Theorem lo1mul2 15676

Description: The product of an eventually upper bounded function and a positive eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1add2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
o1add2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
lo1add.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1add.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
lo1mul.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lo1mul2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ ≤𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem lo1mul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1add2.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
2		lo1add.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
3	1, 2	lo1mptrcl 15669	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
5		o1add2.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		lo1add.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
7	5, 6	lo1mptrcl 15669	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	4, 8	mulcomd 11226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
10	9	mpteq2dva 5205	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)))
11		lo1mul.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
12	5, 1, 6, 2, 11	lo1mul 15675	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1))
13	10, 12	eqeltrd 2869	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ ≤𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  (class class class)co 7408  0cc0 11096   · cmul 11101   ≤ cle 11240  ≤𝑂(1)clo1 15534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8690  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-ico 13374  df-lo1 15538

This theorem is referenced by: (None)