Theorem lo1const 15545

Description: A constant function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lo1const	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem lo1const

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		simplr 769	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leid 11230	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ 𝐵)
5	4	ad2antlr 728	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐵)
6	1, 2, 3, 3, 5	ello1d 15447	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ℝcr 11026   ≤ cle 11168  ≤𝑂(1)clo1 15411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8634  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-ico 13268  df-lo1 15415

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem5  27532