Theorem fvmpt3i 6973

Description: Value of a function given in maps-to notation, with a slightly different sethood condition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt3.a	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmpt3.b	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmpt3i.c	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt3i	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt3.a	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
2		fvmpt3.b	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
3		fvmpt3i.c	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
5	1, 2, 4	fvmpt3 6972	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519

This theorem is referenced by:  isf32lem9  10314  axcc2lem  10389  caucvg  15645  ismre  17551  mrisval  17591  frmdup1  18791  frmdup2  18792  qusghm  19187  pmtrfval  19380  odf1  19492  vrgpfval  19696  dprdz  19962  dmdprdsplitlem  19969  dprd2dlem2  19972  dprd2dlem1  19973  dprd2da  19974  ablfac1a  20001  ablfac1b  20002  ablfac1eu  20005  ipdir  21548  ipass  21554  isphld  21563  istopon  22799  qustgpopn  24007  qustgplem  24008  tcphcph  25137  cmvth  25895  cmvthOLD  25896  mvth  25897  dvle  25912  lhop1  25919  dvfsumlem3  25935  pige3ALT  26429  fsumdvdscom  27095  logfacbnd3  27134  dchrptlem1  27175  dchrptlem2  27176  lgsdchrval  27265  dchrisumlem3  27402  dchrisum0flblem1  27419  dchrisum0fno1  27422  dchrisum0lem1b  27426  dchrisum0lem2a  27428  dchrisum0lem2  27429  logsqvma2  27454  log2sumbnd  27455  zringfrac  33525  measdivcst  34214  measdivcstALTV  34215  mrexval  35488  mexval  35489  mdvval  35491  msubvrs  35547  mthmval  35562  weiunlem2  36451  f1omptsnlem  37324  upixp  37723  ismrer1  37832  frlmsnic  42528  fsuppind  42578  uzmptshftfval  44335  tposideq  48876  fucocolem2  49343  amgmwlem  49791  amgmlemALT  49792