Theorem motcl 28609

Description: Closure of motions. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
motco.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
motcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
motcl	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem motcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismot.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismot.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		motgrp.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
4		motco.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
5	1, 2, 3, 4	motf1o 28608	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃)
6		f1of 6782	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 → 𝐹:𝑃⟶𝑃)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑃⟶𝑃)
8		motcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	7, 8	ffvelcdmd 7039	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6496  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7369  Basecbs 17181  distcds 17231  Ismtcismt 28602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-map 8777  df-ismt 28603

This theorem is referenced by:  motcgr3  28615  motrag  28778