Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrexval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrexval 35047
Description: The set of "raw expressions", which are expressions without a typecode, that is, just sequences of constants and variables. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrexval.c 𝐢 = (mCNβ€˜π‘‡)
mrexval.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mrexval.r 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mrexval (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑅 = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))

Proof of Theorem mrexval
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrexval.r . 2 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
2 elex 3488 . . 3 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑇 ∈ V)
3 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑇 β†’ (mCNβ€˜π‘‘) = (mCNβ€˜π‘‡))
4 mrexval.c . . . . . . 7 𝐢 = (mCNβ€˜π‘‡)
53, 4eqtr4di 2785 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑇 β†’ (mCNβ€˜π‘‘) = 𝐢)
6 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑇 β†’ (mVRβ€˜π‘‘) = (mVRβ€˜π‘‡))
7 mrexval.v . . . . . . 7 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
86, 7eqtr4di 2785 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑇 β†’ (mVRβ€˜π‘‘) = 𝑉)
95, 8uneq12d 4160 . . . . 5 (𝑑 = 𝑇 β†’ ((mCNβ€˜π‘‘) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‘)) = (𝐢 βˆͺ 𝑉))
10 wrdeq 14510 . . . . 5 (((mCNβ€˜π‘‘) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‘)) = (𝐢 βˆͺ 𝑉) β†’ Word ((mCNβ€˜π‘‘) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‘)) = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑑 = 𝑇 β†’ Word ((mCNβ€˜π‘‘) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‘)) = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
12 df-mrex 35032 . . . 4 mREx = (𝑑 ∈ V ↦ Word ((mCNβ€˜π‘‘) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‘)))
13 fvex 6904 . . . . . 6 (mCNβ€˜π‘‘) ∈ V
14 fvex 6904 . . . . . 6 (mVRβ€˜π‘‘) ∈ V
1513, 14unex 7742 . . . . 5 ((mCNβ€˜π‘‘) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‘)) ∈ V
1615wrdexi 14500 . . . 4 Word ((mCNβ€˜π‘‘) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‘)) ∈ V
1711, 12, 16fvmpt3i 7004 . . 3 (𝑇 ∈ V β†’ (mRExβ€˜π‘‡) = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
182, 17syl 17 . 2 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (mRExβ€˜π‘‡) = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
191, 18eqtrid 2779 1 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑅 = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   βˆͺ cun 3942  β€˜cfv 6542  Word cword 14488  mCNcmcn 35006  mVRcmvar 35007  mRExcmrex 35012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-mrex 35032
This theorem is referenced by:  mexval2  35049  mrsubcv  35056  mrsubff  35058  mrsubrn  35059  mrsub0  35062  mrsubccat  35064  elmrsubrn  35066  mrsubco  35067  mrsubvrs  35068  mvhf  35104  msubvrs  35106
  Copyright terms: Public domain W3C validator