Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lubprdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubprdm 48759
Description: The set of two comparable elements in a poset has LUB. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lubpr.k (𝜑𝐾 ∈ Poset)
lubpr.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubpr.x (𝜑𝑋𝐵)
lubpr.y (𝜑𝑌𝐵)
lubpr.l = (le‘𝐾)
lubpr.c (𝜑𝑋 𝑌)
lubpr.s (𝜑𝑆 = {𝑋, 𝑌})
lubpr.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lubprdm (𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈)

Proof of Theorem lubprdm
StepHypRef Expression
1 lubpr.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
2 lubpr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 lubpr.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
4 lubpr.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
5 lubpr.l . . 3 = (le‘𝐾)
6 lubpr.c . . 3 (𝜑𝑋 𝑌)
7 lubpr.s . . 3 (𝜑𝑆 = {𝑋, 𝑌})
8 lubpr.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lubprlem 48758 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈𝑆) = 𝑌))
109simpld 494 1 (𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2105  {cpr 4632   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  cfv 6562  Basecbs 17244  lecple 17304  Posetcpo 18364  lubclub 18366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-proset 18351  df-poset 18370  df-lub 18403
This theorem is referenced by:  glbprlem  48761  toslat  48770
  Copyright terms: Public domain W3C validator