Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lubprdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubprdm 48860
Description: The set of two comparable elements in a poset has LUB. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lubpr.k (𝜑𝐾 ∈ Poset)
lubpr.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubpr.x (𝜑𝑋𝐵)
lubpr.y (𝜑𝑌𝐵)
lubpr.l = (le‘𝐾)
lubpr.c (𝜑𝑋 𝑌)
lubpr.s (𝜑𝑆 = {𝑋, 𝑌})
lubpr.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lubprdm (𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈)

Proof of Theorem lubprdm
StepHypRef Expression
1 lubpr.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
2 lubpr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 lubpr.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
4 lubpr.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
5 lubpr.l . . 3 = (le‘𝐾)
6 lubpr.c . . 3 (𝜑𝑋 𝑌)
7 lubpr.s . . 3 (𝜑𝑆 = {𝑋, 𝑌})
8 lubpr.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lubprlem 48859 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈𝑆) = 𝑌))
109simpld 494 1 (𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  {cpr 4628   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  Posetcpo 18353  lubclub 18355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-proset 18340  df-poset 18359  df-lub 18391
This theorem is referenced by:  glbprlem  48862  toslat  48871
  Copyright terms: Public domain W3C validator