Theorem fvmpt3i 6934

Description: Value of a function given in maps-to notation, with a slightly different sethood condition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt3.a	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmpt3.b	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmpt3i.c	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvmpt3i	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt3.a	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
2		fvmpt3.b	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
3		fvmpt3i.c	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
5	1, 2, 4	fvmpt3 6933	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489

This theorem is referenced by:  isf32lem9  10252  axcc2lem  10327  caucvg  15586  ismre  17492  mrisval  17536  frmdup1  18772  frmdup2  18773  qusghm  19167  pmtrfval  19362  odf1  19474  vrgpfval  19678  dprdz  19944  dmdprdsplitlem  19951  dprd2dlem2  19954  dprd2dlem1  19955  dprd2da  19956  ablfac1a  19983  ablfac1b  19984  ablfac1eu  19987  ipdir  21576  ipass  21582  isphld  21591  istopon  22827  qustgpopn  24035  qustgplem  24036  tcphcph  25164  cmvth  25922  cmvthOLD  25923  mvth  25924  dvle  25939  lhop1  25946  dvfsumlem3  25962  pige3ALT  26456  fsumdvdscom  27122  logfacbnd3  27161  dchrptlem1  27202  dchrptlem2  27203  lgsdchrval  27292  dchrisumlem3  27429  dchrisum0flblem1  27446  dchrisum0fno1  27449  dchrisum0lem1b  27453  dchrisum0lem2a  27455  dchrisum0lem2  27456  logsqvma2  27481  log2sumbnd  27482  zringfrac  33519  measdivcst  34237  measdivcstALTV  34238  mrexval  35545  mexval  35546  mdvval  35548  msubvrs  35604  mthmval  35619  weiunlem2  36505  f1omptsnlem  37378  upixp  37777  ismrer1  37886  frlmsnic  42581  fsuppind  42631  uzmptshftfval  44387  tposideq  48927  fucocolem2  49394  amgmwlem  49842  amgmlemALT  49843