Theorem lubprdm 49782

Description: The set of two comparable elements in a poset has LUB. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubpr.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
lubpr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubpr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lubpr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lubpr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lubpr.c	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lubpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
lubpr.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubprdm	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝑈)

Proof of Theorem lubprdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubpr.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
2		lubpr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		lubpr.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		lubpr.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		lubpr.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		lubpr.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
7		lubpr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
8		lubpr.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lubprlem 49781	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘𝑆) = 𝑌))
10	9	simpld 500	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cpr 4596   class class class wbr 5114  dom cdm 5666  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  lecple 17342  Posetcpo 18388  lubclub 18390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-proset 18375  df-poset 18394  df-lub 18425

This theorem is used by:  glbprlem  49784  toslat  49801