MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem motcl 27310
Description: Closure of motions. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m = (dist‘𝐺)
motgrp.1 (𝜑𝐺𝑉)
motco.2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
motcl.a (𝜑𝐴𝑃)
Assertion
Ref Expression
motcl (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem motcl
StepHypRef Expression
1 ismot.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 ismot.m . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 motgrp.1 . . . 4 (𝜑𝐺𝑉)
4 motco.2 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
51, 2, 3, 4motf1o 27309 . . 3 (𝜑𝐹:𝑃1-1-onto𝑃)
6 f1of 6781 . . 3 (𝐹:𝑃1-1-onto𝑃𝐹:𝑃𝑃)
75, 6syl 17 . 2 (𝜑𝐹:𝑃𝑃)
8 motcl.a . 2 (𝜑𝐴𝑃)
97, 8ffvelcdmd 7032 1 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wf 6489  1-1-ontowf1o 6492  cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17043  distcds 17102  Ismtcismt 27303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-map 8725  df-ismt 27304
This theorem is referenced by:  motcgr3  27316  motrag  27479
  Copyright terms: Public domain W3C validator