Theorem o1lo12 15491

Description: A lower bounded real function is eventually bounded iff it is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1lo1.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
o1lo12.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
o1lo12.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
o1lo12	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem o1lo12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1dm 15483	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ))
3		lo1dm 15472	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ))
5		o1lo1.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	ralrimiva 3131	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
7		dmmptg 6193	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
9	8	sseq1d 3946	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
10		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
11	5	renegcld 11568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
12	11	adantlr 721	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
13		o1lo12.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
14	13	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
15	14	renegcld 11568	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → -𝑀 ∈ ℝ)
16		o1lo12.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝐵)
17	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℝ)
18	17, 5	lenegd 11720	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑀 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝑀))
19	16, 18	mpbid 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ≤ -𝑀)
20	19	ad2ant2r 753	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → -𝐵 ≤ -𝑀)
21	10, 12, 14, 15, 20	ello1d 15476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
22	5	o1lo1 15490	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
23	22	rbaibd 545	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))
24	21, 23	syldan 597	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))
25	24	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
26	9, 25	sylbid 241	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
27	2, 4, 26	pm5.21ndd 380	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5618  ℝcr 11028   ≤ cle 11171  -cneg 11369  𝑂(1)co1 15439  ≤𝑂(1)clo1 15440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ico 13295  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-o1 15443  df-lo1 15444

This theorem is referenced by:  dirith2  27509  vmalogdivsum2  27519  pntrlog2bndlem4  27561