Theorem fvmpt3i 6948

Description: Value of a function given in maps-to notation, with a slightly different sethood condition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt3.a	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmpt3.b	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmpt3i.c	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt3i	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt3.a	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
2		fvmpt3.b	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
3		fvmpt3i.c	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
5	1, 2, 4	fvmpt3 6947	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501

This theorem is referenced by:  isf32lem9  10277  axcc2lem  10352  caucvg  15635  ismre  17546  mrisval  17590  frmdup1  18826  frmdup2  18827  qusghm  19224  pmtrfval  19419  odf1  19531  vrgpfval  19735  dprdz  20001  dmdprdsplitlem  20008  dprd2dlem2  20011  dprd2dlem1  20012  dprd2da  20013  ablfac1a  20040  ablfac1b  20041  ablfac1eu  20044  ipdir  21632  ipass  21638  isphld  21647  istopon  22890  qustgpopn  24098  qustgplem  24099  tcphcph  25217  cmvth  25971  mvth  25972  dvle  25987  lhop1  25994  dvfsumlem3  26008  pige3ALT  26500  fsumdvdscom  27165  logfacbnd3  27203  dchrptlem1  27244  dchrptlem2  27245  lgsdchrval  27334  dchrisumlem3  27471  dchrisum0flblem1  27488  dchrisum0fno1  27491  dchrisum0lem1b  27495  dchrisum0lem2a  27497  dchrisum0lem2  27498  logsqvma2  27523  log2sumbnd  27524  zringfrac  33632  measdivcst  34387  measdivcstALTV  34388  mrexval  35702  mexval  35703  mdvval  35705  msubvrs  35761  mthmval  35776  weiunlem  36664  f1omptsnlem  37669  upixp  38067  ismrer1  38176  frlmsnic  43002  fsuppind  43040  uzmptshftfval  44794  tposideq  49378  fucocolem2  49844  amgmwlem  50292  amgmlemALT  50293