Theorem en2sn 9100

Description: Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.) Avoid ax-pow 5332. (Revised by BTernaryTau, 31-Jul-2024.) Avoid ax-un 7778. (Revised by BTernaryTau, 25-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
en2sn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Proof of Theorem en2sn

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5402	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V
2		f1osng 6893	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶1-1onto{𝐵})
3		f1oeq1 6837	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (𝑓:{𝐴}⟶1-1onto{𝐵} ↔ {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶1-1onto{𝐵}))
4	3	spcegv 3555	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶1-1onto{𝐵} → ∃𝑓 𝑓:{𝐴}⟶1-1onto{𝐵}))
5	1, 2, 4	mpsyl 69	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ∃𝑓 𝑓:{𝐴}⟶1-1onto{𝐵})
6		snex 5402	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
7		snex 5402	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ V
8		breng 9013	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {𝐵} ∈ V) → ({𝐴} ≈ {𝐵} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}⟶1-1onto{𝐵}))
9	6, 7, 8	mp2an 705	. 2 ⊢ ({𝐴} ≈ {𝐵} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}⟶1-1onto{𝐵})
10	5, 9	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  {csn 4588  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  ⟶1-1ontowf1o 6560   ≈ cen 9001

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5172  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-en 9005

This theorem is used by:  enrefnn  9105  difsnen  9109  domunsncan  9127  domunsn  9177  limensuci  9203  infensuc  9205  unfi  9217  sucdom2  9249  0sdom1dom  9268  1sdom2dom  9276  dif1ennnALT  9299  fodomfi  9335  dif1card  10119  fin23lem26  10433  unsnen  10667  canthp1lem1  10767  fzennn  14141  hashsng  14543  mreexexlem4d  17853