Theorem mvhf 35759

Description: The function mapping variables to variable expressions is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvhf.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mvhf.e	⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mvhf.h	⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mvhf	⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉⟶𝐸)

Proof of Theorem mvhf

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvhf.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (mTC‘𝑇) = (mTC‘𝑇)
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (mType‘𝑇) = (mType‘𝑇)
4	1, 2, 3	mtyf2 35752	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → (mType‘𝑇):𝑉⟶(mTC‘𝑇))
5	4	ffvelcdmda 7031	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((mType‘𝑇)‘𝑣) ∈ (mTC‘𝑇))
6		elun2 4124	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
8	7	s1cld 14560	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑣”⟩ ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
9		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (mCN‘𝑇) = (mCN‘𝑇)
10		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (mREx‘𝑇) = (mREx‘𝑇)
11	9, 1, 10	mrexval 35702	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → (mREx‘𝑇) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (mREx‘𝑇) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
13	8, 12	eleqtrrd 2840	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑣”⟩ ∈ (mREx‘𝑇))
14		opelxpi 5662	. . . 4 ⊢ ((((mType‘𝑇)‘𝑣) ∈ (mTC‘𝑇) ∧ ⟨“𝑣”⟩ ∈ (mREx‘𝑇)) → ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ ∈ ((mTC‘𝑇) × (mREx‘𝑇)))
15	5, 13, 14	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ ∈ ((mTC‘𝑇) × (mREx‘𝑇)))
16		mvhf.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
17	2, 16, 10	mexval 35703	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((mTC‘𝑇) × (mREx‘𝑇))
18	15, 17	eleqtrrdi 2848	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ ∈ 𝐸)
19		mvhf.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)
20	1, 3, 19	mvhfval 35734	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩)
21	18, 20	fmptd 7061	1 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉⟶𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888  ⟨cop 4574   × cxp 5623  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  Word cword 14469  ⟨“cs1 14552  mCNcmcn 35661  mVRcmvar 35662  mTypecmty 35663  mTCcmtc 35665  mRExcmrex 35667  mExcmex 35668  mVHcmvh 35673  mFScmfs 35677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-hash 14287  df-word 14470  df-s1 14553  df-mrex 35687  df-mex 35688  df-mvh 35693  df-mfs 35697

This theorem is referenced by:  mvhf1  35760  msubvrs  35761  mclsssvlem  35763  vhmcls  35767  mclsax  35770  mclsind  35771  mclsppslem  35784  mclspps  35785