Theorem fvmpt3i 7020

Description: Value of a function given in maps-to notation, with a slightly different sethood condition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt3.a	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmpt3.b	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmpt3i.c	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt3i	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt3.a	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
2		fvmpt3.b	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
3		fvmpt3i.c	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
5	1, 2, 4	fvmpt3 7019	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fv 6570

This theorem is referenced by:  isf32lem9  10398  axcc2lem  10473  caucvg  15711  ismre  17634  mrisval  17674  frmdup1  18889  frmdup2  18890  qusghm  19285  pmtrfval  19482  odf1  19594  vrgpfval  19798  dprdz  20064  dmdprdsplitlem  20071  dprd2dlem2  20074  dprd2dlem1  20075  dprd2da  20076  ablfac1a  20103  ablfac1b  20104  ablfac1eu  20107  ipdir  21674  ipass  21680  isphld  21689  istopon  22933  qustgpopn  24143  qustgplem  24144  tcphcph  25284  cmvth  26043  cmvthOLD  26044  mvth  26045  dvle  26060  lhop1  26067  dvfsumlem3  26083  pige3ALT  26576  fsumdvdscom  27242  logfacbnd3  27281  dchrptlem1  27322  dchrptlem2  27323  lgsdchrval  27412  dchrisumlem3  27549  dchrisum0flblem1  27566  dchrisum0fno1  27569  dchrisum0lem1b  27573  dchrisum0lem2a  27575  dchrisum0lem2  27576  logsqvma2  27601  log2sumbnd  27602  zringfrac  33561  measdivcst  34204  measdivcstALTV  34205  mrexval  35485  mexval  35486  mdvval  35488  msubvrs  35544  mthmval  35559  weiunlem2  36445  f1omptsnlem  37318  upixp  37715  ismrer1  37824  frlmsnic  42526  fsuppind  42576  uzmptshftfval  44341  amgmwlem  49032  amgmlemALT  49033