Theorem mrexval 34790

Description: The set of "raw expressions", which are expressions without a typecode, that is, just sequences of constants and variables. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrexval.c	⊢ 𝐶 = (mCN‘𝑇)
mrexval.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrexval.r	⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrexval	⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑅 = Word (𝐶 ∪ 𝑉))

Proof of Theorem mrexval

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrexval.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
2		elex 3491	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑇 ∈ V)
3		fveq2 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (mCN‘𝑡) = (mCN‘𝑇))
4		mrexval.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (mCN‘𝑇)
5	3, 4	eqtr4di 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (mCN‘𝑡) = 𝐶)
6		fveq2 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (mVR‘𝑡) = (mVR‘𝑇))
7		mrexval.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
8	6, 7	eqtr4di 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (mVR‘𝑡) = 𝑉)
9	5, 8	uneq12d 4163	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) = (𝐶 ∪ 𝑉))
10		wrdeq 14490	. . . . 5 ⊢ (((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) = (𝐶 ∪ 𝑉) → Word ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) = Word (𝐶 ∪ 𝑉))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → Word ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) = Word (𝐶 ∪ 𝑉))
12		df-mrex 34775	. . . 4 ⊢ mREx = (𝑡 ∈ V ↦ Word ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)))
13		fvex 6903	. . . . . 6 ⊢ (mCN‘𝑡) ∈ V
14		fvex 6903	. . . . . 6 ⊢ (mVR‘𝑡) ∈ V
15	13, 14	unex 7735	. . . . 5 ⊢ ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) ∈ V
16	15	wrdexi 14480	. . . 4 ⊢ Word ((mCN‘𝑡) ∪ (mVR‘𝑡)) ∈ V
17	11, 12, 16	fvmpt3i 7002	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ V → (mREx‘𝑇) = Word (𝐶 ∪ 𝑉))
18	2, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (mREx‘𝑇) = Word (𝐶 ∪ 𝑉))
19	1, 18	eqtrid 2782	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑅 = Word (𝐶 ∪ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   ∪ cun 3945  ‘cfv 6542  Word cword 14468  mCNcmcn 34749  mVRcmvar 34750  mRExcmrex 34755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-mrex 34775

This theorem is referenced by:  mexval2  34792  mrsubcv  34799  mrsubff  34801  mrsubrn  34802  mrsub0  34805  mrsubccat  34807  elmrsubrn  34809  mrsubco  34810  mrsubvrs  34811  mvhf  34847  msubvrs  34849