Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  msubff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem msubff 34188
Description: A substitution is a function from 𝐸 to 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
msubff.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
msubff.r 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
msubff.s 𝑆 = (mSubstβ€˜π‘‡)
msubff.e 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
msubff (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝐸 ↑m 𝐸))

Proof of Theorem msubff
Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xp1st 7957 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ((mTCβ€˜π‘‡) Γ— 𝑅) β†’ (1st β€˜π‘’) ∈ (mTCβ€˜π‘‡))
2 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (mTCβ€˜π‘‡) = (mTCβ€˜π‘‡)
3 msubff.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
4 msubff.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
52, 3, 4mexval 34160 . . . . . . . . 9 𝐸 = ((mTCβ€˜π‘‡) Γ— 𝑅)
61, 5eleq2s 2852 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ 𝐸 β†’ (1st β€˜π‘’) ∈ (mTCβ€˜π‘‡))
76adantl 483 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (1st β€˜π‘’) ∈ (mTCβ€˜π‘‡))
8 msubff.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
9 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (mRSubstβ€˜π‘‡) = (mRSubstβ€˜π‘‡)
108, 4, 9mrsubff 34170 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (mRSubstβ€˜π‘‡):(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅))
1110ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ ((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“) ∈ (𝑅 ↑m 𝑅))
12 elmapi 8793 . . . . . . . . 9 (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“) ∈ (𝑅 ↑m 𝑅) β†’ ((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“):π‘…βŸΆπ‘…)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ ((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“):π‘…βŸΆπ‘…)
14 xp2nd 7958 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ((mTCβ€˜π‘‡) Γ— 𝑅) β†’ (2nd β€˜π‘’) ∈ 𝑅)
1514, 5eleq2s 2852 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ 𝐸 β†’ (2nd β€˜π‘’) ∈ 𝑅)
16 ffvelcdm 7036 . . . . . . . 8 ((((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“):π‘…βŸΆπ‘… ∧ (2nd β€˜π‘’) ∈ 𝑅) β†’ (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’)) ∈ 𝑅)
1713, 15, 16syl2an 597 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’)) ∈ 𝑅)
18 opelxp 5673 . . . . . . 7 (⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩ ∈ ((mTCβ€˜π‘‡) Γ— 𝑅) ↔ ((1st β€˜π‘’) ∈ (mTCβ€˜π‘‡) ∧ (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’)) ∈ 𝑅))
197, 17, 18sylanbrc 584 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩ ∈ ((mTCβ€˜π‘‡) Γ— 𝑅))
2019, 5eleqtrrdi 2845 . . . . 5 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩ ∈ 𝐸)
2120fmpttd 7067 . . . 4 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑒 ∈ 𝐸 ↦ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩):𝐸⟢𝐸)
223fvexi 6860 . . . . 5 𝐸 ∈ V
2322, 22elmap 8815 . . . 4 ((𝑒 ∈ 𝐸 ↦ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩) ∈ (𝐸 ↑m 𝐸) ↔ (𝑒 ∈ 𝐸 ↦ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩):𝐸⟢𝐸)
2421, 23sylibr 233 . . 3 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑒 ∈ 𝐸 ↦ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩) ∈ (𝐸 ↑m 𝐸))
2524fmpttd 7067 . 2 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) ↦ (𝑒 ∈ 𝐸 ↦ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩)):(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝐸 ↑m 𝐸))
26 msubff.s . . . 4 𝑆 = (mSubstβ€˜π‘‡)
278, 4, 26, 3, 9msubffval 34181 . . 3 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑆 = (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) ↦ (𝑒 ∈ 𝐸 ↦ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩)))
2827feq1d 6657 . 2 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝐸 ↑m 𝐸) ↔ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) ↦ (𝑒 ∈ 𝐸 ↦ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩)):(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝐸 ↑m 𝐸)))
2925, 28mpbird 257 1 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝐸 ↑m 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4596   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1st c1st 7923  2nd c2nd 7924   ↑m cmap 8771   ↑pm cpm 8772  mVRcmvar 34119  mTCcmtc 34122  mRExcmrex 34124  mExcmex 34125  mRSubstcmrsub 34128  mSubstcmsub 34129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-word 14412  df-concat 14468  df-s1 14493  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-frmd 18667  df-mrex 34144  df-mex 34145  df-mrsub 34148  df-msub 34149
This theorem is referenced by:  msubf  34190  msubff1  34214  mclsind  34228
  Copyright terms: Public domain W3C validator