Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  msubff Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem msubff 34552
Description: A substitution is a function from 𝐸 to 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
msubff.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
msubff.r 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
msubff.s 𝑆 = (mSubstβ€˜π‘‡)
msubff.e 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
msubff (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝐸 ↑m 𝐸))
Proof of Theorem msubff
Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xp1st 8007 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ((mTCβ€˜π‘‡) Γ— 𝑅) β†’ (1st β€˜π‘’) ∈ (mTCβ€˜π‘‡))
2 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (mTCβ€˜π‘‡) = (mTCβ€˜π‘‡)
3 msubff.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
4 msubff.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
52, 3, 4mexval 34524 . . . . . . . . 9 𝐸 = ((mTCβ€˜π‘‡) Γ— 𝑅)
61, 5eleq2s 2852 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ 𝐸 β†’ (1st β€˜π‘’) ∈ (mTCβ€˜π‘‡))
76adantl 483 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (1st β€˜π‘’) ∈ (mTCβ€˜π‘‡))
8 msubff.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
9 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (mRSubstβ€˜π‘‡) = (mRSubstβ€˜π‘‡)
108, 4, 9mrsubff 34534 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (mRSubstβ€˜π‘‡):(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅))
1110ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ ((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“) ∈ (𝑅 ↑m 𝑅))
12 elmapi 8843 . . . . . . . . 9 (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“) ∈ (𝑅 ↑m 𝑅) β†’ ((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“):π‘…βŸΆπ‘…)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ ((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“):π‘…βŸΆπ‘…)
14 xp2nd 8008 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ((mTCβ€˜π‘‡) Γ— 𝑅) β†’ (2nd β€˜π‘’) ∈ 𝑅)
1514, 5eleq2s 2852 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ 𝐸 β†’ (2nd β€˜π‘’) ∈ 𝑅)
16 ffvelcdm 7084 . . . . . . . 8 ((((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“):π‘…βŸΆπ‘… ∧ (2nd β€˜π‘’) ∈ 𝑅) β†’ (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’)) ∈ 𝑅)
1713, 15, 16syl2an 597 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’)) ∈ 𝑅)
18 opelxp 5713 . . . . . . 7 (⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩ ∈ ((mTCβ€˜π‘‡) Γ— 𝑅) ↔ ((1st β€˜π‘’) ∈ (mTCβ€˜π‘‡) ∧ (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’)) ∈ 𝑅))
197, 17, 18sylanbrc 584 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩ ∈ ((mTCβ€˜π‘‡) Γ— 𝑅))
2019, 5eleqtrrdi 2845 . . . . 5 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) β†’ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩ ∈ 𝐸)
2120fmpttd 7115 . . . 4 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑒 ∈ 𝐸 ↦ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩):𝐸⟢𝐸)
223fvexi 6906 . . . . 5 𝐸 ∈ V
2322, 22elmap 8865 . . . 4 ((𝑒 ∈ 𝐸 ↦ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩) ∈ (𝐸 ↑m 𝐸) ↔ (𝑒 ∈ 𝐸 ↦ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩):𝐸⟢𝐸)
2421, 23sylibr 233 . . 3 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑒 ∈ 𝐸 ↦ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩) ∈ (𝐸 ↑m 𝐸))
2524fmpttd 7115 . 2 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) ↦ (𝑒 ∈ 𝐸 ↦ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩)):(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝐸 ↑m 𝐸))
26 msubff.s . . . 4 𝑆 = (mSubstβ€˜π‘‡)
278, 4, 26, 3, 9msubffval 34545 . . 3 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑆 = (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) ↦ (𝑒 ∈ 𝐸 ↦ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩)))
2827feq1d 6703 . 2 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝐸 ↑m 𝐸) ↔ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) ↦ (𝑒 ∈ 𝐸 ↦ ⟨(1st β€˜π‘’), (((mRSubstβ€˜π‘‡)β€˜π‘“)β€˜(2nd β€˜π‘’))⟩)):(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝐸 ↑m 𝐸)))
2925, 28mpbird 257 1 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝐸 ↑m 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4635   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974   ↑m cmap 8820   ↑pm cpm 8821  mVRcmvar 34483  mTCcmtc 34486  mRExcmrex 34488  mExcmex 34489  mRSubstcmrsub 34492  mSubstcmsub 34493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-frmd 18730  df-mrex 34508  df-mex 34509  df-mrsub 34512  df-msub 34513
This theorem is referenced by:  msubf  34554  msubff1  34578  mclsind  34592
  Copyright terms: Public domain W3C validator