Theorem lubpr 49762

Description: The LUB of the set of two comparable elements in a poset is the greater one of the two. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubpr.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
lubpr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubpr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lubpr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lubpr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lubpr.c	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lubpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
lubpr.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubpr	⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑌)

Proof of Theorem lubpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubpr.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
2		lubpr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		lubpr.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		lubpr.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		lubpr.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		lubpr.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
7		lubpr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
8		lubpr.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lubprlem 49760	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘𝑆) = 𝑌))
10	9	simprd 500	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cpr 4591   class class class wbr 5109  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  Basecbs 17264  lecple 17312  Posetcpo 18358  lubclub 18360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-proset 18345  df-poset 18364  df-lub 18395

This theorem is referenced by:  glbprlem  49763  posjidm  49770