Theorem map1 9052

Description: Set exponentiation: ordinal 1 to any set is equinumerous to ordinal 1. Exercise 4.42(b) of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 17-Dec-2003.) (Proof shortened by AV, 17-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
map1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (1o ↑m 𝐴) ≈ 1o)

Proof of Theorem map1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 8467	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
2	1	oveq1i 7422	. 2 ⊢ (1o ↑m 𝐴) = ({∅} ↑m 𝐴)
3		0ex 5261	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4		snmapen1 9051	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} ↑m 𝐴) ≈ 1o)
5	3, 4	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ↑m 𝐴) ≈ 1o)
6	2, 5	eqbrtrid 5140	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (1o ↑m 𝐴) ≈ 1o)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  1_oc1o 8453   ↑_m cmap 8831   ≈ cen 8954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958

This theorem is used by: (None)