Theorem motcl 28517

Description: Closure of motions. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
motco.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
motcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
motcl	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem motcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismot.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismot.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		motgrp.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
4		motco.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
5	1, 2, 3, 4	motf1o 28516	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃)
6		f1of 6763	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 → 𝐹:𝑃⟶𝑃)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑃⟶𝑃)
8		motcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	7, 8	ffvelcdmd 7018	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟶wf 6477  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  distcds 17170  Ismtcismt 28510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-map 8752  df-ismt 28511

This theorem is referenced by:  motcgr3  28523  motrag  28686