Theorem mvhf 35585

Description: The function mapping variables to variable expressions is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvhf.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mvhf.e	⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mvhf.h	⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mvhf	⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉⟶𝐸)

Proof of Theorem mvhf

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvhf.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (mTC‘𝑇) = (mTC‘𝑇)
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (mType‘𝑇) = (mType‘𝑇)
4	1, 2, 3	mtyf2 35578	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → (mType‘𝑇):𝑉⟶(mTC‘𝑇))
5	4	ffvelcdmda 7079	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((mType‘𝑇)‘𝑣) ∈ (mTC‘𝑇))
6		elun2 4163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
8	7	s1cld 14626	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑣”⟩ ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
9		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (mCN‘𝑇) = (mCN‘𝑇)
10		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (mREx‘𝑇) = (mREx‘𝑇)
11	9, 1, 10	mrexval 35528	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → (mREx‘𝑇) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (mREx‘𝑇) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
13	8, 12	eleqtrrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑣”⟩ ∈ (mREx‘𝑇))
14		opelxpi 5696	. . . 4 ⊢ ((((mType‘𝑇)‘𝑣) ∈ (mTC‘𝑇) ∧ ⟨“𝑣”⟩ ∈ (mREx‘𝑇)) → ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ ∈ ((mTC‘𝑇) × (mREx‘𝑇)))
15	5, 13, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ ∈ ((mTC‘𝑇) × (mREx‘𝑇)))
16		mvhf.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
17	2, 16, 10	mexval 35529	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((mTC‘𝑇) × (mREx‘𝑇))
18	15, 17	eleqtrrdi 2846	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ ∈ 𝐸)
19		mvhf.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)
20	1, 3, 19	mvhfval 35560	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩)
21	18, 20	fmptd 7109	1 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉⟶𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3929  ⟨cop 4612   × cxp 5657  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  Word cword 14536  ⟨“cs1 14618  mCNcmcn 35487  mVRcmvar 35488  mTypecmty 35489  mTCcmtc 35491  mRExcmrex 35493  mExcmex 35494  mVHcmvh 35499  mFScmfs 35503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-s1 14619  df-mrex 35513  df-mex 35514  df-mvh 35519  df-mfs 35523

This theorem is referenced by:  mvhf1  35586  msubvrs  35587  mclsssvlem  35589  vhmcls  35593  mclsax  35596  mclsind  35597  mclsppslem  35610  mclspps  35611