Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  msubff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem msubff 35535
Description: A substitution is a function from 𝐸 to 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
msubff.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
msubff.r 𝑅 = (mREx‘𝑇)
msubff.s 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
msubff.e 𝐸 = (mEx‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
msubff (𝑇𝑊𝑆:(𝑅pm 𝑉)⟶(𝐸m 𝐸))

Proof of Theorem msubff
Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xp1st 8046 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ((mTC‘𝑇) × 𝑅) → (1st𝑒) ∈ (mTC‘𝑇))
2 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (mTC‘𝑇) = (mTC‘𝑇)
3 msubff.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (mEx‘𝑇)
4 msubff.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (mREx‘𝑇)
52, 3, 4mexval 35507 . . . . . . . . 9 𝐸 = ((mTC‘𝑇) × 𝑅)
61, 5eleq2s 2859 . . . . . . . 8 (𝑒𝐸 → (1st𝑒) ∈ (mTC‘𝑇))
76adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) ∧ 𝑒𝐸) → (1st𝑒) ∈ (mTC‘𝑇))
8 msubff.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (mVR‘𝑇)
9 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (mRSubst‘𝑇) = (mRSubst‘𝑇)
108, 4, 9mrsubff 35517 . . . . . . . . . 10 (𝑇𝑊 → (mRSubst‘𝑇):(𝑅pm 𝑉)⟶(𝑅m 𝑅))
1110ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) → ((mRSubst‘𝑇)‘𝑓) ∈ (𝑅m 𝑅))
12 elmapi 8889 . . . . . . . . 9 (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓) ∈ (𝑅m 𝑅) → ((mRSubst‘𝑇)‘𝑓):𝑅𝑅)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) → ((mRSubst‘𝑇)‘𝑓):𝑅𝑅)
14 xp2nd 8047 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ((mTC‘𝑇) × 𝑅) → (2nd𝑒) ∈ 𝑅)
1514, 5eleq2s 2859 . . . . . . . 8 (𝑒𝐸 → (2nd𝑒) ∈ 𝑅)
16 ffvelcdm 7101 . . . . . . . 8 ((((mRSubst‘𝑇)‘𝑓):𝑅𝑅 ∧ (2nd𝑒) ∈ 𝑅) → (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒)) ∈ 𝑅)
1713, 15, 16syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) ∧ 𝑒𝐸) → (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒)) ∈ 𝑅)
18 opelxp 5721 . . . . . . 7 (⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩ ∈ ((mTC‘𝑇) × 𝑅) ↔ ((1st𝑒) ∈ (mTC‘𝑇) ∧ (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒)) ∈ 𝑅))
197, 17, 18sylanbrc 583 . . . . . 6 (((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) ∧ 𝑒𝐸) → ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩ ∈ ((mTC‘𝑇) × 𝑅))
2019, 5eleqtrrdi 2852 . . . . 5 (((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) ∧ 𝑒𝐸) → ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩ ∈ 𝐸)
2120fmpttd 7135 . . . 4 ((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) → (𝑒𝐸 ↦ ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩):𝐸𝐸)
223fvexi 6920 . . . . 5 𝐸 ∈ V
2322, 22elmap 8911 . . . 4 ((𝑒𝐸 ↦ ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩) ∈ (𝐸m 𝐸) ↔ (𝑒𝐸 ↦ ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩):𝐸𝐸)
2421, 23sylibr 234 . . 3 ((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) → (𝑒𝐸 ↦ ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩) ∈ (𝐸m 𝐸))
2524fmpttd 7135 . 2 (𝑇𝑊 → (𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉) ↦ (𝑒𝐸 ↦ ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩)):(𝑅pm 𝑉)⟶(𝐸m 𝐸))
26 msubff.s . . . 4 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
278, 4, 26, 3, 9msubffval 35528 . . 3 (𝑇𝑊𝑆 = (𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉) ↦ (𝑒𝐸 ↦ ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩)))
2827feq1d 6720 . 2 (𝑇𝑊 → (𝑆:(𝑅pm 𝑉)⟶(𝐸m 𝐸) ↔ (𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉) ↦ (𝑒𝐸 ↦ ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩)):(𝑅pm 𝑉)⟶(𝐸m 𝐸)))
2925, 28mpbird 257 1 (𝑇𝑊𝑆:(𝑅pm 𝑉)⟶(𝐸m 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cop 4632  cmpt 5225   × cxp 5683  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  1st c1st 8012  2nd c2nd 8013  m cmap 8866  pm cpm 8867  mVRcmvar 35466  mTCcmtc 35469  mRExcmrex 35471  mExcmex 35472  mRSubstcmrsub 35475  mSubstcmsub 35476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-frmd 18862  df-mrex 35491  df-mex 35492  df-mrsub 35495  df-msub 35496
This theorem is referenced by:  msubf  35537  msubff1  35561  mclsind  35575
  Copyright terms: Public domain W3C validator