Theorem fvmpt3i 6955

Description: Value of a function given in maps-to notation, with a slightly different sethood condition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt3.a	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmpt3.b	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmpt3i.c	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt3i	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt3.a	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
2		fvmpt3.b	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
3		fvmpt3i.c	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
5	1, 2, 4	fvmpt3 6954	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507

This theorem is referenced by:  isf32lem9  10290  axcc2lem  10365  caucvg  15621  ismre  17527  mrisval  17571  frmdup1  18773  frmdup2  18774  qusghm  19169  pmtrfval  19364  odf1  19476  vrgpfval  19680  dprdz  19946  dmdprdsplitlem  19953  dprd2dlem2  19956  dprd2dlem1  19957  dprd2da  19958  ablfac1a  19985  ablfac1b  19986  ablfac1eu  19989  ipdir  21581  ipass  21587  isphld  21596  istopon  22832  qustgpopn  24040  qustgplem  24041  tcphcph  25170  cmvth  25928  cmvthOLD  25929  mvth  25930  dvle  25945  lhop1  25952  dvfsumlem3  25968  pige3ALT  26462  fsumdvdscom  27128  logfacbnd3  27167  dchrptlem1  27208  dchrptlem2  27209  lgsdchrval  27298  dchrisumlem3  27435  dchrisum0flblem1  27452  dchrisum0fno1  27455  dchrisum0lem1b  27459  dchrisum0lem2a  27461  dchrisum0lem2  27462  logsqvma2  27487  log2sumbnd  27488  zringfrac  33518  measdivcst  34207  measdivcstALTV  34208  mrexval  35481  mexval  35482  mdvval  35484  msubvrs  35540  mthmval  35555  weiunlem2  36444  f1omptsnlem  37317  upixp  37716  ismrer1  37825  frlmsnic  42521  fsuppind  42571  uzmptshftfval  44328  tposideq  48869  fucocolem2  49336  amgmwlem  49784  amgmlemALT  49785