Theorem lo1const 15182

Description: A constant function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lo1const	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem lo1const

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		simplr 769	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simpr 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leid 10928	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ 𝐵)
5	4	ad2antlr 727	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐵)
6	1, 2, 3, 3, 5	ello1d 15084	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135  ℝcr 10728   ≤ cle 10868  ≤𝑂(1)clo1 15048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-ico 12941  df-lo1 15052

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem5  26462