Theorem en2sn 9039

Description: Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.) Avoid ax-pow 5338. (Revised by BTernaryTau, 31-Jul-2024.) Avoid ax-un 7734. (Revised by BTernaryTau, 25-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
en2sn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Proof of Theorem en2sn

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5412	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V
2		f1osng 6865	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
3		f1oeq1 6810	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵} ↔ {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵}))
4	3	spcegv 3557	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵} → ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵}))
5	1, 2, 4	mpsyl 69	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
6		snex 5412	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
7		snex 5412	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ V
8		breng 8953	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {𝐵} ∈ V) → ({𝐴} ≈ {𝐵} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵}))
9	6, 7, 8	mp2an 704	. 2 ⊢ ({𝐴} ≈ {𝐵} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
10	5, 9	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  {csn 4590  ⟨cop 4596   class class class wbr 5110  –1-1-onto→wf1o 6537   ≈ cen 8941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-en 8945

This theorem is referenced by:  enrefnn  9044  difsnen  9048  domunsncan  9066  domunsn  9116  limensuci  9142  infensuc  9144  unfi  9156  sucdom2  9188  0sdom1dom  9207  1sdom2dom  9215  dif1ennnALT  9238  fodomfi  9273  dif1card  9995  fin23lem26  10310  unsnen  10538  canthp1lem1  10638  fzennn  14006  hashsng  14407  mreexexlem4d  17704