝑂(1)co1 15412  ≤𝑂(1)clo1 15413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9419  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-ico 13312  df-seq 13949  df-exp 14010  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-o1 15416  df-lo1 15417
This theorem is referenced by:  o1lo12  15464  o1lo1d  15465  icco1  15466  lo1sub  15557
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