Theorem fvmpt3i 7003

Description: Value of a function given in maps-to notation, with a slightly different sethood condition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt3.a	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmpt3.b	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmpt3i.c	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt3i	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt3.a	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
2		fvmpt3.b	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
3		fvmpt3i.c	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
5	1, 2, 4	fvmpt3 7002	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551

This theorem is referenced by:  isf32lem9  10358  axcc2lem  10433  caucvg  15629  ismre  17538  mrisval  17578  frmdup1  18781  frmdup2  18782  qusghm  19169  pmtrfval  19359  odf1  19471  vrgpfval  19675  dprdz  19941  dmdprdsplitlem  19948  dprd2dlem2  19951  dprd2dlem1  19952  dprd2da  19953  ablfac1a  19980  ablfac1b  19981  ablfac1eu  19984  ipdir  21411  ipass  21417  isphld  21426  istopon  22634  qustgpopn  23844  qustgplem  23845  tcphcph  24978  cmvth  25732  mvth  25733  dvle  25748  lhop1  25755  dvfsumlem3  25769  pige3ALT  26253  fsumdvdscom  26913  logfacbnd3  26950  dchrptlem1  26991  dchrptlem2  26992  lgsdchrval  27081  dchrisumlem3  27218  dchrisum0flblem1  27235  dchrisum0fno1  27238  dchrisum0lem1b  27242  dchrisum0lem2a  27244  dchrisum0lem2  27245  logsqvma2  27270  log2sumbnd  27271  measdivcst  33508  measdivcstALTV  33509  mrexval  34778  mexval  34779  mdvval  34781  msubvrs  34837  mthmval  34852  gg-cmvth  35467  f1omptsnlem  36520  upixp  36900  ismrer1  37009  frlmsnic  41412  fsuppind  41464  uzmptshftfval  43407  amgmwlem  47937  amgmlemALT  47938