Theorem fvmpt3i 6958

Description: Value of a function given in maps-to notation, with a slightly different sethood condition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt3.a	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmpt3.b	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmpt3i.c	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt3i	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt3.a	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
2		fvmpt3.b	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
3		fvmpt3i.c	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
5	1, 2, 4	fvmpt3 6957	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3446   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509

This theorem is referenced by:  isf32lem9  10306  axcc2lem  10381  caucvg  15575  ismre  17484  mrisval  17524  frmdup1  18688  frmdup2  18689  qusghm  19059  pmtrfval  19246  odf1  19358  vrgpfval  19562  dprdz  19823  dmdprdsplitlem  19830  dprd2dlem2  19833  dprd2dlem1  19834  dprd2da  19835  ablfac1a  19862  ablfac1b  19863  ablfac1eu  19866  ipdir  21080  ipass  21086  isphld  21095  istopon  22298  qustgpopn  23508  qustgplem  23509  tcphcph  24638  cmvth  25392  mvth  25393  dvle  25408  lhop1  25415  dvfsumlem3  25429  pige3ALT  25913  fsumdvdscom  26571  logfacbnd3  26608  dchrptlem1  26649  dchrptlem2  26650  lgsdchrval  26739  dchrisumlem3  26876  dchrisum0flblem1  26893  dchrisum0fno1  26896  dchrisum0lem1b  26900  dchrisum0lem2a  26902  dchrisum0lem2  26903  logsqvma2  26928  log2sumbnd  26929  measdivcst  32912  measdivcstALTV  32913  mrexval  34182  mexval  34183  mdvval  34185  msubvrs  34241  mthmval  34256  f1omptsnlem  35880  upixp  36261  ismrer1  36370  frlmsnic  40786  fsuppind  40823  uzmptshftfval  42748  amgmwlem  47369  amgmlemALT  47370