Theorem mexval2 35483

Description: The set of expressions, which are pairs whose first element is a typecode, and whose second element is a list of constants and variables. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mexval.k	⊢ 𝐾 = (mTC‘𝑇)
mexval.e	⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mexval2.c	⊢ 𝐶 = (mCN‘𝑇)
mexval2.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mexval2	⊢ 𝐸 = (𝐾 × Word (𝐶 ∪ 𝑉))

Proof of Theorem mexval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mexval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mTC‘𝑇)
2		mexval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (mREx‘𝑇) = (mREx‘𝑇)
4	1, 2, 3	mexval 35482	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝐾 × (mREx‘𝑇))
5		mexval2.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (mCN‘𝑇)
6		mexval2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
7	5, 6, 3	mrexval 35481	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ V → (mREx‘𝑇) = Word (𝐶 ∪ 𝑉))
8	7	xpeq2d 5661	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ V → (𝐾 × (mREx‘𝑇)) = (𝐾 × Word (𝐶 ∪ 𝑉)))
9	4, 8	eqtrid 2776	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝐸 = (𝐾 × Word (𝐶 ∪ 𝑉)))
10		0xp 5729	. . . 4 ⊢ (∅ × Word (𝐶 ∪ 𝑉)) = ∅
11	10	eqcomi 2738	. . 3 ⊢ ∅ = (∅ × Word (𝐶 ∪ 𝑉))
12		fvprc 6832	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → (mEx‘𝑇) = ∅)
13	2, 12	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → 𝐸 = ∅)
14		fvprc 6832	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → (mTC‘𝑇) = ∅)
15	1, 14	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → 𝐾 = ∅)
16	15	xpeq1d 5660	. . 3 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → (𝐾 × Word (𝐶 ∪ 𝑉)) = (∅ × Word (𝐶 ∪ 𝑉)))
17	11, 13, 16	3eqtr4a 2790	. 2 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → 𝐸 = (𝐾 × Word (𝐶 ∪ 𝑉)))
18	9, 17	pm2.61i 182	1 ⊢ 𝐸 = (𝐾 × Word (𝐶 ∪ 𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∪ cun 3909  ∅c0 4292   × cxp 5629  ‘cfv 6499  Word cword 14454  mCNcmcn 35440  mVRcmvar 35441  mTCcmtc 35444  mRExcmrex 35446  mExcmex 35447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-mrex 35466  df-mex 35467

This theorem is referenced by:  mvrsfpw  35486