Theorem motcl 26900

Description: Closure of motions. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
motco.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
motcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
motcl	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem motcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismot.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismot.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		motgrp.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
4		motco.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
5	1, 2, 3, 4	motf1o 26899	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃)
6		f1of 6716	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 → 𝐹:𝑃⟶𝑃)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑃⟶𝑃)
8		motcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	7, 8	ffvelrnd 6962	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ⟶wf 6429  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  distcds 16971  Ismtcismt 26893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-map 8617  df-ismt 26894

This theorem is referenced by:  motcgr3  26906  motrag  27069