Theorem fvmpt3i 6773

Description: Value of a function given in maps-to notation, with a slightly different sethood condition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt3.a	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmpt3.b	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmpt3i.c	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt3i	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt3.a	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
2		fvmpt3.b	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
3		fvmpt3i.c	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
5	1, 2, 4	fvmpt3 6772	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   ↦ cmpt 5146  ‘cfv 6355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fv 6363

This theorem is referenced by:  isf32lem9  9783  axcc2lem  9858  caucvg  15035  ismre  16861  mrisval  16901  frmdup1  18029  frmdup2  18030  qusghm  18395  pmtrfval  18578  odf1  18689  vrgpfval  18892  dprdz  19152  dmdprdsplitlem  19159  dprd2dlem2  19162  dprd2dlem1  19163  dprd2da  19164  ablfac1a  19191  ablfac1b  19192  ablfac1eu  19195  ipdir  20783  ipass  20789  isphld  20798  istopon  21520  qustgpopn  22728  qustgplem  22729  tcphcph  23840  cmvth  24588  mvth  24589  dvle  24604  lhop1  24611  dvfsumlem3  24625  pige3ALT  25105  fsumdvdscom  25762  logfacbnd3  25799  dchrptlem1  25840  dchrptlem2  25841  lgsdchrval  25930  dchrisumlem3  26067  dchrisum0flblem1  26084  dchrisum0fno1  26087  dchrisum0lem1b  26091  dchrisum0lem2a  26093  dchrisum0lem2  26094  logsqvma2  26119  log2sumbnd  26120  measdivcst  31483  measdivcstALTV  31484  mrexval  32748  mexval  32749  mdvval  32751  msubvrs  32807  mthmval  32822  f1omptsnlem  34620  upixp  35019  ismrer1  35131  frlmsnic  39169  uzmptshftfval  40698  amgmwlem  44923  amgmlemALT  44924