Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mexval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mexval 34488
Description: The set of expressions, which are pairs whose first element is a typecode, and whose second element is a raw expression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mexval.k 𝐾 = (mTCβ€˜π‘‡)
mexval.e 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
mexval.r 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mexval 𝐸 = (𝐾 Γ— 𝑅)

Proof of Theorem mexval
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mexval.e . 2 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
2 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑇 β†’ (mTCβ€˜π‘‘) = (mTCβ€˜π‘‡))
3 mexval.k . . . . . 6 𝐾 = (mTCβ€˜π‘‡)
42, 3eqtr4di 2790 . . . . 5 (𝑑 = 𝑇 β†’ (mTCβ€˜π‘‘) = 𝐾)
5 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑇 β†’ (mRExβ€˜π‘‘) = (mRExβ€˜π‘‡))
6 mexval.r . . . . . 6 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
75, 6eqtr4di 2790 . . . . 5 (𝑑 = 𝑇 β†’ (mRExβ€˜π‘‘) = 𝑅)
84, 7xpeq12d 5707 . . . 4 (𝑑 = 𝑇 β†’ ((mTCβ€˜π‘‘) Γ— (mRExβ€˜π‘‘)) = (𝐾 Γ— 𝑅))
9 df-mex 34473 . . . 4 mEx = (𝑑 ∈ V ↦ ((mTCβ€˜π‘‘) Γ— (mRExβ€˜π‘‘)))
10 fvex 6904 . . . . 5 (mTCβ€˜π‘‘) ∈ V
11 fvex 6904 . . . . 5 (mRExβ€˜π‘‘) ∈ V
1210, 11xpex 7739 . . . 4 ((mTCβ€˜π‘‘) Γ— (mRExβ€˜π‘‘)) ∈ V
138, 9, 12fvmpt3i 7003 . . 3 (𝑇 ∈ V β†’ (mExβ€˜π‘‡) = (𝐾 Γ— 𝑅))
14 xp0 6157 . . . . 5 (𝐾 Γ— βˆ…) = βˆ…
1514eqcomi 2741 . . . 4 βˆ… = (𝐾 Γ— βˆ…)
16 fvprc 6883 . . . 4 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ (mExβ€˜π‘‡) = βˆ…)
17 fvprc 6883 . . . . . 6 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ (mRExβ€˜π‘‡) = βˆ…)
186, 17eqtrid 2784 . . . . 5 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ 𝑅 = βˆ…)
1918xpeq2d 5706 . . . 4 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ (𝐾 Γ— 𝑅) = (𝐾 Γ— βˆ…))
2015, 16, 193eqtr4a 2798 . . 3 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ (mExβ€˜π‘‡) = (𝐾 Γ— 𝑅))
2113, 20pm2.61i 182 . 2 (mExβ€˜π‘‡) = (𝐾 Γ— 𝑅)
221, 21eqtri 2760 1 𝐸 = (𝐾 Γ— 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  βˆ…c0 4322   Γ— cxp 5674  β€˜cfv 6543  mTCcmtc 34450  mRExcmrex 34452  mExcmex 34453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-mex 34473
This theorem is referenced by:  mexval2  34489  msubff  34516  msubco  34517  msubff1  34542  mvhf  34544  msubvrs  34546
  Copyright terms: Public domain W3C validator