Theorem glbprlem 48957

Description: Lemma for glbprdm 48958 and glbpr 48959. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubpr.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
lubpr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubpr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lubpr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lubpr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lubpr.c	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lubpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
glbpr.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
glbprlem	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘𝑆) = 𝑋))

Proof of Theorem glbprlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubpr.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
2		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
3	2	odupos 18294	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
5		lubpr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6	2, 5	odubas 18259	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ODual‘𝐾))
7		lubpr.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		lubpr.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		lubpr.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10	2, 9	oduleval 18257	. . . 4 ⊢ ◡ ≤ = (le‘(ODual‘𝐾))
11		lubpr.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
12		brcnvg 5846	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌◡ ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
13	7, 8, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌◡ ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
14	11, 13	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌◡ ≤ 𝑋)
15		lubpr.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
16		prcom 4699	. . . . 5 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
17	15, 16	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑌, 𝑋})
18		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (lub‘(ODual‘𝐾)) = (lub‘(ODual‘𝐾))
19	4, 6, 7, 8, 10, 14, 17, 18	lubprdm 48955	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom (lub‘(ODual‘𝐾)))
20		glbpr.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
21	2, 20	odulub 18373	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → 𝐺 = (lub‘(ODual‘𝐾)))
22	1, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (lub‘(ODual‘𝐾)))
23	22	dmeqd 5872	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = dom (lub‘(ODual‘𝐾)))
24	19, 23	eleqtrrd 2832	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
25	22	fveq1d 6863	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = ((lub‘(ODual‘𝐾))‘𝑆))
26	4, 6, 7, 8, 10, 14, 17, 18	lubpr 48956	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lub‘(ODual‘𝐾))‘𝑆) = 𝑋)
27	25, 26	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑋)
28	24, 27	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘𝑆) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cpr 4594   class class class wbr 5110  ^◡ccnv 5640  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  lecple 17234  ODualcodu 18254  Posetcpo 18275  lubclub 18277  glbcglb 18278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-dec 12657  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ple 17247  df-odu 18255  df-proset 18262  df-poset 18281  df-lub 18312  df-glb 18313

This theorem is referenced by:  glbprdm  48958  glbpr  48959