Theorem en2sn 9053

Description: Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.) Avoid ax-pow 5335. (Revised by BTernaryTau, 31-Jul-2024.) Avoid ax-un 7727. (Revised by BTernaryTau, 25-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
en2sn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Proof of Theorem en2sn

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5406	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V
2		f1osng 6858	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
3		f1oeq1 6805	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵} ↔ {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵}))
4	3	spcegv 3576	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵} → ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵}))
5	1, 2, 4	mpsyl 68	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
6		snex 5406	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
7		snex 5406	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ V
8		breng 8966	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {𝐵} ∈ V) → ({𝐴} ≈ {𝐵} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵}))
9	6, 7, 8	mp2an 692	. 2 ⊢ ({𝐴} ≈ {𝐵} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
10	5, 9	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  {csn 4601  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119  –1-1-onto→wf1o 6529   ≈ cen 8954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-mo 2539  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-en 8958

This theorem is referenced by:  enrefnn  9059  enpr2dOLD  9062  difsnen  9065  domunsncan  9084  sucdom2OLD  9094  domunsn  9139  limensuci  9165  infensuc  9167  unfi  9183  sucdom2  9215  0sdom1dom  9244  1sdom2dom  9253  dif1ennnALT  9281  fodomfi  9320  dif1card  10022  fin23lem26  10337  unsnen  10565  canthp1lem1  10664  fzennn  13984  hashsng  14385  mreexexlem4d  17657