Theorem en2sn 9018

Description: Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.) Avoid ax-pow 5321. (Revised by BTernaryTau, 31-Jul-2024.) Avoid ax-un 7714. (Revised by BTernaryTau, 25-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
en2sn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Proof of Theorem en2sn

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5395	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V
2		f1osng 6845	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
3		f1oeq1 6790	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵} ↔ {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵}))
4	3	spcegv 3556	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵} → ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵}))
5	1, 2, 4	mpsyl 68	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
6		snex 5395	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
7		snex 5395	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ V
8		breng 8932	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {𝐵} ∈ V) → ({𝐴} ≈ {𝐵} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵}))
9	6, 7, 8	mp2an 702	. 2 ⊢ ({𝐴} ≈ {𝐵} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
10	5, 9	sylibr 236	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  {csn 4581  ⟨cop 4587   class class class wbr 5099  –1-1-onto→wf1o 6516   ≈ cen 8920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-en 8924

This theorem is referenced by:  enrefnn  9023  difsnen  9027  domunsncan  9045  domunsn  9095  limensuci  9121  infensuc  9123  unfi  9135  sucdom2  9167  0sdom1dom  9186  1sdom2dom  9194  dif1ennnALT  9217  fodomfi  9252  dif1card  9963  fin23lem26  10279  unsnen  10507  canthp1lem1  10607  fzennn  13978  hashsng  14379  mreexexlem4d  17662