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Theorem ltrnfset 38976
Description: The set of all lattice translations for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 11-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnset.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
ltrnset.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
ltrnset.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
ltrnset.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
ltrnset.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
ltrnfset (𝐾 ∈ 𝐢 β†’ (LTrnβ€˜πΎ) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ {𝑓 ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑀) β†’ ((𝑝 ∨ (π‘“β€˜π‘)) ∧ 𝑀) = ((π‘ž ∨ (π‘“β€˜π‘ž)) ∧ 𝑀))}))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑝,𝐴   𝑀,𝐻   𝑓,𝑝,π‘ž,𝑀,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑀,𝑓)   𝐢(𝑀,𝑓,π‘ž,𝑝)   𝐻(𝑓,π‘ž,𝑝)   ∨ (𝑀,𝑓,π‘ž,𝑝)   ≀ (𝑀,𝑓,π‘ž,𝑝)   ∧ (𝑀,𝑓,π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem ltrnfset
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3492 . 2 (𝐾 ∈ 𝐢 β†’ 𝐾 ∈ V)
2 fveq2 6888 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (LHypβ€˜π‘˜) = (LHypβ€˜πΎ))
3 ltrnset.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
42, 3eqtr4di 2790 . . . 4 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (LHypβ€˜π‘˜) = 𝐻)
5 fveq2 6888 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (LDilβ€˜π‘˜) = (LDilβ€˜πΎ))
65fveq1d 6890 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((LDilβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) = ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘€))
7 fveq2 6888 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (Atomsβ€˜π‘˜) = (Atomsβ€˜πΎ))
8 ltrnset.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
97, 8eqtr4di 2790 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (Atomsβ€˜π‘˜) = 𝐴)
10 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (leβ€˜π‘˜) = (leβ€˜πΎ))
11 ltrnset.l . . . . . . . . . . . 12 ≀ = (leβ€˜πΎ)
1210, 11eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (leβ€˜π‘˜) = ≀ )
1312breqd 5158 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (𝑝(leβ€˜π‘˜)𝑀 ↔ 𝑝 ≀ 𝑀))
1413notbid 317 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜π‘˜)𝑀 ↔ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑀))
1512breqd 5158 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (π‘ž(leβ€˜π‘˜)𝑀 ↔ π‘ž ≀ 𝑀))
1615notbid 317 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (Β¬ π‘ž(leβ€˜π‘˜)𝑀 ↔ Β¬ π‘ž ≀ 𝑀))
1714, 16anbi12d 631 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜π‘˜)𝑀 ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜π‘˜)𝑀) ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑀)))
18 fveq2 6888 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (meetβ€˜π‘˜) = (meetβ€˜πΎ))
19 ltrnset.m . . . . . . . . . . 11 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2018, 19eqtr4di 2790 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (meetβ€˜π‘˜) = ∧ )
21 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (joinβ€˜π‘˜) = (joinβ€˜πΎ))
22 ltrnset.j . . . . . . . . . . . 12 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2321, 22eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (joinβ€˜π‘˜) = ∨ )
2423oveqd 7422 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (𝑝(joinβ€˜π‘˜)(π‘“β€˜π‘)) = (𝑝 ∨ (π‘“β€˜π‘)))
25 eqidd 2733 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐾 β†’ 𝑀 = 𝑀)
2620, 24, 25oveq123d 7426 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((𝑝(joinβ€˜π‘˜)(π‘“β€˜π‘))(meetβ€˜π‘˜)𝑀) = ((𝑝 ∨ (π‘“β€˜π‘)) ∧ 𝑀))
