MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem motco 28046
Description: The composition of two motions is a motion. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ismot.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
motgrp.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
motco.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
motco.3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Assertion
Ref Expression
motco (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Proof of Theorem motco
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismot.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 ismot.m . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 motgrp.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
4 motco.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
51, 2, 3, 4motf1o 28044 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃)
6 motco.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
71, 2, 3, 6motf1o 28044 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝑃–1-1-onto→𝑃)
8 f1oco 6856 . . 3 ((𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ 𝐻:𝑃–1-1-onto→𝑃) β†’ (𝐹 ∘ 𝐻):𝑃–1-1-onto→𝑃)
95, 7, 8syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐻):𝑃–1-1-onto→𝑃)
10 f1of 6833 . . . . . . . 8 (𝐻:𝑃–1-1-onto→𝑃 β†’ 𝐻:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ)
117, 10syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ)
1211adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ 𝐻:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ)
13 simprl 769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑃)
14 fvco3 6990 . . . . . 6 ((𝐻:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐻)β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜(π»β€˜π‘Ž)))
1512, 13, 14syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐻)β€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜(π»β€˜π‘Ž)))
16 simprr 771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑃)
17 fvco3 6990 . . . . . 6 ((𝐻:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐻)β€˜π‘) = (πΉβ€˜(π»β€˜π‘)))
1812, 16, 17syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐻)β€˜π‘) = (πΉβ€˜(π»β€˜π‘)))
1915, 18oveq12d 7429 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ (((𝐹 ∘ 𝐻)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐻)β€˜π‘)) = ((πΉβ€˜(π»β€˜π‘Ž)) βˆ’ (πΉβ€˜(π»β€˜π‘))))
203adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
2112, 13ffvelcdmd 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ (π»β€˜π‘Ž) ∈ 𝑃)
2212, 16ffvelcdmd 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ (π»β€˜π‘) ∈ 𝑃)
234adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
241, 2, 20, 21, 22, 23motcgr 28042 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ ((πΉβ€˜(π»β€˜π‘Ž)) βˆ’ (πΉβ€˜(π»β€˜π‘))) = ((π»β€˜π‘Ž) βˆ’ (π»β€˜π‘)))
256adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
261, 2, 20, 13, 16, 25motcgr 28042 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ ((π»β€˜π‘Ž) βˆ’ (π»β€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
2719, 24, 263eqtrd 2776 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ (((𝐹 ∘ 𝐻)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐻)β€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
2827ralrimivva 3200 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐹 ∘ 𝐻)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐻)β€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
291, 2ismot 28041 . . 3 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ ((𝐹 ∘ 𝐻) ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐻):𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐹 ∘ 𝐻)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐻)β€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))))
303, 29syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐻) ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐻):𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐹 ∘ 𝐻)β€˜π‘Ž) βˆ’ ((𝐹 ∘ 𝐻)β€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))))
319, 28, 30mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  distcds 17210  Ismtcismt 28038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-ismt 28039
This theorem is referenced by:  motgrp  28049
  Copyright terms: Public domain W3C validator