Theorem lubprdm 50171

Description: The set of two comparable elements in a poset has LUB. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubpr.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
lubpr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubpr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lubpr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lubpr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lubpr.c	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lubpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
lubpr.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubprdm	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝑈)

Proof of Theorem lubprdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubpr.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
2		lubpr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		lubpr.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		lubpr.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		lubpr.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		lubpr.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
7		lubpr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
8		lubpr.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lubprlem 50170	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘𝑆) = 𝑌))
10	9	simpld 500	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cpr 4586   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ‘cfv 6539  Basecbs 17393  lecple 17441  Posetcpo 18487  lubclub 18489

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-proset 18474  df-poset 18493  df-lub 18524

This theorem is used by:  glbprlem  50173  toslat  50190