MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem motco 27771
Description: The composition of two motions is a motion. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m = (dist‘𝐺)
motgrp.1 (𝜑𝐺𝑉)
motco.2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
motco.3 (𝜑𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Assertion
Ref Expression
motco (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Proof of Theorem motco
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismot.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 ismot.m . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 motgrp.1 . . . 4 (𝜑𝐺𝑉)
4 motco.2 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
51, 2, 3, 4motf1o 27769 . . 3 (𝜑𝐹:𝑃1-1-onto𝑃)
6 motco.3 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
71, 2, 3, 6motf1o 27769 . . 3 (𝜑𝐻:𝑃1-1-onto𝑃)
8 f1oco 6853 . . 3 ((𝐹:𝑃1-1-onto𝑃𝐻:𝑃1-1-onto𝑃) → (𝐹𝐻):𝑃1-1-onto𝑃)
95, 7, 8syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐻):𝑃1-1-onto𝑃)
10 f1of 6830 . . . . . . . 8 (𝐻:𝑃1-1-onto𝑃𝐻:𝑃𝑃)
117, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐻:𝑃𝑃)
1211adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝐻:𝑃𝑃)
13 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝑎𝑃)
14 fvco3 6986 . . . . . 6 ((𝐻:𝑃𝑃𝑎𝑃) → ((𝐹𝐻)‘𝑎) = (𝐹‘(𝐻𝑎)))
1512, 13, 14syl2anc 585 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → ((𝐹𝐻)‘𝑎) = (𝐹‘(𝐻𝑎)))
16 simprr 772 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝑏𝑃)
17 fvco3 6986 . . . . . 6 ((𝐻:𝑃𝑃𝑏𝑃) → ((𝐹𝐻)‘𝑏) = (𝐹‘(𝐻𝑏)))
1812, 16, 17syl2anc 585 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → ((𝐹𝐻)‘𝑏) = (𝐹‘(𝐻𝑏)))
1915, 18oveq12d 7422 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → (((𝐹𝐻)‘𝑎) ((𝐹𝐻)‘𝑏)) = ((𝐹‘(𝐻𝑎)) (𝐹‘(𝐻𝑏))))
203adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝐺𝑉)
2112, 13ffvelcdmd 7083 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → (𝐻𝑎) ∈ 𝑃)
2212, 16ffvelcdmd 7083 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → (𝐻𝑏) ∈ 𝑃)
234adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
241, 2, 20, 21, 22, 23motcgr 27767 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → ((𝐹‘(𝐻𝑎)) (𝐹‘(𝐻𝑏))) = ((𝐻𝑎) (𝐻𝑏)))
256adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
261, 2, 20, 13, 16, 25motcgr 27767 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → ((𝐻𝑎) (𝐻𝑏)) = (𝑎 𝑏))
2719, 24, 263eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → (((𝐹𝐻)‘𝑎) ((𝐹𝐻)‘𝑏)) = (𝑎 𝑏))
2827ralrimivva 3201 . 2 (𝜑 → ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 (((𝐹𝐻)‘𝑎) ((𝐹𝐻)‘𝑏)) = (𝑎 𝑏))
291, 2ismot 27766 . . 3 (𝐺𝑉 → ((𝐹𝐻) ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ ((𝐹𝐻):𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 (((𝐹𝐻)‘𝑎) ((𝐹𝐻)‘𝑏)) = (𝑎 𝑏))))
303, 29syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐻) ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ ((𝐹𝐻):𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 (((𝐹𝐻)‘𝑎) ((𝐹𝐻)‘𝑏)) = (𝑎 𝑏))))
319, 28, 30mpbir2and 712 1 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  ccom 5679  wf 6536  1-1-ontowf1o 6539  cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  distcds 17202  Ismtcismt 27763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-map 8818  df-ismt 27764
This theorem is referenced by:  motgrp  27774
  Copyright terms: Public domain W3C validator