MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1mptrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1mptrcl 15669
Description: Reverse closure for an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
o1mptrcl.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
o1mptrcl ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem o1mptrcl
StepHypRef Expression
1 o1mptrcl.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
2 o1f 15575 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
4 o1add2.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
54ralrimiva 3152 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
6 dmmptg 6273 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
87feq2d 6733 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ))
93, 8mpbid 232 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
109fvmptelcdm 7147 1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wral 3067  cmpt 5249  dom cdm 5700  wf 6569  cc 11182  𝑂(1)co1 15532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-pm 8887  df-o1 15536
This theorem is referenced by:  o1le  15701  fsumo1  15860  o1fsum  15861  o1cxp  27036  mulogsum  27594
  Copyright terms: Public domain W3C validator