MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1eq 15459
Description: Two functions that are eventually equal to one another are eventually bounded if one of them is. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1eq.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
lo1eq.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
lo1eq.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
lo1eq.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐡 = 𝐢)
Assertion
Ref Expression
lo1eq (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ ≀𝑂(1)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐷   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)

Proof of Theorem lo1eq
StepHypRef Expression
1 lo1dm 15410 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ)
2 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
3 lo1eq.1 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
42, 3dmmptd 6650 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = 𝐴)
54sseq1d 3979 . . 3 (πœ‘ β†’ (dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ ↔ 𝐴 βŠ† ℝ))
61, 5imbitrid 243 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ))
7 lo1dm 15410 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ ≀𝑂(1) β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) βŠ† ℝ)
8 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
9 lo1eq.2 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
108, 9dmmptd 6650 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = 𝐴)
1110sseq1d 3979 . . 3 (πœ‘ β†’ (dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) βŠ† ℝ ↔ 𝐴 βŠ† ℝ))
127, 11imbitrid 243 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ ≀𝑂(1) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ))
13 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
14 elin 3930 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞)))
1513, 14sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞)))
1615simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
1715simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞))
18 lo1eq.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
19 elicopnf 13371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)))
2120biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≀ π‘₯))
2217, 21syldan 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≀ π‘₯))
2322simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ 𝐷 ≀ π‘₯)
2416, 23jca 513 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯))
25 lo1eq.4 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐡 = 𝐢)
2624, 25syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ 𝐡 = 𝐢)
2726mpteq2dva 5209 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐢))
28 inss1 4192 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) βŠ† 𝐴
29 resmpt 5995 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐡))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐡)
31 resmpt 5995 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐢))
3228, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐢)
3327, 30, 323eqtr4g 2798 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))))
34 resres 5954 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
35 resres 5954 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
3633, 34, 353eqtr4g 2798 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)))
37 ssid 3970 . . . . . . . 8 𝐴 βŠ† 𝐴
38 resmpt 5995 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
39 reseq1 5935 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)))
4037, 38, 39mp2b 10 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞))
41 resmpt 5995 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢))
42 reseq1 5935 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)))
4337, 41, 42mp2b 10 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞))
4436, 40, 433eqtr3g 2796 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)))
4544eleq1d 2819 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1)))
4645adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1)))
473fmpttd 7067 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
4847adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
49 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
5018adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
5148, 49, 50lo1resb 15455 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1)))
529fmpttd 7067 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„)
5352adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„)
5453, 49, 50lo1resb 15455 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ ≀𝑂(1) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1)))
5546, 51, 543bitr4d 311 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ ≀𝑂(1)))
5655ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ ≀𝑂(1))))
576, 12, 56pm5.21ndd 381 1 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ ≀𝑂(1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637   β†Ύ cres 5639  βŸΆwf 6496  (class class class)co 7361  β„cr 11058  +∞cpnf 11194   ≀ cle 11198  [,)cico 13275  β‰€π‘‚(1)clo1 15378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-ico 13279  df-lo1 15382
This theorem is referenced by:  o1eq  15461
  Copyright terms: Public domain W3C validator