2723oveqd 7422 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (π‘ž(joinβ€˜π‘˜)(π‘“β€˜π‘ž)) = (π‘ž ∨ (π‘“β€˜π‘ž)))
2820, 27, 25oveq123d 7426 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((π‘ž(joinβ€˜π‘˜)(π‘“β€˜π‘ž))(meetβ€˜π‘˜)𝑀) = ((π‘ž ∨ (π‘“β€˜π‘ž)) ∧ 𝑀))
2926, 28eqeq12d 2748 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (((𝑝(joinβ€˜π‘˜)(π‘“β€˜π‘))(meetβ€˜π‘˜)𝑀) = ((π‘ž(joinβ€˜π‘˜)(π‘“β€˜π‘ž))(meetβ€˜π‘˜)𝑀) ↔ ((𝑝 ∨ (π‘“β€˜π‘)) ∧ 𝑀) = ((π‘ž ∨ (π‘“β€˜π‘ž)) ∧ 𝑀)))
3017, 29imbi12d 344 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (((Β¬ 𝑝(leβ€˜π‘˜)𝑀 ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜π‘˜)𝑀) β†’ ((𝑝(joinβ€˜π‘˜)(π‘“β€˜π‘))(meetβ€˜π‘˜)𝑀) = ((π‘ž(joinβ€˜π‘˜)(π‘“β€˜π‘ž))(meetβ€˜π‘˜)𝑀)) ↔ ((Β¬ 𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑀) β†’ ((𝑝 ∨ (π‘“β€˜π‘)) ∧ 𝑀) = ((π‘ž ∨ (π‘“β€˜π‘ž)) ∧ 𝑀))))
319, 30raleqbidv 3342 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘ž ∈ (Atomsβ€˜π‘˜)((Β¬ 𝑝(leβ€˜π‘˜)𝑀 ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜π‘˜)𝑀) β†’ ((𝑝(joinβ€˜π‘˜)(π‘“β€˜π‘))(meetβ€˜π‘˜)𝑀) = ((π‘ž(joinβ€˜π‘˜)(π‘“β€˜π‘ž))(meetβ€˜π‘˜)𝑀)) ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑀) β†’ ((𝑝 ∨ (π‘“β€˜π‘)) ∧ 𝑀) = ((π‘ž ∨ (π‘“β€˜π‘ž)) ∧ 𝑀))))
329, 31raleqbidv 3342 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘ ∈ (Atomsβ€˜π‘˜)βˆ€π‘ž ∈ (Atomsβ€˜π‘˜)((Β¬ 𝑝(leβ€˜π‘˜)𝑀 ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜π‘˜)𝑀) β†’ ((𝑝(joinβ€˜π‘˜)(π‘“β€˜π‘))(meetβ€˜π‘˜)𝑀) = ((π‘ž(joinβ€˜π‘˜)(π‘“β€˜π‘ž))(meetβ€˜π‘˜)𝑀)) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑀) β†’ ((𝑝 ∨ (π‘“β€˜π‘)) ∧ 𝑀) = ((π‘ž ∨ (π‘“β€˜π‘ž)) ∧ 𝑀))))
336, 32rabeqbidv 3449 . . . 4 (π‘˜ = 𝐾 β†’ {𝑓 ∈ ((LDilβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Atomsβ€˜π‘˜)βˆ€π‘ž ∈ (Atomsβ€˜π‘˜)((Β¬ 𝑝(leβ€˜π‘˜)𝑀 ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜π‘˜)𝑀) β†’ ((𝑝(joinβ€˜π‘˜)(π‘“β€˜π‘))(meetβ€˜π‘˜)𝑀) = ((π‘ž(joinβ€˜π‘˜)(π‘“β€˜π‘ž))(meetβ€˜π‘˜)𝑀))} = {𝑓 ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑀) β†’ ((𝑝 ∨ (π‘“β€˜π‘)) ∧ 𝑀) = ((π‘ž ∨ (π‘“β€˜π‘ž)) ∧ 𝑀))})
344, 33mpteq12dv 5238 . . 3 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (𝑀 ∈ (LHypβ€˜π‘˜) ↦ {𝑓 ∈ ((LDilβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Atomsβ€˜π‘˜)βˆ€π‘ž ∈ (Atomsβ€˜π‘˜)((Β¬ 𝑝(leβ€˜π‘˜)𝑀 ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜π‘˜)𝑀) β†’ ((𝑝(joinβ€˜π‘˜)(π‘“β€˜π‘))(meetβ€˜π‘˜)𝑀) = ((π‘ž(joinβ€˜π‘˜)(π‘“β€˜π‘ž))(meetβ€˜π‘˜)𝑀))}) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ {𝑓 ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑀) β†’ ((𝑝 ∨ (π‘“β€˜π‘)) ∧ 𝑀) = ((π‘ž ∨ (π‘“β€˜π‘ž)) ∧ 𝑀))}))
35 df-ltrn 38964 . . 3 LTrn = (π‘˜ ∈ V ↦ (𝑀 ∈ (LHypβ€˜π‘˜) ↦ {𝑓 ∈ ((LDilβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ∣ βˆ€π‘ ∈ (Atomsβ€˜π‘˜)βˆ€π‘ž ∈ (Atomsβ€˜π‘˜)((Β¬ 𝑝(leβ€˜π‘˜)𝑀 ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜π‘˜)𝑀) β†’ ((𝑝(joinβ€˜π‘˜)(π‘“β€˜π‘))(meetβ€˜π‘˜)𝑀) = ((π‘ž(joinβ€˜π‘˜)(π‘“β€˜π‘ž))(meetβ€˜π‘˜)𝑀))}))
3634, 35, 3mptfvmpt 7226 . 2 (𝐾 ∈ V β†’ (LTrnβ€˜πΎ) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ {𝑓 ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑀) β†’ ((𝑝 ∨ (π‘“β€˜π‘)) ∧ 𝑀) = ((π‘ž ∨ (π‘“β€˜π‘ž)) ∧ 𝑀))}))
371, 36syl 17 1 (𝐾 ∈ 𝐢 β†’ (LTrnβ€˜πΎ) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ {𝑓 ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ π‘ž ≀ 𝑀) β†’ ((𝑝 ∨ (π‘“β€˜π‘)) ∧ 𝑀) = ((π‘ž ∨ (π‘“β€˜π‘ž)) ∧ 𝑀))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Atomscatm 38121  LHypclh 38843  LDilcldil 38959  LTrncltrn 38960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-ltrn 38964
This theorem is referenced by:  ltrnset  38977
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