MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1sub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1sub 15439
Description: The difference of an eventually upper bounded function and an eventually bounded function is eventually upper bounded. The "correct" sharp result here takes the second function to be eventually lower bounded instead of just bounded, but our notation for this is simply (𝑥𝐴 ↦ -𝐶) ∈ ≤𝑂(1), so it is just a special case of lo1add 15435. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1sub.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
lo1sub.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
lo1sub.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1sub.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
lo1sub (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ ≤𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem lo1sub
StepHypRef Expression
1 lo1sub.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2 lo1sub.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
31, 2lo1mptrcl 15430 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
43recnd 11104 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 lo1sub.2 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
65recnd 11104 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
74, 6negsubd 11439 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵𝐶))
87mpteq2dva 5192 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)))
95renegcld 11503 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐶 ∈ ℝ)
10 lo1sub.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1))
115o1lo1 15345 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐶) ∈ ≤𝑂(1))))
1210, 11mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐶) ∈ ≤𝑂(1)))
1312simprd 496 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
143, 9, 2, 13lo1add 15435 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) ∈ ≤𝑂(1))
158, 14eqeltrrd 2838 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ ≤𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  cmpt 5175  (class class class)co 7337  cr 10971   + caddc 10975  cmin 11306  -cneg 11307  𝑂(1)co1 15294  ≤𝑂(1)clo1 15295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-pm 8689  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-sup 9299  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-ico 13186  df-seq 13823  df-exp 13884  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-o1 15298  df-lo1 15299
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator