Theorem motrag 28224

Description: Right angles are preserved by motions. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
motrag.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
motrag.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
motrag	⊢ (𝜑 → ⟨“(𝐹‘𝐴)(𝐹‘𝐵)(𝐹‘𝐶)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem motrag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		israg.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		israg.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		israg.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		israg.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		israg.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		israg.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		israg.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		israg.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9		israg.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		eqid 2730	. 2 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
11		motrag.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
12	1, 2, 6, 11, 7	motcl 28055	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑃)
13	1, 2, 6, 11, 8	motcl 28055	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑃)
14	1, 2, 6, 11, 9	motcl 28055	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑃)
15		motrag.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
16		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))
17		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))
18		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))
19	1, 2, 10, 6, 7, 8, 9, 16, 17, 18, 11	motcgr3 28061	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(𝐹‘𝐴)(𝐹‘𝐵)(𝐹‘𝐶)”⟩)
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 19	ragcgr 28223	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝐹‘𝐴)(𝐹‘𝐵)(𝐹‘𝐶)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413  ⟨“cs3 14799  Basecbs 17150  distcds 17212  TarskiGcstrkg 27943  Itvcitv 27949  LineGclng 27950  cgrGccgrg 28026  Ismtcismt 28048  pInvGcmir 28168  ∟Gcrag 28209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14297  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-s2 14805  df-s3 14806  df-trkgc 27964  df-trkgb 27965  df-trkgcb 27966  df-trkg 27969  df-cgrg 28027  df-ismt 28049  df-mir 28169  df-rag 28210

This theorem is referenced by:  hypcgrlem2  28316