Theorem fvmpt3i 6750

Description: Value of a function given in maps-to notation, with a slightly different sethood condition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt3.a	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmpt3.b	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmpt3i.c	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt3i	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt3.a	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
2		fvmpt3.b	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
3		fvmpt3i.c	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
5	1, 2, 4	fvmpt3 6749	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332

This theorem is referenced by:  isf32lem9  9772  axcc2lem  9847  caucvg  15027  ismre  16853  mrisval  16893  frmdup1  18021  frmdup2  18022  qusghm  18387  pmtrfval  18570  odf1  18681  vrgpfval  18884  dprdz  19145  dmdprdsplitlem  19152  dprd2dlem2  19155  dprd2dlem1  19156  dprd2da  19157  ablfac1a  19184  ablfac1b  19185  ablfac1eu  19188  ipdir  20328  ipass  20334  isphld  20343  istopon  21517  qustgpopn  22725  qustgplem  22726  tcphcph  23841  cmvth  24594  mvth  24595  dvle  24610  lhop1  24617  dvfsumlem3  24631  pige3ALT  25112  fsumdvdscom  25770  logfacbnd3  25807  dchrptlem1  25848  dchrptlem2  25849  lgsdchrval  25938  dchrisumlem3  26075  dchrisum0flblem1  26092  dchrisum0fno1  26095  dchrisum0lem1b  26099  dchrisum0lem2a  26101  dchrisum0lem2  26102  logsqvma2  26127  log2sumbnd  26128  measdivcst  31593  measdivcstALTV  31594  mrexval  32861  mexval  32862  mdvval  32864  msubvrs  32920  mthmval  32935  f1omptsnlem  34753  upixp  35167  ismrer1  35276  frlmsnic  39453  fsuppind  39456  uzmptshftfval  41050  amgmwlem  45330  amgmlemALT  45331