Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mexval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mexval 34160
Description: The set of expressions, which are pairs whose first element is a typecode, and whose second element is a raw expression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mexval.k 𝐾 = (mTCβ€˜π‘‡)
mexval.e 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
mexval.r 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mexval 𝐸 = (𝐾 Γ— 𝑅)

Proof of Theorem mexval
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mexval.e . 2 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
2 fveq2 6846 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑇 β†’ (mTCβ€˜π‘‘) = (mTCβ€˜π‘‡))
3 mexval.k . . . . . 6 𝐾 = (mTCβ€˜π‘‡)
42, 3eqtr4di 2791 . . . . 5 (𝑑 = 𝑇 β†’ (mTCβ€˜π‘‘) = 𝐾)
5 fveq2 6846 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑇 β†’ (mRExβ€˜π‘‘) = (mRExβ€˜π‘‡))
6 mexval.r . . . . . 6 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
75, 6eqtr4di 2791 . . . . 5 (𝑑 = 𝑇 β†’ (mRExβ€˜π‘‘) = 𝑅)
84, 7xpeq12d 5668 . . . 4 (𝑑 = 𝑇 β†’ ((mTCβ€˜π‘‘) Γ— (mRExβ€˜π‘‘)) = (𝐾 Γ— 𝑅))
9 df-mex 34145 . . . 4 mEx = (𝑑 ∈ V ↦ ((mTCβ€˜π‘‘) Γ— (mRExβ€˜π‘‘)))
10 fvex 6859 . . . . 5 (mTCβ€˜π‘‘) ∈ V
11 fvex 6859 . . . . 5 (mRExβ€˜π‘‘) ∈ V
1210, 11xpex 7691 . . . 4 ((mTCβ€˜π‘‘) Γ— (mRExβ€˜π‘‘)) ∈ V
138, 9, 12fvmpt3i 6957 . . 3 (𝑇 ∈ V β†’ (mExβ€˜π‘‡) = (𝐾 Γ— 𝑅))
14 xp0 6114 . . . . 5 (𝐾 Γ— βˆ…) = βˆ…
1514eqcomi 2742 . . . 4 βˆ… = (𝐾 Γ— βˆ…)
16 fvprc 6838 . . . 4 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ (mExβ€˜π‘‡) = βˆ…)
17 fvprc 6838 . . . . . 6 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ (mRExβ€˜π‘‡) = βˆ…)
186, 17eqtrid 2785 . . . . 5 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ 𝑅 = βˆ…)
1918xpeq2d 5667 . . . 4 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ (𝐾 Γ— 𝑅) = (𝐾 Γ— βˆ…))
2015, 16, 193eqtr4a 2799 . . 3 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ (mExβ€˜π‘‡) = (𝐾 Γ— 𝑅))
2113, 20pm2.61i 182 . 2 (mExβ€˜π‘‡) = (𝐾 Γ— 𝑅)
221, 21eqtri 2761 1 𝐸 = (𝐾 Γ— 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  βˆ…c0 4286   Γ— cxp 5635  β€˜cfv 6500  mTCcmtc 34122  mRExcmrex 34124  mExcmex 34125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-mex 34145
This theorem is referenced by:  mexval2  34161  msubff  34188  msubco  34189  msubff1  34214  mvhf  34216  msubvrs  34218
  Copyright terms: Public domain W3C validator