Theorem mexval2 35866

Description: The set of expressions, which are pairs whose first element is a typecode, and whose second element is a list of constants and variables. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mexval.k	⊢ 𝐾 = (mTC‘𝑇)
mexval.e	⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mexval2.c	⊢ 𝐶 = (mCN‘𝑇)
mexval2.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mexval2	⊢ 𝐸 = (𝐾 × Word (𝐶 ∪ 𝑉))

Proof of Theorem mexval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mexval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mTC‘𝑇)
2		mexval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (mREx‘𝑇) = (mREx‘𝑇)
4	1, 2, 3	mexval 35865	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝐾 × (mREx‘𝑇))
5		mexval2.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (mCN‘𝑇)
6		mexval2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
7	5, 6, 3	mrexval 35864	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ V → (mREx‘𝑇) = Word (𝐶 ∪ 𝑉))
8	7	xpeq2d 5682	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ V → (𝐾 × (mREx‘𝑇)) = (𝐾 × Word (𝐶 ∪ 𝑉)))
9	4, 8	eqtrid 2812	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝐸 = (𝐾 × Word (𝐶 ∪ 𝑉)))
10		0xp 5751	. . . 4 ⊢ (∅ × Word (𝐶 ∪ 𝑉)) = ∅
11	10	eqcomi 2774	. . 3 ⊢ ∅ = (∅ × Word (𝐶 ∪ 𝑉))
12		fvprc 6863	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → (mEx‘𝑇) = ∅)
13	2, 12	eqtrid 2812	. . 3 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → 𝐸 = ∅)
14		fvprc 6863	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → (mTC‘𝑇) = ∅)
15	1, 14	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → 𝐾 = ∅)
16	15	xpeq1d 5681	. . 3 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → (𝐾 × Word (𝐶 ∪ 𝑉)) = (∅ × Word (𝐶 ∪ 𝑉)))
17	11, 13, 16	3eqtr4a 2826	. 2 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → 𝐸 = (𝐾 × Word (𝐶 ∪ 𝑉)))
18	9, 17	pm2.61i 184	1 ⊢ 𝐸 = (𝐾 × Word (𝐶 ∪ 𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ∪ cun 3905  ∅c0 4288   × cxp 5650  ‘cfv 6525  Word cword 14540  mCNcmcn 35823  mVRcmvar 35824  mTCcmtc 35827  mRExcmrex 35829  mExcmex 35830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-hash 14358  df-word 14541  df-mrex 35849  df-mex 35850

This theorem is referenced by:  mvrsfpw  35869