Theorem lubpr 49209

Description: The LUB of the set of two comparable elements in a poset is the greater one of the two. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubpr.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
lubpr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubpr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lubpr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lubpr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lubpr.c	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lubpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
lubpr.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubpr	⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑌)

Proof of Theorem lubpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubpr.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
2		lubpr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		lubpr.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		lubpr.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		lubpr.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		lubpr.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
7		lubpr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
8		lubpr.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lubprlem 49207	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘𝑆) = 𝑌))
10	9	simprd 495	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cpr 4582   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  lecple 17184  Posetcpo 18230  lubclub 18232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-proset 18217  df-poset 18236  df-lub 18267

This theorem is referenced by:  glbprlem  49210  posjidm  49217