Theorem fvmpt3i 6991

Description: Value of a function given in maps-to notation, with a slightly different sethood condition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt3.a	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmpt3.b	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmpt3i.c	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt3i	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt3.a	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
2		fvmpt3.b	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
3		fvmpt3i.c	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
5	1, 2, 4	fvmpt3 6990	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539

This theorem is referenced by:  isf32lem9  10375  axcc2lem  10450  caucvg  15695  ismre  17602  mrisval  17642  frmdup1  18842  frmdup2  18843  qusghm  19238  pmtrfval  19431  odf1  19543  vrgpfval  19747  dprdz  20013  dmdprdsplitlem  20020  dprd2dlem2  20023  dprd2dlem1  20024  dprd2da  20025  ablfac1a  20052  ablfac1b  20053  ablfac1eu  20056  ipdir  21599  ipass  21605  isphld  21614  istopon  22850  qustgpopn  24058  qustgplem  24059  tcphcph  25189  cmvth  25947  cmvthOLD  25948  mvth  25949  dvle  25964  lhop1  25971  dvfsumlem3  25987  pige3ALT  26481  fsumdvdscom  27147  logfacbnd3  27186  dchrptlem1  27227  dchrptlem2  27228  lgsdchrval  27317  dchrisumlem3  27454  dchrisum0flblem1  27471  dchrisum0fno1  27474  dchrisum0lem1b  27478  dchrisum0lem2a  27480  dchrisum0lem2  27481  logsqvma2  27506  log2sumbnd  27507  zringfrac  33569  measdivcst  34255  measdivcstALTV  34256  mrexval  35523  mexval  35524  mdvval  35526  msubvrs  35582  mthmval  35597  weiunlem2  36481  f1omptsnlem  37354  upixp  37753  ismrer1  37862  frlmsnic  42563  fsuppind  42613  uzmptshftfval  44370  tposideq  48863  fucocolem2  49265  amgmwlem  49666  amgmlemALT  49667