Theorem glbprlem 48953

Description: Lemma for glbprdm 48954 and glbpr 48955. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubpr.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
lubpr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubpr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lubpr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lubpr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lubpr.c	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lubpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
glbpr.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
glbprlem	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘𝑆) = 𝑋))

Proof of Theorem glbprlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubpr.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
2		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
3	2	odupos 18250	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ODual‘𝐾) ∈ Poset)
5		lubpr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6	2, 5	odubas 18215	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ODual‘𝐾))
7		lubpr.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		lubpr.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		lubpr.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10	2, 9	oduleval 18213	. . . 4 ⊢ ◡ ≤ = (le‘(ODual‘𝐾))
11		lubpr.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
12		brcnvg 5826	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌◡ ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
13	7, 8, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌◡ ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
14	11, 13	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌◡ ≤ 𝑋)
15		lubpr.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑋, 𝑌})
16		prcom 4686	. . . . 5 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
17	15, 16	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑌, 𝑋})
18		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (lub‘(ODual‘𝐾)) = (lub‘(ODual‘𝐾))
19	4, 6, 7, 8, 10, 14, 17, 18	lubprdm 48951	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom (lub‘(ODual‘𝐾)))
20		glbpr.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
21	2, 20	odulub 18329	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → 𝐺 = (lub‘(ODual‘𝐾)))
22	1, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (lub‘(ODual‘𝐾)))
23	22	dmeqd 5852	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = dom (lub‘(ODual‘𝐾)))
24	19, 23	eleqtrrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
25	22	fveq1d 6828	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = ((lub‘(ODual‘𝐾))‘𝑆))
26	4, 6, 7, 8, 10, 14, 17, 18	lubpr 48952	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lub‘(ODual‘𝐾))‘𝑆) = 𝑋)
27	25, 26	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) = 𝑋)
28	24, 27	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘𝑆) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cpr 4581   class class class wbr 5095  ^◡ccnv 5622  dom cdm 5623  ‘cfv 6486  Basecbs 17138  lecple 17186  ODualcodu 18210  Posetcpo 18231  lubclub 18233  glbcglb 18234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-dec 12610  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ple 17199  df-odu 18211  df-proset 18218  df-poset 18237  df-lub 18268  df-glb 18269

This theorem is referenced by:  glbprdm  48954  glbpr  48955