MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1mptrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1mptrcl 15511
Description: Reverse closure for an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
o1mptrcl.3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
o1mptrcl ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem o1mptrcl
StepHypRef Expression
1 o1mptrcl.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝑂(1))
2 o1f 15417 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝑂(1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)βŸΆβ„‚)
4 o1add2.1 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
54ralrimiva 3140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑉)
6 dmmptg 6195 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑉 β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = 𝐴)
87feq2d 6655 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)βŸΆβ„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚))
93, 8mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
109fvmptelcdm 7062 1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  βŸΆwf 6493  β„‚cc 11054  π‘‚(1)co1 15374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-pm 8771  df-o1 15378
This theorem is referenced by:  o1le  15543  fsumo1  15702  o1fsum  15703  o1cxp  26340  mulogsum  26896
  Copyright terms: Public domain W3C validator