Theorem o1mptrcl 15609

Description: Reverse closure for an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1add2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
o1mptrcl.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))

Assertion

Ref	Expression
o1mptrcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem o1mptrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1mptrcl.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))
2		o1f 15515	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
4		o1add2.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	4	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
6		dmmptg 6251	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8	7	feq2d 6713	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ))
9	3, 8	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
10	9	fvmptelcdm 7128	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  ⟶wf 6549  ℂcc 11146  𝑂(1)co1 15472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-pm 8856  df-o1 15476

This theorem is referenced by:  o1le  15641  fsumo1  15800  o1fsum  15801  o1cxp  26935  mulogsum  27493