MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1mul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1mul 15516
Description: The product of an eventually upper bounded function and a positive eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
o1add2.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)
lo1add.3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ โ‰ค๐‘‚(1))
lo1add.4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ โ‰ค๐‘‚(1))
lo1mul.5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
Assertion
Ref Expression
lo1mul (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ‰ค๐‘‚(1))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐‘‰(๐‘ฅ)

Proof of Theorem lo1mul
Dummy variables ๐‘š ๐‘ ๐‘› ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1add.3 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ โ‰ค๐‘‚(1))
2 lo1add.4 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ โ‰ค๐‘‚(1))
3 reeanv 3216 . . . 4 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐‘›)) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐‘›)))
4 o1add2.1 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
54ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
6 dmmptg 6195 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ ๐‘‰ โ†’ dom (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) = ๐ด)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ dom (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) = ๐ด)
8 lo1dm 15407 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ โ‰ค๐‘‚(1) โ†’ dom (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โŠ† โ„)
91, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ dom (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โŠ† โ„)
107, 9eqsstrrd 3984 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
1110adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
12 rexanre 15237 . . . . . . 7 (๐ด โŠ† โ„ โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐ต โ‰ค ๐‘š โˆง ๐ถ โ‰ค ๐‘›)) โ†” (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐‘›))))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐ต โ‰ค ๐‘š โˆง ๐ถ โ‰ค ๐‘›)) โ†” (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐‘›))))
14 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
15 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
16 0re 11162 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
17 ifcl 4532 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0) โˆˆ โ„)
1815, 16, 17sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โ†’ if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0) โˆˆ โ„)
1914, 18remulcld 11190 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘š ยท if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0)) โˆˆ โ„)
20 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
21 max2 13112 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘› โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0))
2216, 20, 21sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘› โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0))
23 o1add2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)
2423, 2lo1mptrcl 15510 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2524adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2620, 16, 17sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0) โˆˆ โ„)
27 letr 11254 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ โˆง if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0)) โ†’ ๐ถ โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0)))
2825, 20, 26, 27syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ถ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0)) โ†’ ๐ถ โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0)))
2922, 28mpan2d 693 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ โ‰ค ๐‘› โ†’ ๐ถ โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0)))
304, 1lo1mptrcl 15510 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3130adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
32 lo1mul.5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
3332adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
3431, 33jca 513 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
35 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
36 max1 13110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0))
3716, 20, 36sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0))
3826, 37jca 513 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0)))
39 lemul12b 12017 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0)))) โ†’ ((๐ต โ‰ค ๐‘š โˆง ๐ถ โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค (๐‘š ยท if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0))))
4034, 35, 25, 38, 39syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ต โ‰ค ๐‘š โˆง ๐ถ โ‰ค if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค (๐‘š ยท if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0))))
4129, 40sylan2d 606 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ต โ‰ค ๐‘š โˆง ๐ถ โ‰ค ๐‘›) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค (๐‘š ยท if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0))))
4241imim2d 57 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐ต โ‰ค ๐‘š โˆง ๐ถ โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค (๐‘š ยท if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0)))))
4342ralimdva 3161 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐ต โ‰ค ๐‘š โˆง ๐ถ โ‰ค ๐‘›)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค (๐‘š ยท if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0)))))
44 breq2 5110 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = (๐‘š ยท if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค ๐‘ โ†” (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค (๐‘š ยท if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0))))
4544imbi2d 341 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = (๐‘š ยท if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0)) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค ๐‘) โ†” (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค (๐‘š ยท if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0)))))
4645ralbidv 3171 . . . . . . . . 9 (๐‘ = (๐‘š ยท if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0)) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค ๐‘) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค (๐‘š ยท if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0)))))
4746rspcev 3580 . . . . . . . 8 (((๐‘š ยท if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0)) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค (๐‘š ยท if(0 โ‰ค ๐‘›, ๐‘›, 0)))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค ๐‘))
4819, 43, 47syl6an 683 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐ต โ‰ค ๐‘š โˆง ๐ถ โ‰ค ๐‘›)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค ๐‘)))
4948reximdv 3164 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐ต โ‰ค ๐‘š โˆง ๐ถ โ‰ค ๐‘›)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค ๐‘)))
5013, 49sylbird 260 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„)) โ†’ ((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐‘›)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค ๐‘)))
5150rexlimdvva 3202 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐‘›)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค ๐‘)))
523, 51biimtrrid 242 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐‘›)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค ๐‘)))
5310, 30ello1mpt 15409 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ โ‰ค๐‘‚(1) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐‘š)))
54 rexcom 3272 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐‘š) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐‘š))
5553, 54bitrdi 287 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ โ‰ค๐‘‚(1) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐‘š)))
5610, 24ello1mpt 15409 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ โ‰ค๐‘‚(1) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐‘›)))
57 rexcom 3272 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐‘›) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐‘›))
5856, 57bitrdi 287 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ โ‰ค๐‘‚(1) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐‘›)))
5955, 58anbi12d 632 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ โ‰ค๐‘‚(1) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ โ‰ค๐‘‚(1)) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐‘›))))
6030, 24remulcld 11190 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
6110, 60ello1mpt 15409 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ‰ค๐‘‚(1) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐‘ โ‰ค ๐‘ฅ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โ‰ค ๐‘)))
6252, 59, 613imtr4d 294 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ โ‰ค๐‘‚(1) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ โ‰ค๐‘‚(1)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ‰ค๐‘‚(1)))
631, 2, 62mp2and 698 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ‰ค๐‘‚(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   โŠ† wss 3911  ifcif 4487   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  dom cdm 5634  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  0cc0 11056   ยท cmul 11061   โ‰ค cle 11195  โ‰ค๐‘‚(1)clo1 15375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-ico 13276  df-lo1 15379
This theorem is referenced by:  lo1mul2  15517  pntrlog2bndlem4  26944  pntrlog2bndlem5  26945
  Copyright terms: Public domain W3C validator