Theorem mrexval 35959

Description: The set of "raw expressions", which are expressions without a typecode, that is, just sequences of constants and variables. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrexval.c	⊢ 𝐶 = (mCN‘𝑇)
mrexval.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrexval.r	⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrexval	⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑅 = Word (𝐶 ∪ 𝑉))

Proof of Theorem mrexval

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrexval.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
2		elex 3474	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑇 ∈ V)
3		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (mCN‘𝑡) = (mCN‘𝑇))
4		mrexval.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (mCN‘𝑇)
5	3, 4	eqtr4di 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (mCN‘𝑡) = 𝐶)
6		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (mVR‘𝑡) = (mVR‘𝑇))
7		mrexval.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
8	6, 7	eqtr4di 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (mVR‘𝑡) = 𝑉)
9	5, 8	uneq12d 4122	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) = (𝐶 ∪ 𝑉))
10		wrdeq 14573	. . . . 5 ⊢ (((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) = (𝐶 ∪ 𝑉) → Word ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) = Word (𝐶 ∪ 𝑉))
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → Word ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) = Word (𝐶 ∪ 𝑉))
12		df-mrex 35944	. . . 4 ⊢ mREx = (𝑡 ∈ V ↦ Word ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)))
13		fvex 6894	. . . . . 6 ⊢ (mCN‘𝑡) ∈ V
14		fvex 6894	. . . . . 6 ⊢ (mVR‘𝑡) ∈ V
15	13, 14	unex 7742	. . . . 5 ⊢ ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) ∈ V
16	15	wrdexi 14563	. . . 4 ⊢ Word ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) ∈ V
17	11, 12, 16	fvmpt3i 6995	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ V → (mREx‘𝑇) = Word (𝐶 ∪ 𝑉))
18	2, 17	syl 18	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (mREx‘𝑇) = Word (𝐶 ∪ 𝑉))
19	1, 18	eqtrid 2808	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑅 = Word (𝐶 ∪ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∪ cun 3902  ‘cfv 6536  Word cword 14550  mCNcmcn 35918  mVRcmvar 35919  mRExcmrex 35924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-mrex 35944

This theorem is referenced by:  mexval2  35961  mrsubcv  35968  mrsubff  35970  mrsubrn  35971  mrsub0  35974  mrsubccat  35976  elmrsubrn  35978  mrsubco  35979  mrsubvrs  35980  mvhf  36016  msubvrs  36018