Theorem mrexval 36088

Description: The set of "raw expressions", which are expressions without a typecode, that is, just sequences of constants and variables. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrexval.c	⊢ 𝐶 = (mCN‘𝑇)
mrexval.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrexval.r	⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrexval	⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑅 = Word (𝐶 ∪ 𝑉))

Proof of Theorem mrexval

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrexval.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
2		elex 3474	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑇 ∈ V)
3		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (mCN‘𝑡) = (mCN‘𝑇))
4		mrexval.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (mCN‘𝑇)
5	3, 4	eqtr4di 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (mCN‘𝑡) = 𝐶)
6		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (mVR‘𝑡) = (mVR‘𝑇))
7		mrexval.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
8	6, 7	eqtr4di 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (mVR‘𝑡) = 𝑉)
9	5, 8	uneq12d 4119	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) = (𝐶 ∪ 𝑉))
10		wrdeq 14605	. . . . 5 ⊢ (((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) = (𝐶 ∪ 𝑉) → Word ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) = Word (𝐶 ∪ 𝑉))
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → Word ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) = Word (𝐶 ∪ 𝑉))
12		df-mrex 36073	. . . 4 ⊢ mREx = (𝑡 ∈ V ↦ Word ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)))
13		fvex 6895	. . . . . 6 ⊢ (mCN‘𝑡) ∈ V
14		fvex 6895	. . . . . 6 ⊢ (mVR‘𝑡) ∈ V
15	13, 14	unex 7750	. . . . 5 ⊢ ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) ∈ V
16	15	wrdexi 14595	. . . 4 ⊢ Word ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) ∈ V
17	11, 12, 16	fvmpt3i 6996	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ V → (mREx‘𝑇) = Word (𝐶 ∪ 𝑉))
18	2, 17	syl 18	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (mREx‘𝑇) = Word (𝐶 ∪ 𝑉))
19	1, 18	eqtrid 2809	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑅 = Word (𝐶 ∪ 𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∪ cun 3900  ‘cfv 6537  Word cword 14582  mCNcmcn 36047  mVRcmvar 36048  mRExcmrex 36053

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-mrex 36073

This theorem is used by:  mexval2  36090  mrsubcv  36097  mrsubff  36099  mrsubrn  36100  mrsub0  36103  mrsubccat  36105  elmrsubrn  36107  mrsubco  36108  mrsubvrs  36109  mvhf  36145  msubvrs  36147