Theorem fvmpt3i 6955

Description: Value of a function given in maps-to notation, with a slightly different sethood condition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt3.a	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmpt3.b	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmpt3i.c	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt3i	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt3.a	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
2		fvmpt3.b	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
3		fvmpt3i.c	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
5	1, 2, 4	fvmpt3 6954	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508

This theorem is referenced by:  isf32lem9  10283  axcc2lem  10358  caucvg  15614  ismre  17521  mrisval  17565  frmdup1  18801  frmdup2  18802  qusghm  19196  pmtrfval  19391  odf1  19503  vrgpfval  19707  dprdz  19973  dmdprdsplitlem  19980  dprd2dlem2  19983  dprd2dlem1  19984  dprd2da  19985  ablfac1a  20012  ablfac1b  20013  ablfac1eu  20016  ipdir  21606  ipass  21612  isphld  21621  istopon  22868  qustgpopn  24076  qustgplem  24077  tcphcph  25205  cmvth  25963  cmvthOLD  25964  mvth  25965  dvle  25980  lhop1  25987  dvfsumlem3  26003  pige3ALT  26497  fsumdvdscom  27163  logfacbnd3  27202  dchrptlem1  27243  dchrptlem2  27244  lgsdchrval  27333  dchrisumlem3  27470  dchrisum0flblem1  27487  dchrisum0fno1  27490  dchrisum0lem1b  27494  dchrisum0lem2a  27496  dchrisum0lem2  27497  logsqvma2  27522  log2sumbnd  27523  zringfrac  33647  measdivcst  34402  measdivcstALTV  34403  mrexval  35717  mexval  35718  mdvval  35720  msubvrs  35776  mthmval  35791  weiunlem  36679  f1omptsnlem  37591  upixp  37980  ismrer1  38089  frlmsnic  42910  fsuppind  42948  uzmptshftfval  44702  tposideq  49247  fucocolem2  49713  amgmwlem  50161  amgmlemALT  50162