Theorem mvhf 35740

Description: The function mapping variables to variable expressions is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvhf.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mvhf.e	⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mvhf.h	⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mvhf	⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉⟶𝐸)

Proof of Theorem mvhf

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvhf.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (mTC‘𝑇) = (mTC‘𝑇)
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (mType‘𝑇) = (mType‘𝑇)
4	1, 2, 3	mtyf2 35733	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → (mType‘𝑇):𝑉⟶(mTC‘𝑇))
5	4	ffvelcdmda 7036	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((mType‘𝑇)‘𝑣) ∈ (mTC‘𝑇))
6		elun2 4123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
8	7	s1cld 14566	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑣”⟩ ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
9		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (mCN‘𝑇) = (mCN‘𝑇)
10		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (mREx‘𝑇) = (mREx‘𝑇)
11	9, 1, 10	mrexval 35683	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → (mREx‘𝑇) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (mREx‘𝑇) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
13	8, 12	eleqtrrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑣”⟩ ∈ (mREx‘𝑇))
14		opelxpi 5668	. . . 4 ⊢ ((((mType‘𝑇)‘𝑣) ∈ (mTC‘𝑇) ∧ ⟨“𝑣”⟩ ∈ (mREx‘𝑇)) → ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ ∈ ((mTC‘𝑇) × (mREx‘𝑇)))
15	5, 13, 14	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ ∈ ((mTC‘𝑇) × (mREx‘𝑇)))
16		mvhf.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
17	2, 16, 10	mexval 35684	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((mTC‘𝑇) × (mREx‘𝑇))
18	15, 17	eleqtrrdi 2847	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ ∈ 𝐸)
19		mvhf.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)
20	1, 3, 19	mvhfval 35715	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩)
21	18, 20	fmptd 7066	1 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉⟶𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3887  ⟨cop 4573   × cxp 5629  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  Word cword 14475  ⟨“cs1 14558  mCNcmcn 35642  mVRcmvar 35643  mTypecmty 35644  mTCcmtc 35646  mRExcmrex 35648  mExcmex 35649  mVHcmvh 35654  mFScmfs 35658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-s1 14559  df-mrex 35668  df-mex 35669  df-mvh 35674  df-mfs 35678

This theorem is referenced by:  mvhf1  35741  msubvrs  35742  mclsssvlem  35744  vhmcls  35748  mclsax  35751  mclsind  35752  mclsppslem  35765  mclspps  35766