Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mexval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mexval2 34161
Description: The set of expressions, which are pairs whose first element is a typecode, and whose second element is a list of constants and variables. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mexval.k 𝐾 = (mTCβ€˜π‘‡)
mexval.e 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
mexval2.c 𝐢 = (mCNβ€˜π‘‡)
mexval2.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mexval2 𝐸 = (𝐾 Γ— Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))

Proof of Theorem mexval2
StepHypRef Expression
1 mexval.k . . . 4 𝐾 = (mTCβ€˜π‘‡)
2 mexval.e . . . 4 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
3 eqid 2733 . . . 4 (mRExβ€˜π‘‡) = (mRExβ€˜π‘‡)
41, 2, 3mexval 34160 . . 3 𝐸 = (𝐾 Γ— (mRExβ€˜π‘‡))
5 mexval2.c . . . . 5 𝐢 = (mCNβ€˜π‘‡)
6 mexval2.v . . . . 5 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
75, 6, 3mrexval 34159 . . . 4 (𝑇 ∈ V β†’ (mRExβ€˜π‘‡) = Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
87xpeq2d 5667 . . 3 (𝑇 ∈ V β†’ (𝐾 Γ— (mRExβ€˜π‘‡)) = (𝐾 Γ— Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)))
94, 8eqtrid 2785 . 2 (𝑇 ∈ V β†’ 𝐸 = (𝐾 Γ— Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)))
10 0xp 5734 . . . 4 (βˆ… Γ— Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)) = βˆ…
1110eqcomi 2742 . . 3 βˆ… = (βˆ… Γ— Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
12 fvprc 6838 . . . 4 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ (mExβ€˜π‘‡) = βˆ…)
132, 12eqtrid 2785 . . 3 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ 𝐸 = βˆ…)
14 fvprc 6838 . . . . 5 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ (mTCβ€˜π‘‡) = βˆ…)
151, 14eqtrid 2785 . . . 4 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ 𝐾 = βˆ…)
1615xpeq1d 5666 . . 3 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ (𝐾 Γ— Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)) = (βˆ… Γ— Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)))
1711, 13, 163eqtr4a 2799 . 2 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ 𝐸 = (𝐾 Γ— Word (𝐢 βˆͺ 𝑉)))
189, 17pm2.61i 182 1 𝐸 = (𝐾 Γ— Word (𝐢 βˆͺ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βˆͺ cun 3912  βˆ…c0 4286   Γ— cxp 5635  β€˜cfv 6500  Word cword 14411  mCNcmcn 34118  mVRcmvar 34119  mTCcmtc 34122  mRExcmrex 34124  mExcmex 34125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-mrex 34144  df-mex 34145
This theorem is referenced by:  mvrsfpw  34164
  Copyright terms: Public domain W3C validator