Theorem lo1add 15534

Description: The sum of two eventually upper bounded functions is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1add2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
o1add2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
lo1add.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1add.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1))

Assertion

Ref	Expression
lo1add	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem lo1add

Dummy variables 𝑚 𝑐 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1add.3	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
2		lo1add.4	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
3		reeanv 3204	. . . 4 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)))
4		o1add2.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	4	ralrimiva 3124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
6		dmmptg 6189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8		lo1dm 15426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
9	1, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
10	7, 9	eqsstrrd 3970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12		rexanre 15254	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛))))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛))))
14		readdcl 11089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℝ)
15	14	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℝ)
16	4, 1	lo1mptrcl 15529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
18		o1add2.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
19	18, 2	lo1mptrcl 15529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
20	19	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
21		simplrl 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
22		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
23		le2add 11599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → ((𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛) → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛)))
24	17, 20, 21, 22, 23	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛) → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛)))
25	24	imim2d 57	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) → (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛))))
26	25	ralimdva 3144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛))))
27		breq2 5095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = (𝑚 + 𝑛) → ((𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝 ↔ (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛)))
28	27	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = (𝑚 + 𝑛) → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝) ↔ (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛))))
29	28	ralbidv 3155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = (𝑚 + 𝑛) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛))))
30	29	rspcev 3577	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛))) → ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝))
31	15, 26, 30	syl6an 684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
32	31	reximdv 3147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
33	13, 32	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → ((∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
34	33	rexlimdvva 3189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
35	3, 34	biimtrrid 243	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
36	10, 16	ello1mpt 15428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
37		rexcom 3261	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚))
38	36, 37	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
39	10, 19	ello1mpt 15428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)))
40		rexcom 3261	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛))
41	39, 40	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)))
42	38, 41	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1)) ↔ (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛))))
43	16, 19	readdcld 11141	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
44	10, 43	ello1mpt 15428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
45	35, 42, 44	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1)))
46	1, 2, 45	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  dom cdm 5616  (class class class)co 7346  ℝcr 11005   + caddc 11009   ≤ cle 11147  ≤𝑂(1)clo1 15394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-ico 13251  df-lo1 15398

This theorem is referenced by:  lo1sub  15538  pntrlog2bndlem4  27519  pntrlog2bndlem5  27520  pntrlog2bndlem6  27522