Theorem glbprlem 48906

Description: Lemma for glbprdm 48907 and glbpr 48908. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubpr.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
lubpr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubpr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lubpr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lubpr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lubpr.c	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lubpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
glbpr.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
glbprlem	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘𝑆) = 𝑋))

Proof of Theorem glbprlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubpr.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
3	2	odupos 18343	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
5		lubpr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6	2, 5	odubas 18308	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ODual‘𝐾))
7		lubpr.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		lubpr.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		lubpr.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10	2, 9	oduleval 18306	. . . 4 ⊢ ◡ ≤ = (le‘(ODual‘𝐾))
11		lubpr.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
12		brcnvg 5864	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌◡ ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
13	7, 8, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌◡ ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
14	11, 13	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌◡ ≤ 𝑋)
15		lubpr.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
16		prcom 4713	. . . . 5 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
17	15, 16	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑌, 𝑋})
18		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (lub‘(ODual‘𝐾)) = (lub‘(ODual‘𝐾))
19	4, 6, 7, 8, 10, 14, 17, 18	lubprdm 48904	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom (lub‘(ODual‘𝐾)))
20		glbpr.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
21	2, 20	odulub 18422	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → 𝐺 = (lub‘(ODual‘𝐾)))
22	1, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (lub‘(ODual‘𝐾)))
23	22	dmeqd 5890	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = dom (lub‘(ODual‘𝐾)))
24	19, 23	eleqtrrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
25	22	fveq1d 6883	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = ((lub‘(ODual‘𝐾))‘𝑆))
26	4, 6, 7, 8, 10, 14, 17, 18	lubpr 48905	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lub‘(ODual‘𝐾))‘𝑆) = 𝑋)
27	25, 26	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑋)
28	24, 27	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘𝑆) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cpr 4608   class class class wbr 5124  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  lecple 17283  ODualcodu 18303  Posetcpo 18324  lubclub 18326  glbcglb 18327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-dec 12714  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ple 17296  df-odu 18304  df-proset 18311  df-poset 18330  df-lub 18361  df-glb 18362

This theorem is referenced by:  glbprdm  48907  glbpr  48908