Theorem fvmpt3i 7034

Description: Value of a function given in maps-to notation, with a slightly different sethood condition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt3.a	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmpt3.b	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmpt3i.c	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt3i	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt3.a	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
2		fvmpt3.b	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
3		fvmpt3i.c	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
5	1, 2, 4	fvmpt3 7033	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581

This theorem is referenced by:  isf32lem9  10430  axcc2lem  10505  caucvg  15727  ismre  17648  mrisval  17688  frmdup1  18899  frmdup2  18900  qusghm  19295  pmtrfval  19492  odf1  19604  vrgpfval  19808  dprdz  20074  dmdprdsplitlem  20081  dprd2dlem2  20084  dprd2dlem1  20085  dprd2da  20086  ablfac1a  20113  ablfac1b  20114  ablfac1eu  20117  ipdir  21680  ipass  21686  isphld  21695  istopon  22939  qustgpopn  24149  qustgplem  24150  tcphcph  25290  cmvth  26049  cmvthOLD  26050  mvth  26051  dvle  26066  lhop1  26073  dvfsumlem3  26089  pige3ALT  26580  fsumdvdscom  27246  logfacbnd3  27285  dchrptlem1  27326  dchrptlem2  27327  lgsdchrval  27416  dchrisumlem3  27553  dchrisum0flblem1  27570  dchrisum0fno1  27573  dchrisum0lem1b  27577  dchrisum0lem2a  27579  dchrisum0lem2  27580  logsqvma2  27605  log2sumbnd  27606  zringfrac  33547  measdivcst  34188  measdivcstALTV  34189  mrexval  35469  mexval  35470  mdvval  35472  msubvrs  35528  mthmval  35543  weiunlem2  36429  f1omptsnlem  37302  upixp  37689  ismrer1  37798  frlmsnic  42495  fsuppind  42545  uzmptshftfval  44315  amgmwlem  48896  amgmlemALT  48897