Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  msubff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem msubff 33076
Description: A substitution is a function from 𝐸 to 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
msubff.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
msubff.r 𝑅 = (mREx‘𝑇)
msubff.s 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
msubff.e 𝐸 = (mEx‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
msubff (𝑇𝑊𝑆:(𝑅pm 𝑉)⟶(𝐸m 𝐸))

Proof of Theorem msubff
Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xp1st 7759 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ((mTC‘𝑇) × 𝑅) → (1st𝑒) ∈ (mTC‘𝑇))
2 eqid 2739 . . . . . . . . . 10 (mTC‘𝑇) = (mTC‘𝑇)
3 msubff.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (mEx‘𝑇)
4 msubff.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (mREx‘𝑇)
52, 3, 4mexval 33048 . . . . . . . . 9 𝐸 = ((mTC‘𝑇) × 𝑅)
61, 5eleq2s 2852 . . . . . . . 8 (𝑒𝐸 → (1st𝑒) ∈ (mTC‘𝑇))
76adantl 485 . . . . . . 7 (((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) ∧ 𝑒𝐸) → (1st𝑒) ∈ (mTC‘𝑇))
8 msubff.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (mVR‘𝑇)
9 eqid 2739 . . . . . . . . . . 11 (mRSubst‘𝑇) = (mRSubst‘𝑇)
108, 4, 9mrsubff 33058 . . . . . . . . . 10 (𝑇𝑊 → (mRSubst‘𝑇):(𝑅pm 𝑉)⟶(𝑅m 𝑅))
1110ffvelrnda 6874 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) → ((mRSubst‘𝑇)‘𝑓) ∈ (𝑅m 𝑅))
12 elmapi 8472 . . . . . . . . 9 (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓) ∈ (𝑅m 𝑅) → ((mRSubst‘𝑇)‘𝑓):𝑅𝑅)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) → ((mRSubst‘𝑇)‘𝑓):𝑅𝑅)
14 xp2nd 7760 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ((mTC‘𝑇) × 𝑅) → (2nd𝑒) ∈ 𝑅)
1514, 5eleq2s 2852 . . . . . . . 8 (𝑒𝐸 → (2nd𝑒) ∈ 𝑅)
16 ffvelrn 6872 . . . . . . . 8 ((((mRSubst‘𝑇)‘𝑓):𝑅𝑅 ∧ (2nd𝑒) ∈ 𝑅) → (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒)) ∈ 𝑅)
1713, 15, 16syl2an 599 . . . . . . 7 (((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) ∧ 𝑒𝐸) → (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒)) ∈ 𝑅)
18 opelxp 5571 . . . . . . 7 (⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩ ∈ ((mTC‘𝑇) × 𝑅) ↔ ((1st𝑒) ∈ (mTC‘𝑇) ∧ (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒)) ∈ 𝑅))
197, 17, 18sylanbrc 586 . . . . . 6 (((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) ∧ 𝑒𝐸) → ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩ ∈ ((mTC‘𝑇) × 𝑅))
2019, 5eleqtrrdi 2845 . . . . 5 (((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) ∧ 𝑒𝐸) → ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩ ∈ 𝐸)
2120fmpttd 6902 . . . 4 ((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) → (𝑒𝐸 ↦ ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩):𝐸𝐸)
223fvexi 6701 . . . . 5 𝐸 ∈ V
2322, 22elmap 8494 . . . 4 ((𝑒𝐸 ↦ ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩) ∈ (𝐸m 𝐸) ↔ (𝑒𝐸 ↦ ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩):𝐸𝐸)
2421, 23sylibr 237 . . 3 ((𝑇𝑊𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉)) → (𝑒𝐸 ↦ ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩) ∈ (𝐸m 𝐸))
2524fmpttd 6902 . 2 (𝑇𝑊 → (𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉) ↦ (𝑒𝐸 ↦ ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩)):(𝑅pm 𝑉)⟶(𝐸m 𝐸))
26 msubff.s . . . 4 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
278, 4, 26, 3, 9msubffval 33069 . . 3 (𝑇𝑊𝑆 = (𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉) ↦ (𝑒𝐸 ↦ ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩)))
2827feq1d 6500 . 2 (𝑇𝑊 → (𝑆:(𝑅pm 𝑉)⟶(𝐸m 𝐸) ↔ (𝑓 ∈ (𝑅pm 𝑉) ↦ (𝑒𝐸 ↦ ⟨(1st𝑒), (((mRSubst‘𝑇)‘𝑓)‘(2nd𝑒))⟩)):(𝑅pm 𝑉)⟶(𝐸m 𝐸)))
2925, 28mpbird 260 1 (𝑇𝑊𝑆:(𝑅pm 𝑉)⟶(𝐸m 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  cop 4532  cmpt 5120   × cxp 5533  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7183  1st c1st 7725  2nd c2nd 7726  m cmap 8450  pm cpm 8451  mVRcmvar 33007  mTCcmtc 33010  mRExcmrex 33012  mExcmex 33013  mRSubstcmrsub 33016  mSubstcmsub 33017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-2 11792  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-seq 13474  df-hash 13796  df-word 13969  df-concat 14025  df-s1 14052  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-0g 16831  df-gsum 16832  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-submnd 18086  df-frmd 18143  df-mrex 33032  df-mex 33033  df-mrsub 33036  df-msub 33037
This theorem is referenced by:  msubf  33078  msubff1  33102  mclsind  33116
  Copyright terms: Public domain W3C validator