Theorem lo1mul 15189

Description: The product of an eventually upper bounded function and a positive eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1add2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
o1add2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
lo1add.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1add.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
lo1mul.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lo1mul	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem lo1mul

Dummy variables 𝑚 𝑐 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1add.3	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
2		lo1add.4	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
3		reeanv 3279	. . . 4 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)))
4		o1add2.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	4	ralrimiva 3105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
6		dmmptg 6105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8		lo1dm 15080	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
9	1, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
10	7, 9	eqsstrrd 3940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
11	10	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12		rexanre 14910	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛))))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛))))
14		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝑚 ∈ ℝ)
15		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝑛 ∈ ℝ)
16		0re 10835	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		ifcl 4484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0) ∈ ℝ)
18	15, 16, 17	sylancl 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0) ∈ ℝ)
19	14, 18	remulcld 10863	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) ∈ ℝ)
20		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
21		max2 12777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝑛 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))
22	16, 20, 21	sylancr 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))
23		o1add2.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
24	23, 2	lo1mptrcl 15183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
25	24	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
26	20, 16, 17	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0) ∈ ℝ)
27		letr 10926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0) ∈ ℝ) → ((𝐶 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) → 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))
28	25, 20, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐶 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) → 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))
29	22, 28	mpan2d 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 ≤ 𝑛 → 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))
30	4, 1	lo1mptrcl 15183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	30	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32		lo1mul.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
33	32	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
34	31, 33	jca 515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
35		simplrl 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
36		max1 12775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))
37	16, 20, 36	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))
38	26, 37	jca 515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))
39		lemul12b 11689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))) → ((𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))))
40	34, 35, 25, 38, 39	syl22anc 839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))))
41	29, 40	sylan2d 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛) → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))))
42	41	imim2d 57	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) → (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))))
43	42	ralimdva 3100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))))
44		breq2 5057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) → ((𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝 ↔ (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))))
45	44	imbi2d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝) ↔ (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))))
46	45	ralbidv 3118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))))
47	46	rspcev 3537	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))) → ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝))
48	19, 43, 47	syl6an 684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝)))
49	48	reximdv 3192	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝)))
50	13, 49	sylbird 263	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → ((∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝)))
51	50	rexlimdvva 3213	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝)))
52	3, 51	syl5bir 246	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝)))
53	10, 30	ello1mpt 15082	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
54		rexcom 3268	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚))
55	53, 54	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
56	10, 24	ello1mpt 15082	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)))
57		rexcom 3268	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛))
58	56, 57	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)))
59	55, 58	anbi12d 634	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1)) ↔ (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛))))
60	30, 24	remulcld 10863	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
61	10, 60	ello1mpt 15082	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝)))
62	52, 59, 61	3imtr4d 297	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1)))
63	1, 2, 62	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3866  ifcif 4439   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135  dom cdm 5551  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  0cc0 10729   · cmul 10734   ≤ cle 10868  ≤𝑂(1)clo1 15048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-ico 12941  df-lo1 15052

This theorem is referenced by:  lo1mul2  15190  pntrlog2bndlem4  26461  pntrlog2bndlem5  26462