Theorem fvmpt3i 6976

Description: Value of a function given in maps-to notation, with a slightly different sethood condition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt3.a	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmpt3.b	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmpt3i.c	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt3i	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt3.a	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
2		fvmpt3.b	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
3		fvmpt3i.c	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
5	1, 2, 4	fvmpt3 6975	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522

This theorem is referenced by:  isf32lem9  10321  axcc2lem  10396  caucvg  15652  ismre  17558  mrisval  17598  frmdup1  18798  frmdup2  18799  qusghm  19194  pmtrfval  19387  odf1  19499  vrgpfval  19703  dprdz  19969  dmdprdsplitlem  19976  dprd2dlem2  19979  dprd2dlem1  19980  dprd2da  19981  ablfac1a  20008  ablfac1b  20009  ablfac1eu  20012  ipdir  21555  ipass  21561  isphld  21570  istopon  22806  qustgpopn  24014  qustgplem  24015  tcphcph  25144  cmvth  25902  cmvthOLD  25903  mvth  25904  dvle  25919  lhop1  25926  dvfsumlem3  25942  pige3ALT  26436  fsumdvdscom  27102  logfacbnd3  27141  dchrptlem1  27182  dchrptlem2  27183  lgsdchrval  27272  dchrisumlem3  27409  dchrisum0flblem1  27426  dchrisum0fno1  27429  dchrisum0lem1b  27433  dchrisum0lem2a  27435  dchrisum0lem2  27436  logsqvma2  27461  log2sumbnd  27462  zringfrac  33532  measdivcst  34221  measdivcstALTV  34222  mrexval  35495  mexval  35496  mdvval  35498  msubvrs  35554  mthmval  35569  weiunlem2  36458  f1omptsnlem  37331  upixp  37730  ismrer1  37839  frlmsnic  42535  fsuppind  42585  uzmptshftfval  44342  tposideq  48880  fucocolem2  49347  amgmwlem  49795  amgmlemALT  49796