Theorem fvmpt3i 6999

Description: Value of a function given in maps-to notation, with a slightly different sethood condition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt3.a	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmpt3.b	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmpt3i.c	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt3i	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt3.a	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
2		fvmpt3.b	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
3		fvmpt3i.c	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
5	1, 2, 4	fvmpt3 6998	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548

This theorem is used by:  isf32lem9  10360  axcc2lem  10435  caucvg  15754  ismre  17664  mrisval  17708  frmdup1  18960  frmdup2  18961  qusghm  19369  pmtrfval  19564  odf1  19676  vrgpfval  19880  dprdz  20146  dmdprdsplitlem  20153  dprd2dlem2  20156  dprd2dlem1  20157  dprd2da  20158  ablfac1a  20185  ablfac1b  20186  ablfac1eu  20189  ipdir  21839  ipass  21845  isphld  21854  istopon  23119  qustgpopn  24328  qustgplem  24329  tcphcph  25447  cmvth  26201  mvth  26202  dvle  26217  lhop1  26224  dvfsumlem3  26238  pige3ALT  26736  fsumdvdscom  27400  logfacbnd3  27438  dchrptlem1  27479  dchrptlem2  27480  lgsdchrval  27569  dchrisumlem3  27706  dchrisum0flblem1  27723  dchrisum0fno1  27726  dchrisum0lem1b  27730  dchrisum0lem2a  27732  dchrisum0lem2  27733  logsqvma2  27758  log2sumbnd  27759  zringfrac  33908  measdivcst  34679  measdivcstALTV  34680  mrexval  36030  mexval  36031  mdvval  36033  msubvrs  36089  mthmval  36104  weiunlem  37031  f1omptsnlem  38039  upixp  38438  ismrer1  38547  frlmsnic  43366  fsuppind  43380  uzmptshftfval  45114  tposideq  49723  fucocolem2  50189  amgmwlem  50707  amgmlemALT  50708