Theorem glbprlem 49784

Description: Lemma for glbprdm 49785 and glbpr 49786. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubpr.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
lubpr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubpr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lubpr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lubpr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lubpr.c	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lubpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
glbpr.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
glbprlem	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘𝑆) = 𝑋))

Proof of Theorem glbprlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubpr.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
2		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
3	2	odupos 18407	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
5		lubpr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6	2, 5	odubas 18372	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ODual‘𝐾))
7		lubpr.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		lubpr.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		lubpr.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10	2, 9	oduleval 18370	. . . 4 ⊢ ◡ ≤ = (le‘(ODual‘𝐾))
11		lubpr.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
12		brcnvg 5870	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌◡ ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
13	7, 8, 12	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌◡ ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
14	11, 13	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌◡ ≤ 𝑋)
15		lubpr.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
16		prcom 4703	. . . . 5 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
17	15, 16	eqtrdi 2817	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑌, 𝑋})
18		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (lub‘(ODual‘𝐾)) = (lub‘(ODual‘𝐾))
19	4, 6, 7, 8, 10, 14, 17, 18	lubprdm 49782	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom (lub‘(ODual‘𝐾)))
20		glbpr.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
21	2, 20	odulub 18486	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → 𝐺 = (lub‘(ODual‘𝐾)))
22	1, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (lub‘(ODual‘𝐾)))
23	22	dmeqd 5900	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = dom (lub‘(ODual‘𝐾)))
24	19, 23	eleqtrrd 2869	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
25	22	fveq1d 6890	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = ((lub‘(ODual‘𝐾))‘𝑆))
26	4, 6, 7, 8, 10, 14, 17, 18	lubpr 49783	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lub‘(ODual‘𝐾))‘𝑆) = 𝑋)
27	25, 26	eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑋)
28	24, 27	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘𝑆) = 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cpr 4596   class class class wbr 5114  ^◡ccnv 5665  dom cdm 5666  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  lecple 17342  ODualcodu 18367  Posetcpo 18388  lubclub 18390  glbcglb 18391

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ple 17355  df-odu 18368  df-proset 18375  df-poset 18394  df-lub 18425  df-glb 18426

This theorem is used by:  glbprdm  49785  glbpr  49786