Theorem mvhf 34845

Description: The function mapping variables to variable expressions is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvhf.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mvhf.e	⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mvhf.h	⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mvhf	⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉⟶𝐸)

Proof of Theorem mvhf

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvhf.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (mTC‘𝑇) = (mTC‘𝑇)
3		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (mType‘𝑇) = (mType‘𝑇)
4	1, 2, 3	mtyf2 34838	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → (mType‘𝑇):𝑉⟶(mTC‘𝑇))
5	4	ffvelcdmda 7087	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((mType‘𝑇)‘𝑣) ∈ (mTC‘𝑇))
6		elun2 4178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
7	6	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
8	7	s1cld 14559	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑣”⟩ ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
9		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (mCN‘𝑇) = (mCN‘𝑇)
10		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (mREx‘𝑇) = (mREx‘𝑇)
11	9, 1, 10	mrexval 34788	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → (mREx‘𝑇) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
12	11	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (mREx‘𝑇) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
13	8, 12	eleqtrrd 2834	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑣”⟩ ∈ (mREx‘𝑇))
14		opelxpi 5714	. . . 4 ⊢ ((((mType‘𝑇)‘𝑣) ∈ (mTC‘𝑇) ∧ ⟨“𝑣”⟩ ∈ (mREx‘𝑇)) → ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ ∈ ((mTC‘𝑇) × (mREx‘𝑇)))
15	5, 13, 14	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ ∈ ((mTC‘𝑇) × (mREx‘𝑇)))
16		mvhf.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
17	2, 16, 10	mexval 34789	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((mTC‘𝑇) × (mREx‘𝑇))
18	15, 17	eleqtrrdi 2842	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ ∈ 𝐸)
19		mvhf.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)
20	1, 3, 19	mvhfval 34820	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩)
21	18, 20	fmptd 7116	1 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉⟶𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ∪ cun 3947  ⟨cop 4635   × cxp 5675  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  Word cword 14470  ⟨“cs1 14551  mCNcmcn 34747  mVRcmvar 34748  mTypecmty 34749  mTCcmtc 34751  mRExcmrex 34753  mExcmex 34754  mVHcmvh 34759  mFScmfs 34763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14297  df-word 14471  df-s1 14552  df-mrex 34773  df-mex 34774  df-mvh 34779  df-mfs 34783

This theorem is referenced by:  mvhf1  34846  msubvrs  34847  mclsssvlem  34849  vhmcls  34853  mclsax  34856  mclsind  34857  mclsppslem  34870  mclspps  34871