MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1eq Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lo1eq 15512
Description: Two functions that are eventually equal to one another are eventually bounded if one of them is. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1eq.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
lo1eq.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
lo1eq.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
lo1eq.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐡 = 𝐢)
Assertion
Ref Expression
lo1eq (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ ≀𝑂(1)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐷   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)
Proof of Theorem lo1eq
StepHypRef Expression
1 lo1dm 15463 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ)
2 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
3 lo1eq.1 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
42, 3dmmptd 6696 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = 𝐴)
54sseq1d 4014 . . 3 (πœ‘ β†’ (dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ ↔ 𝐴 βŠ† ℝ))
61, 5imbitrid 243 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ))
7 lo1dm 15463 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ ≀𝑂(1) β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) βŠ† ℝ)
8 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
9 lo1eq.2 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
108, 9dmmptd 6696 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = 𝐴)
1110sseq1d 4014 . . 3 (πœ‘ β†’ (dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) βŠ† ℝ ↔ 𝐴 βŠ† ℝ))
127, 11imbitrid 243 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ ≀𝑂(1) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ))
13 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
14 elin 3965 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞)))
1513, 14sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞)))
1615simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
1715simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞))
18 lo1eq.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
19 elicopnf 13422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)))
2120biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷[,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≀ π‘₯))
2217, 21syldan 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≀ π‘₯))
2322simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ 𝐷 ≀ π‘₯)
2416, 23jca 513 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯))
25 lo1eq.4 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐡 = 𝐢)
2624, 25syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) β†’ 𝐡 = 𝐢)
2726mpteq2dva 5249 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐢))
28 inss1 4229 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) βŠ† 𝐴
29 resmpt 6038 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐡))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐡)
31 resmpt 6038 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐢))
3228, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐢)
3327, 30, 323eqtr4g 2798 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))))
34 resres 5995 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
35 resres 5995 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
3633, 34, 353eqtr4g 2798 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)))
37 ssid 4005 . . . . . . . 8 𝐴 βŠ† 𝐴
38 resmpt 6038 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
39 reseq1 5976 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)))
4037, 38, 39mp2b 10 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞))
41 resmpt 6038 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢))
42 reseq1 5976 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)))
4337, 41, 42mp2b 10 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ 𝐴) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞))
4436, 40, 433eqtr3g 2796 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)))
4544eleq1d 2819 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1)))
4645adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1)))
473fmpttd 7115 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
4847adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
49 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
5018adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
5148, 49, 50lo1resb 15508 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1)))
529fmpttd 7115 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„)
5352adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„)
5453, 49, 50lo1resb 15508 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ ≀𝑂(1) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ (𝐷[,)+∞)) ∈ ≀𝑂(1)))
5546, 51, 543bitr4d 311 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ ≀𝑂(1)))
5655ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ ≀𝑂(1))))
576, 12, 56pm5.21ndd 381 1 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ ≀𝑂(1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  (class class class)co 7409  β„cr 11109  +∞cpnf 11245   ≀ cle 11249  [,)cico 13326  β‰€π‘‚(1)clo1 15431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ico 13330  df-lo1 15435
This theorem is referenced by:  o1eq  15514
  Copyright terms: Public domain W3C validator