Theorem motcgr3 27042

Description: Property of a motion: distances are preserved, special case of triangles. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
motcgr3.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
motcgr3.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motcgr3.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
motcgr3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
motcgr3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
motcgr3.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
motcgr3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
motcgr3.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝐻‘𝐴))
motcgr3.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐻‘𝐵))
motcgr3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐻‘𝐶))
motcgr3.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Assertion

Ref	Expression
motcgr3	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem motcgr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		motcgr3.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		motcgr3.m	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		motcgr3.r	. 2 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
4		motcgr3.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		motcgr3.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		motcgr3.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		motcgr3.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		motcgr3.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝐻‘𝐴))
9		motcgr3.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
10	1, 2, 4, 9, 5	motcl 27036	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐴) ∈ 𝑃)
11	8, 10	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
12		motcgr3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐻‘𝐵))
13	1, 2, 4, 9, 6	motcl 27036	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐵) ∈ 𝑃)
14	12, 13	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
15		motcgr3.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐻‘𝐶))
16	1, 2, 4, 9, 7	motcl 27036	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐶) ∈ 𝑃)
17	15, 16	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
18	8, 12	oveq12d 7335	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐸) = ((𝐻‘𝐴) − (𝐻‘𝐵)))
19	1, 2, 4, 5, 6, 9	motcgr 27033	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐴) − (𝐻‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
20	18, 19	eqtr2d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
21	12, 15	oveq12d 7335	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐹) = ((𝐻‘𝐵) − (𝐻‘𝐶)))
22	1, 2, 4, 6, 7, 9	motcgr 27033	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐵) − (𝐻‘𝐶)) = (𝐵 − 𝐶))
23	21, 22	eqtr2d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
24	15, 8	oveq12d 7335	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐷) = ((𝐻‘𝐶) − (𝐻‘𝐴)))
25	1, 2, 4, 7, 5, 9	motcgr 27033	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐶) − (𝐻‘𝐴)) = (𝐶 − 𝐴))
26	24, 25	eqtr2d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 14, 17, 20, 23, 26	trgcgr 27013	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5087  ‘cfv 6466  (class class class)co 7317  ⟨“cs3 14634  Basecbs 16989  distcds 17048  TarskiGcstrkg 26924  cgrGccgrg 27007  Ismtcismt 27029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-1o 8346  df-er 8548  df-map 8667  df-pm 8668  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787  df-card 9775  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-n0 12314  df-z 12400  df-uz 12663  df-fz 13320  df-fzo 13463  df-hash 14125  df-word 14297  df-concat 14353  df-s1 14380  df-s2 14640  df-s3 14641  df-trkgc 26945  df-trkgcb 26947  df-trkg 26950  df-cgrg 27008  df-ismt 27030

This theorem is referenced by:  motrag  27205