Theorem en2sn 8990

Description: Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.) Avoid ax-pow 5312. (Revised by BTernaryTau, 31-Jul-2024.) Avoid ax-un 7690. (Revised by BTernaryTau, 25-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
en2sn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Proof of Theorem en2sn

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5385	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V
2		f1osng 6824	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
3		f1oeq1 6770	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵} ↔ {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵}))
4	3	spcegv 3553	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵} → ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵}))
5	1, 2, 4	mpsyl 68	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
6		snex 5385	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
7		snex 5385	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ V
8		breng 8904	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {𝐵} ∈ V) → ({𝐴} ≈ {𝐵} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵}))
9	6, 7, 8	mp2an 693	. 2 ⊢ ({𝐴} ≈ {𝐵} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
10	5, 9	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  {csn 4582  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  –1-1-onto→wf1o 6499   ≈ cen 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-en 8896

This theorem is referenced by:  enrefnn  8995  difsnen  8999  domunsncan  9017  domunsn  9067  limensuci  9093  infensuc  9095  unfi  9107  sucdom2  9139  0sdom1dom  9158  1sdom2dom  9166  dif1ennnALT  9189  fodomfi  9224  dif1card  9932  fin23lem26  10247  unsnen  10475  canthp1lem1  10575  fzennn  13903  hashsng  14304  mreexexlem4d  17582