Theorem map1 8984

Description: Set exponentiation: ordinal 1 to any set is equinumerous to ordinal 1. Exercise 4.42(b) of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 17-Dec-2003.) (Proof shortened by AV, 17-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
map1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (1o ↑m 𝐴) ≈ 1o)

Proof of Theorem map1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 8409	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
2	1	oveq1i 7373	. 2 ⊢ (1o ↑m 𝐴) = ({∅} ↑m 𝐴)
3		0ex 5236	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4		snmapen1 8983	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} ↑m 𝐴) ≈ 1o)
5	3, 4	mpan 696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ↑m 𝐴) ≈ 1o)
6	2, 5	eqbrtrid 5114	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (1o ↑m 𝐴) ≈ 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432  ∅c0 4268  {csn 4562   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  1_oc1o 8395   ↑_m cmap 8770   ≈ cen 8887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891

This theorem is referenced by: (None)