Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrexval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrexval 34487
Description: The set of "raw expressions", which are expressions without a typecode, that is, just sequences of constants and variables. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrexval.c 𝐢 = (mCNβ€˜π‘‡)
mrexval.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mrexval.r 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mrexval (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑅 = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))

Proof of Theorem mrexval
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrexval.r . 2 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
2 elex 3492 . . 3 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑇 ∈ V)
3 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑇 β†’ (mCNβ€˜π‘‘) = (mCNβ€˜π‘‡))
4 mrexval.c . . . . . . 7 𝐢 = (mCNβ€˜π‘‡)
53, 4eqtr4di 2790 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑇 β†’ (mCNβ€˜π‘‘) = 𝐢)
6 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑇 β†’ (mVRβ€˜π‘‘) = (mVRβ€˜π‘‡))
7 mrexval.v . . . . . . 7 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
86, 7eqtr4di 2790 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑇 β†’ (mVRβ€˜π‘‘) = 𝑉)
95, 8uneq12d 4164 . . . . 5 (𝑑 = 𝑇 β†’ ((mCNβ€˜π‘‘) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‘)) = (𝐢 βˆͺ 𝑉))
10 wrdeq 14485 . . . . 5 (((mCNβ€˜π‘‘) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‘)) = (𝐢 βˆͺ 𝑉) β†’ Word ((mCNβ€˜π‘‘) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‘)) = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑑 = 𝑇 β†’ Word ((mCNβ€˜π‘‘) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‘)) = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
12 df-mrex 34472 . . . 4 mREx = (𝑑 ∈ V ↦ Word ((mCNβ€˜π‘‘) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‘)))
13 fvex 6904 . . . . . 6 (mCNβ€˜π‘‘) ∈ V
14 fvex 6904 . . . . . 6 (mVRβ€˜π‘‘) ∈ V
1513, 14unex 7732 . . . . 5 ((mCNβ€˜π‘‘) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‘)) ∈ V
1615wrdexi 14475 . . . 4 Word ((mCNβ€˜π‘‘) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‘)) ∈ V
1711, 12, 16fvmpt3i 7003 . . 3 (𝑇 ∈ V β†’ (mRExβ€˜π‘‡) = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
182, 17syl 17 . 2 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (mRExβ€˜π‘‡) = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
191, 18eqtrid 2784 1 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑅 = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946  β€˜cfv 6543  Word cword 14463  mCNcmcn 34446  mVRcmvar 34447  mRExcmrex 34452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-mrex 34472
This theorem is referenced by:  mexval2  34489  mrsubcv  34496  mrsubff  34498  mrsubrn  34499  mrsub0  34502  mrsubccat  34504  elmrsubrn  34506  mrsubco  34507  mrsubvrs  34508  mvhf  34544  msubvrs  34546
  Copyright terms: Public domain W3C validator