![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lo1mul2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The product of an eventually upper bounded function and a positive eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
o1add2.1 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) |
o1add2.2 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ ๐) |
lo1add.3 | โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ โค๐(1)) |
lo1add.4 | โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ถ) โ โค๐(1)) |
lo1mul.5 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
lo1mul2 | โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โ โค๐(1)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | o1add2.2 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ ๐) | |
2 | lo1add.4 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ถ) โ โค๐(1)) | |
3 | 1, 2 | lo1mptrcl 15510 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) |
4 | 3 | recnd 11188 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) |
5 | o1add2.1 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) | |
6 | lo1add.3 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ โค๐(1)) | |
7 | 5, 6 | lo1mptrcl 15510 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
8 | 7 | recnd 11188 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
9 | 4, 8 | mulcomd 11181 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ (๐ถ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ถ)) |
10 | 9 | mpteq2dva 5206 | . 2 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ (๐ถ ยท ๐ต)) = (๐ฅ โ ๐ด โฆ (๐ต ยท ๐ถ))) |
11 | lo1mul.5 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) | |
12 | 5, 1, 6, 2, 11 | lo1mul 15516 | . 2 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ (๐ต ยท ๐ถ)) โ โค๐(1)) |
13 | 10, 12 | eqeltrd 2834 | 1 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โ โค๐(1)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โ wcel 2107 class class class wbr 5106 โฆ cmpt 5189 (class class class)co 7358 0cc0 11056 ยท cmul 11061 โค cle 11195 โค๐(1)clo1 15375 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11112 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-id 5532 df-po 5546 df-so 5547 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-er 8651 df-pm 8771 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-ico 13276 df-lo1 15379 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |