Theorem o1lo12 15720

Description: A lower bounded real function is eventually bounded iff it is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1lo1.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
o1lo12.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
o1lo12.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
o1lo12	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem o1lo12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1dm 15712	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ))
3		lo1dm 15701	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ))
5		o1lo1.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
7		dmmptg 6250	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
9	8	sseq1d 3944	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
10		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
11	5	renegcld 11756	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
12	11	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
13		o1lo12.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
14	13	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
15	14	renegcld 11756	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → -𝑀 ∈ ℝ)
16		o1lo12.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝐵)
17	13	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℝ)
18	17, 5	lenegd 11908	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑀 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝑀))
19	16, 18	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ≤ -𝑀)
20	19	ad2ant2r 760	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → -𝐵 ≤ -𝑀)
21	10, 12, 14, 15, 20	ello1d 15705	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
22	5	o1lo1 15719	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
23	22	rbaibd 550	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))
24	21, 23	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))
25	24	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
26	9, 25	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
27	2, 4, 26	pm5.21ndd 382	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655  ℝcr 11212   ≤ cle 11357   -cneg 11555  𝑂(1)co1 15668  ≤𝑂(1)clo1 15669

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-pm 8864  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-sup 9447  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-rp 13134  df-ico 13495  df-seq 14158  df-exp 14218  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-o1 15672  df-lo1 15673

This theorem is used by:  dirith2  27870  vmalogdivsum2  27880  pntrlog2bndlem4  27922