Theorem fvmpt3i 6953

Description: Value of a function given in maps-to notation, with a slightly different sethood condition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt3.a	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmpt3.b	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmpt3i.c	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt3i	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt3.a	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
2		fvmpt3.b	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
3		fvmpt3i.c	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
5	1, 2, 4	fvmpt3 6952	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506

This theorem is referenced by:  isf32lem9  10283  axcc2lem  10358  caucvg  15641  ismre  17552  mrisval  17596  frmdup1  18832  frmdup2  18833  qusghm  19230  pmtrfval  19425  odf1  19537  vrgpfval  19741  dprdz  20007  dmdprdsplitlem  20014  dprd2dlem2  20017  dprd2dlem1  20018  dprd2da  20019  ablfac1a  20046  ablfac1b  20047  ablfac1eu  20050  ipdir  21619  ipass  21625  isphld  21634  istopon  22877  qustgpopn  24085  qustgplem  24086  tcphcph  25204  cmvth  25958  mvth  25959  dvle  25974  lhop1  25981  dvfsumlem3  25995  pige3ALT  26484  fsumdvdscom  27148  logfacbnd3  27186  dchrptlem1  27227  dchrptlem2  27228  lgsdchrval  27317  dchrisumlem3  27454  dchrisum0flblem1  27471  dchrisum0fno1  27474  dchrisum0lem1b  27478  dchrisum0lem2a  27480  dchrisum0lem2  27481  logsqvma2  27506  log2sumbnd  27507  zringfrac  33614  measdivcst  34368  measdivcstALTV  34369  mrexval  35683  mexval  35684  mdvval  35686  msubvrs  35742  mthmval  35757  weiunlem  36645  f1omptsnlem  37652  upixp  38050  ismrer1  38159  frlmsnic  42985  fsuppind  43023  uzmptshftfval  44773  tposideq  49363  fucocolem2  49829  amgmwlem  50277  amgmlemALT  50278