Theorem map1 9071

Description: Set exponentiation: ordinal 1 to any set is equinumerous to ordinal 1. Exercise 4.42(b) of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 17-Dec-2003.) (Proof shortened by AV, 17-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
map1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (1o ↑m 𝐴) ≈ 1o)

Proof of Theorem map1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 8486	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
2	1	oveq1i 7430	. 2 ⊢ (1o ↑m 𝐴) = ({∅} ↑m 𝐴)
3		0ex 5260	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4		snmapen1 9070	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} ↑m 𝐴) ≈ 1o)
5	3, 4	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ↑m 𝐴) ≈ 1o)
6	2, 5	eqbrtrid 5139	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (1o ↑m 𝐴) ≈ 1o)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4278  {csn 4584   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  1_oc1o 8472   ↑_m cmap 8850   ≈ cen 8973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977

This theorem is used by: (None)