MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1mptrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1mptrcl 15573
Description: Reverse closure for an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
o1mptrcl.3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
o1mptrcl ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem o1mptrcl
StepHypRef Expression
1 o1mptrcl.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝑂(1))
2 o1f 15479 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝑂(1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)βŸΆβ„‚)
4 o1add2.1 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
54ralrimiva 3140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑉)
6 dmmptg 6235 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑉 β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = 𝐴)
87feq2d 6697 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)βŸΆβ„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚))
93, 8mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
109fvmptelcdm 7108 1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  β„‚cc 11110  π‘‚(1)co1 15436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-pm 8825  df-o1 15440
This theorem is referenced by:  o1le  15605  fsumo1  15764  o1fsum  15765  o1cxp  26862  mulogsum  27420
  Copyright terms: Public domain W3C validator