Theorem lo1mul 15705

Description: The product of an eventually upper bounded function and a positive eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1add2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
o1add2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
lo1add.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1add.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
lo1mul.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lo1mul	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem lo1mul

Dummy variables 𝑚 𝑐 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1add.3	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
2		lo1add.4	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
3		reeanv 3240	. . . 4 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)))
4		o1add2.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	4	ralrimiva 3160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
6		dmmptg 6248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8		lo1dm 15596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
9	1, 8	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
10	7, 9	eqsstrrd 3975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
11	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12		rexanre 15424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛))))
13	11, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛))))
14		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝑚 ∈ ℝ)
15		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝑛 ∈ ℝ)
16		0re 11228	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		ifcl 4538	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0) ∈ ℝ)
18	15, 16, 17	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0) ∈ ℝ)
19	14, 18	remulcld 11257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) ∈ ℝ)
20		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
21		max2 13231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝑛 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))
22	16, 20, 21	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))
23		o1add2.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
24	23, 2	lo1mptrcl 15699	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
25	24	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
26	20, 16, 17	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0) ∈ ℝ)
27		letr 11322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0) ∈ ℝ) → ((𝐶 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) → 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))
28	25, 20, 26, 27	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐶 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) → 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))
29	22, 28	mpan2d 707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 ≤ 𝑛 → 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))
30	4, 1	lo1mptrcl 15699	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	30	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32		lo1mul.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
33	32	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
34	31, 33	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
35		simplrl 789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
36		max1 13229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))
37	16, 20, 36	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))
38	26, 37	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))
39		lemul12b 12090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))) → ((𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))))
40	34, 35, 25, 38, 39	syl22anc 852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))))
41	29, 40	sylan2d 617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛) → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))))
42	41	imim2d 58	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) → (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))))
43	42	ralimdva 3180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))))
44		breq2 5118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) → ((𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝 ↔ (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0))))
45	44	imbi2d 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝) ↔ (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))))
46	45	ralbidv 3191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))))
47	46	rspcev 3584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝑚 · if(0 ≤ 𝑛, 𝑛, 0)))) → ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝))
48	19, 43, 47	syl6an 697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝)))
49	48	reximdv 3183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝)))
50	13, 49	sylbird 263	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → ((∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝)))
51	50	rexlimdvva 3225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝)))
52	3, 51	biimtrrid 246	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝)))
53	10, 30	ello1mpt 15598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
54		rexcom 3297	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚))
55	53, 54	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
56	10, 24	ello1mpt 15598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)))
57		rexcom 3297	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛))
58	56, 57	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)))
59	55, 58	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1)) ↔ (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛))))
60	30, 24	remulcld 11257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
61	10, 60	ello1mpt 15598	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 · 𝐶) ≤ 𝑝)))
62	52, 59, 61	3imtr4d 297	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1)))
63	1, 2, 62	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ∃wrex 3092   ⊆ wss 3908  ifcif 4492   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  dom cdm 5666  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118   · cmul 11123   ≤ cle 11262  ≤𝑂(1)clo1 15564

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-ico 13396  df-lo1 15568

This theorem is used by:  lo1mul2  15706  pntrlog2bndlem4  27781  pntrlog2bndlem5  27782