![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lo1mul2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The product of an eventually upper bounded function and a positive eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
o1add2.1 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) |
o1add2.2 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ ๐) |
lo1add.3 | โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ โค๐(1)) |
lo1add.4 | โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ถ) โ โค๐(1)) |
lo1mul.5 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
lo1mul2 | โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โ โค๐(1)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | o1add2.2 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ ๐) | |
2 | lo1add.4 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ถ) โ โค๐(1)) | |
3 | 1, 2 | lo1mptrcl 15606 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) |
4 | 3 | recnd 11280 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) |
5 | o1add2.1 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) | |
6 | lo1add.3 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ โค๐(1)) | |
7 | 5, 6 | lo1mptrcl 15606 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
8 | 7 | recnd 11280 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
9 | 4, 8 | mulcomd 11273 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ (๐ถ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ถ)) |
10 | 9 | mpteq2dva 5252 | . 2 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ (๐ถ ยท ๐ต)) = (๐ฅ โ ๐ด โฆ (๐ต ยท ๐ถ))) |
11 | lo1mul.5 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) | |
12 | 5, 1, 6, 2, 11 | lo1mul 15612 | . 2 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ (๐ต ยท ๐ถ)) โ โค๐(1)) |
13 | 10, 12 | eqeltrd 2829 | 1 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โ โค๐(1)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 โ wcel 2098 class class class wbr 5152 โฆ cmpt 5235 (class class class)co 7426 0cc0 11146 ยท cmul 11151 โค cle 11287 โค๐(1)clo1 15471 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-id 5580 df-po 5594 df-so 5595 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-er 8731 df-pm 8854 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-ico 13370 df-lo1 15475 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |