Theorem en2sn 8978

Description: Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.) Avoid ax-pow 5310. (Revised by BTernaryTau, 31-Jul-2024.) Avoid ax-un 7680. (Revised by BTernaryTau, 25-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
en2sn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Proof of Theorem en2sn

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5381	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V
2		f1osng 6816	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
3		f1oeq1 6762	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵} ↔ {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵}))
4	3	spcegv 3551	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵} → ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵}))
5	1, 2, 4	mpsyl 68	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
6		snex 5381	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
7		snex 5381	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ V
8		breng 8892	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {𝐵} ∈ V) → ({𝐴} ≈ {𝐵} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵}))
9	6, 7, 8	mp2an 692	. 2 ⊢ ({𝐴} ≈ {𝐵} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
10	5, 9	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  {csn 4580  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098  –1-1-onto→wf1o 6491   ≈ cen 8880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2539  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-en 8884

This theorem is referenced by:  enrefnn  8983  difsnen  8987  domunsncan  9005  domunsn  9055  limensuci  9081  infensuc  9083  unfi  9095  sucdom2  9127  0sdom1dom  9146  1sdom2dom  9154  dif1ennnALT  9177  fodomfi  9212  dif1card  9920  fin23lem26  10235  unsnen  10463  canthp1lem1  10563  fzennn  13891  hashsng  14292  mreexexlem4d  17570