Theorem lo1const 15671

Description: A constant function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lo1const	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem lo1const

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		simplr 780	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simpr 489	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leid 11305	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ 𝐵)
5	4	ad2antlr 739	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐵)
6	1, 2, 3, 3, 5	ello1d 15573	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ℝcr 11098   ≤ cle 11243  ≤𝑂(1)clo1 15537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8693  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-ico 13377  df-lo1 15541

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem5  27721