Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrexval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrexval 32873
 Description: The set of "raw expressions", which are expressions without a typecode, that is, just sequences of constants and variables. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrexval.c 𝐶 = (mCN‘𝑇)
mrexval.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrexval.r 𝑅 = (mREx‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mrexval (𝑇𝑊𝑅 = Word (𝐶𝑉))

Proof of Theorem mrexval
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrexval.r . 2 𝑅 = (mREx‘𝑇)
2 elex 3459 . . 3 (𝑇𝑊𝑇 ∈ V)
3 fveq2 6645 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑇 → (mCN‘𝑡) = (mCN‘𝑇))
4 mrexval.c . . . . . . 7 𝐶 = (mCN‘𝑇)
53, 4eqtr4di 2851 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑇 → (mCN‘𝑡) = 𝐶)
6 fveq2 6645 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑇 → (mVR‘𝑡) = (mVR‘𝑇))
7 mrexval.v . . . . . . 7 𝑉 = (mVR‘𝑇)
86, 7eqtr4di 2851 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑇 → (mVR‘𝑡) = 𝑉)
95, 8uneq12d 4091 . . . . 5 (𝑡 = 𝑇 → ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) = (𝐶𝑉))
10 wrdeq 13881 . . . . 5 (((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) = (𝐶𝑉) → Word ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) = Word (𝐶𝑉))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑡 = 𝑇 → Word ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) = Word (𝐶𝑉))
12 df-mrex 32858 . . . 4 mREx = (𝑡 ∈ V ↦ Word ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)))
13 fvex 6658 . . . . . 6 (mCN‘𝑡) ∈ V
14 fvex 6658 . . . . . 6 (mVR‘𝑡) ∈ V
1513, 14unex 7451 . . . . 5 ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) ∈ V
1615wrdexi 13871 . . . 4 Word ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) ∈ V
1711, 12, 16fvmpt3i 6750 . . 3 (𝑇 ∈ V → (mREx‘𝑇) = Word (𝐶𝑉))
182, 17syl 17 . 2 (𝑇𝑊 → (mREx‘𝑇) = Word (𝐶𝑉))
191, 18syl5eq 2845 1 (𝑇𝑊𝑅 = Word (𝐶𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∪ cun 3879  ‘cfv 6324  Word cword 13859  mCNcmcn 32832  mVRcmvar 32833  mRExcmrex 32838 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-hash 13689  df-word 13860  df-mrex 32858 This theorem is referenced by:  mexval2  32875  mrsubcv  32882  mrsubff  32884  mrsubrn  32885  mrsub0  32888  mrsubccat  32890  elmrsubrn  32892  mrsubco  32893  mrsubvrs  32894  mvhf  32930  msubvrs  32932
 Copyright terms: Public domain W3C validator