Theorem fvmpt3i 6996

Description: Value of a function given in maps-to notation, with a slightly different sethood condition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt3.a	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmpt3.b	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmpt3i.c	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt3i	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt3.a	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
2		fvmpt3.b	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
3		fvmpt3i.c	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
5	1, 2, 4	fvmpt3 6995	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545

This theorem is referenced by:  isf32lem9  10344  axcc2lem  10419  caucvg  15729  ismre  17641  mrisval  17685  frmdup1  18922  frmdup2  18923  qusghm  19324  pmtrfval  19519  odf1  19631  vrgpfval  19835  dprdz  20101  dmdprdsplitlem  20108  dprd2dlem2  20111  dprd2dlem1  20112  dprd2da  20113  ablfac1a  20140  ablfac1b  20141  ablfac1eu  20144  ipdir  21757  ipass  21763  isphld  21772  istopon  23037  qustgpopn  24245  qustgplem  24246  tcphcph  25364  cmvth  26118  mvth  26119  dvle  26134  lhop1  26141  dvfsumlem3  26155  pige3ALT  26650  fsumdvdscom  27314  logfacbnd3  27352  dchrptlem1  27393  dchrptlem2  27394  lgsdchrval  27483  dchrisumlem3  27620  dchrisum0flblem1  27637  dchrisum0fno1  27640  dchrisum0lem1b  27644  dchrisum0lem2a  27646  dchrisum0lem2  27647  logsqvma2  27672  log2sumbnd  27673  zringfrac  33788  measdivcst  34558  measdivcstALTV  34559  mrexval  35891  mexval  35892  mdvval  35894  msubvrs  35950  mthmval  35965  weiunlem  36862  f1omptsnlem  37869  upixp  38267  ismrer1  38376  frlmsnic  43199  fsuppind  43213  uzmptshftfval  44947  tposideq  49550  fucocolem2  50016  amgmwlem  50475  amgmlemALT  50476