Theorem en2sn 8279

Description: Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
en2sn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Proof of Theorem en2sn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1g 8260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
2		ensn1g 8260	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → {𝐵} ≈ 1𝑜)
3	2	ensymd 8246	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 1𝑜 ≈ {𝐵})
4		entr 8247	. 2 ⊢ (({𝐴} ≈ 1𝑜 ∧ 1𝑜 ≈ {𝐵}) → {𝐴} ≈ {𝐵})
5	1, 3, 4	syl2an 590	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157  {csn 4368   class class class wbr 4843  1_𝑜c1o 7792   ≈ cen 8192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-suc 5947  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-1o 7799  df-er 7982  df-en 8196

This theorem is referenced by:  difsnen  8284  domunsncan  8302  domunsn  8352  limensuci  8378  infensuc  8380  sucdom2  8398  dif1en  8435  dif1card  9119  fin23lem26  9435  unsnen  9663  canthp1lem1  9762  fzennn  13022  hashsng  13409  mreexexlem4d  16622