Theorem lo1eq 15521

Description: Two functions that are eventually equal to one another are eventually bounded if one of them is. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lo1eq.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
lo1eq.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
lo1eq.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
lo1eq.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lo1eq	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem lo1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1dm 15472	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
2		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3		lo1eq.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	dmmptd 6630	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
5	4	sseq1d 3946	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
6	1, 5	imbitrid 245	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → 𝐴 ⊆ ℝ))
7		lo1dm 15472	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⊆ ℝ)
8		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
9		lo1eq.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
10	8, 9	dmmptd 6630	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = 𝐴)
11	10	sseq1d 3946	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
12	7, 11	imbitrid 245	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1) → 𝐴 ⊆ ℝ))
13		elin 3899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞)))
14	13	bilani 505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞)))
15	14	simpld 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
16	14	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞))
17		lo1eq.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
18		elicopnf 13389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)))
20	19	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ 𝑥))
21	16, 20	syldan 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ 𝑥))
22	21	simprd 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝐷 ≤ 𝑥)
23	15, 22	jca 516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥))
24		lo1eq.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 𝐵 = 𝐶)
25	23, 24	syldan 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝐵 = 𝐶)
26	25	mpteq2dva 5165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐶))
27		inss1 4165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ⊆ 𝐴
28		resmpt 5989	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐵))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐵)
30		resmpt 5989	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐶))
31	27, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐶)
32	26, 29, 31	3eqtr4g 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))))
33		resres 5944	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
34		resres 5944	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
35	32, 33, 34	3eqtr4g 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)))
36		ssid 3937	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
37		resmpt 5989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
38		reseq1 5925	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)))
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞))
40		resmpt 5989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
41		reseq1 5925	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)))
42	36, 40, 41	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞))
43	35, 39, 42	3eqtr3g 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)))
44	43	eleq1d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)) ∈ ≤𝑂(1)))
45	44	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)) ∈ ≤𝑂(1)))
46	3	fmpttd 7056	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℝ)
47	46	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℝ)
48		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
49	17	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
50	47, 48, 49	lo1resb 15517	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) ∈ ≤𝑂(1)))
51	9	fmpttd 7056	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℝ)
52	51	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℝ)
53	52, 48, 49	lo1resb 15517	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)) ∈ ≤𝑂(1)))
54	45, 50, 53	3bitr4d 312	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1)))
55	54	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1))))
56	6, 12, 55	pm5.21ndd 380	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5618   ↾ cres 5620  ⟶wf 6481  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  +∞cpnf 11167   ≤ cle 11171  [,)cico 13291  ≤𝑂(1)clo1 15440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-ico 13295  df-lo1 15444

This theorem is referenced by:  o1eq  15523