Theorem glbprlem 50017

Description: Lemma for glbprdm 50018 and glbpr 50019. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubpr.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
lubpr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubpr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lubpr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lubpr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lubpr.c	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lubpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
glbpr.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
glbprlem	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘𝑆) = 𝑋))

Proof of Theorem glbprlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubpr.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
2		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
3	2	odupos 18480	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
5		lubpr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6	2, 5	odubas 18445	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ODual‘𝐾))
7		lubpr.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		lubpr.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		lubpr.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10	2, 9	oduleval 18443	. . . 4 ⊢ ◡ ≤ = (le‘(ODual‘𝐾))
11		lubpr.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
12		brcnvg 5857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌◡ ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
13	7, 8, 12	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌◡ ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
14	11, 13	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌◡ ≤ 𝑋)
15		lubpr.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
16		prcom 4693	. . . . 5 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
17	15, 16	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑌, 𝑋})
18		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (lub‘(ODual‘𝐾)) = (lub‘(ODual‘𝐾))
19	4, 6, 7, 8, 10, 14, 17, 18	lubprdm 50015	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom (lub‘(ODual‘𝐾)))
20		glbpr.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
21	2, 20	odulub 18559	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → 𝐺 = (lub‘(ODual‘𝐾)))
22	1, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (lub‘(ODual‘𝐾)))
23	22	dmeqd 5887	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = dom (lub‘(ODual‘𝐾)))
24	19, 23	eleqtrrd 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
25	22	fveq1d 6879	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = ((lub‘(ODual‘𝐾))‘𝑆))
26	4, 6, 7, 8, 10, 14, 17, 18	lubpr 50016	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lub‘(ODual‘𝐾))‘𝑆) = 𝑋)
27	25, 26	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑋)
28	24, 27	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘𝑆) = 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cpr 4586   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ‘cfv 6531  Basecbs 17367  lecple 17415  ODualcodu 18440  Posetcpo 18461  lubclub 18463  glbcglb 18464

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ple 17428  df-odu 18441  df-proset 18448  df-poset 18467  df-lub 18498  df-glb 18499

This theorem is used by:  glbprdm  50018  glbpr  50019