Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  msubff Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem msubff 34817
Description: A substitution is a function from 𝐸 to 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
msubff.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
msubff.r 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
msubff.s 𝑆 = (mSubstβ€˜π‘‡)
msubff.e 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
msubff (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝐸 ↑m 𝐸))
Proof of Theorem msubff
Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xp1st 8011 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ((mTCβ€˜π‘‡) Γ— 𝑅) β†’ (1st β€˜π‘’) ∈ (mTCβ€˜π‘‡))
2 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (mTCβ€˜π‘‡) = (mTCβ€˜π‘‡)
3 msubff.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
4 msubff.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
52, 3, 4mexval 34789 . . . . . . . . 9 𝐸 = ((mTCβ€˜π‘‡) Γ— 𝑅)
61, 5eleq2s 2849 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ 𝐸 β†’ (1st β€˜π‘’) ∈ (mTCβ€˜π‘‡))
76adantl 480 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (1st β€˜π‘’) ∈ (mTCβ€˜π‘‡))
8 msubff.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
9 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (mRSubstβ€˜π‘‡) = (mRSubstβ€˜π‘‡)
108, 4, 9mrsubff 34799 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (mRSubstβ€˜π‘‡):(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅))
1110ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ ((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“) ∈ (𝑅 ↑m 𝑅))
12 elmapi 8847 . . . . . . . . 9 (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“) ∈ (𝑅 ↑m 𝑅) β†’ ((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“):π‘…βŸΆπ‘…)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ ((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“):π‘…βŸΆπ‘…)
14 xp2nd 8012 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ((mTCβ€˜π‘‡) Γ— 𝑅) β†’ (2nd β€˜π‘’) ∈ 𝑅)
1514, 5eleq2s 2849 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ 𝐸 β†’ (2nd β€˜π‘’) ∈ 𝑅)
16 ffvelcdm 7084 . . . . . . . 8 ((((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“):π‘…βŸΆπ‘… ∧ (2nd β€˜π‘’) ∈ 𝑅) β†’ (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’)) ∈ 𝑅)
1713, 15, 16syl2an 594 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’)) ∈ 𝑅)
18 opelxp 5713 . . . . . . 7 (⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩ ∈ ((mTCβ€˜π‘‡) Γ— 𝑅) ↔ ((1st β€˜π‘’) ∈ (mTCβ€˜π‘‡) ∧ (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’)) ∈ 𝑅))
197, 17, 18sylanbrc 581 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩ ∈ ((mTCβ€˜π‘‡) Γ— 𝑅))
2019, 5eleqtrrdi 2842 . . . . 5 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩ ∈ 𝐸)
2120fmpttd 7117 . . . 4 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑒 ∈ 𝐸 ↦ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩):𝐸⟢𝐸)
223fvexi 6906 . . . . 5 𝐸 ∈ V
2322, 22elmap 8869 . . . 4 ((𝑒 ∈ 𝐸 ↦ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩) ∈ (𝐸 ↑m 𝐸) ↔ (𝑒 ∈ 𝐸 ↦ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩):𝐸⟢𝐸)
2421, 23sylibr 233 . . 3 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑒 ∈ 𝐸 ↦ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩) ∈ (𝐸 ↑m 𝐸))
2524fmpttd 7117 . 2 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) ↦ (𝑒 ∈ 𝐸 ↦ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩)):(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝐸 ↑m 𝐸))
26 msubff.s . . . 4 𝑆 = (mSubstβ€˜π‘‡)
278, 4, 26, 3, 9msubffval 34810 . . 3 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑆 = (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) ↦ (𝑒 ∈ 𝐸 ↦ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩)))
2827feq1d 6703 . 2 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝐸 ↑m 𝐸) ↔ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) ↦ (𝑒 ∈ 𝐸 ↦ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩)):(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝐸 ↑m 𝐸)))
2925, 28mpbird 256 1 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝐸 ↑m 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βŸ¨cop 4635   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  1st c1st 7977  2nd c2nd 7978   ↑m cmap 8824   ↑pm cpm 8825  mVRcmvar 34748  mTCcmtc 34751  mRExcmrex 34753  mExcmex 34754  mRSubstcmrsub 34757  mSubstcmsub 34758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14297  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18708  df-frmd 18768  df-mrex 34773  df-mex 34774  df-mrsub 34777  df-msub 34778
This theorem is referenced by:  msubf  34819  msubff1  34843  mclsind  34857
  Copyright terms: Public domain W3C validator