Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  msubff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem msubff 35515
Description: A substitution is a function from 𝐸 to 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
msubff.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
msubff.r 𝑅 = (mREx‘𝑇)
msubff.s 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
msubff.e 𝐸 = (mEx‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
msubff (𝑇𝑊𝑆:(𝑅pm 𝑉)⟶(𝐸m 𝐸))

Proof of Theorem msubff
Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xp1st 8045 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ((mTC‘𝑇) × 𝑅) → (1st𝑒) ∈ (mTC‘𝑇))
2 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (mTC‘𝑇) = (mTC‘𝑇)
3 msubff.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (mEx‘𝑇)
4 msubff.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (mREx‘𝑇)
52, 3, 4mexval 35487 . . . . . . . . 9 𝐸 = ((mTC‘𝑇) × 𝑅)
61, 5eleq2s 2857 . . . . . . . 8 (𝑒𝐸 → (1st𝑒) ∈ (mTC‘𝑇))
76adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) ∧ 𝑒𝐸) → (1st𝑒) ∈ (mTC‘𝑇))
8 msubff.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (mVR‘𝑇)
9 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (mRSubst‘𝑇) = (mRSubst‘𝑇)
108, 4, 9mrsubff 35497 . . . . . . . . . 10 (𝑇𝑊 → (mRSubst‘𝑇):(𝑅pm 𝑉)⟶(𝑅m 𝑅))
1110ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) → ((mRSubst‘𝑇)‘𝑓) ∈ (𝑅m 𝑅))
12 elmapi 8888 . . . . . . . . 9 (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓) ∈ (𝑅m 𝑅) → ((mRSubst‘𝑇)‘𝑓):𝑅𝑅)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) → ((mRSubst‘𝑇)‘𝑓):𝑅𝑅)
14 xp2nd 8046 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ((mTC‘𝑇) × 𝑅) → (2nd𝑒) ∈ 𝑅)
1514, 5eleq2s 2857 . . . . . . . 8 (𝑒𝐸 → (2nd𝑒) ∈ 𝑅)
16 ffvelcdm 7101 . . . . . . . 8 ((((mRSubst‘𝑇)‘𝑓):𝑅𝑅 ∧ (2nd𝑒) ∈ 𝑅) → (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒)) ∈ 𝑅)
1713, 15, 16syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) ∧ 𝑒𝐸) → (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒)) ∈ 𝑅)
18 opelxp 5725 . . . . . . 7 (⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩ ∈ ((mTC‘𝑇) × 𝑅) ↔ ((1st𝑒) ∈ (mTC‘𝑇) ∧ (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒)) ∈ 𝑅))
197, 17, 18sylanbrc 583 . . . . . 6 (((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) ∧ 𝑒𝐸) → ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩ ∈ ((mTC‘𝑇) × 𝑅))
2019, 5eleqtrrdi 2850 . . . . 5 (((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) ∧ 𝑒𝐸) → ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩ ∈ 𝐸)
2120fmpttd 7135 . . . 4 ((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) → (𝑒𝐸 ↦ ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩):𝐸𝐸)
223fvexi 6921 . . . . 5 𝐸 ∈ V
2322, 22elmap 8910 . . . 4 ((𝑒𝐸 ↦ ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩) ∈ (𝐸m 𝐸) ↔ (𝑒𝐸 ↦ ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩):𝐸𝐸)
2421, 23sylibr 234 . . 3 ((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) → (𝑒𝐸 ↦ ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩) ∈ (𝐸m 𝐸))
2524fmpttd 7135 . 2 (𝑇𝑊 → (𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉) ↦ (𝑒𝐸 ↦ ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩)):(𝑅pm 𝑉)⟶(𝐸m 𝐸))
26 msubff.s . . . 4 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
278, 4, 26, 3, 9msubffval 35508 . . 3 (𝑇𝑊𝑆 = (𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉) ↦ (𝑒𝐸 ↦ ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩)))
2827feq1d 6721 . 2 (𝑇𝑊 → (𝑆:(𝑅pm 𝑉)⟶(𝐸m 𝐸) ↔ (𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉) ↦ (𝑒𝐸 ↦ ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩)):(𝑅pm 𝑉)⟶(𝐸m 𝐸)))
2925, 28mpbird 257 1 (𝑇𝑊𝑆:(𝑅pm 𝑉)⟶(𝐸m 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cop 4637  cmpt 5231   × cxp 5687  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  1st c1st 8011  2nd c2nd 8012  m cmap 8865  pm cpm 8866  mVRcmvar 35446  mTCcmtc 35449  mRExcmrex 35451  mExcmex 35452  mRSubstcmrsub 35455  mSubstcmsub 35456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-frmd 18875  df-mrex 35471  df-mex 35472  df-mrsub 35475  df-msub 35476
This theorem is referenced by:  msubf  35517  msubff1  35541  mclsind  35555
  Copyright terms: Public domain W3C validator