MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1mptrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1mptrcl 15276
Description: Reverse closure for an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
o1mptrcl.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
o1mptrcl ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem o1mptrcl
StepHypRef Expression
1 o1mptrcl.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
2 o1f 15182 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
4 o1add2.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
54ralrimiva 3106 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
6 dmmptg 6139 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
87feq2d 6575 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ))
93, 8mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
109fvmptelrn 6974 1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3062  cmpt 5158  dom cdm 5585  wf 6419  cc 10816  𝑂(1)co1 15139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3067  df-rex 3068  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5485  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-fv 6431  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-pm 8581  df-o1 15143
This theorem is referenced by:  o1le  15308  fsumo1  15468  o1fsum  15469  o1cxp  26067  mulogsum  26623
  Copyright terms: Public domain W3C validator