Theorem motrag 27358

Description: Right angles are preserved by motions. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
motrag.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
motrag.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
motrag	⊢ (𝜑 → ⟨“(𝐹‘𝐴)(𝐹‘𝐵)(𝐹‘𝐶)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem motrag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		israg.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		israg.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		israg.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		israg.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		israg.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		israg.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		israg.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		israg.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9		israg.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		eqid 2736	. 2 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
11		motrag.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
12	1, 2, 6, 11, 7	motcl 27189	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑃)
13	1, 2, 6, 11, 8	motcl 27189	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑃)
14	1, 2, 6, 11, 9	motcl 27189	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑃)
15		motrag.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
16		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))
17		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))
18		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))
19	1, 2, 10, 6, 7, 8, 9, 16, 17, 18, 11	motcgr3 27195	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(𝐹‘𝐴)(𝐹‘𝐵)(𝐹‘𝐶)”⟩)
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 19	ragcgr 27357	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝐹‘𝐴)(𝐹‘𝐵)(𝐹‘𝐶)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  ⟨“cs3 14654  Basecbs 17009  distcds 17068  TarskiGcstrkg 27077  Itvcitv 27083  LineGclng 27084  cgrGccgrg 27160  Ismtcismt 27182  pInvGcmir 27302  ∟Gcrag 27343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-hash 14146  df-word 14318  df-concat 14374  df-s1 14400  df-s2 14660  df-s3 14661  df-trkgc 27098  df-trkgb 27099  df-trkgcb 27100  df-trkg 27103  df-cgrg 27161  df-ismt 27183  df-mir 27303  df-rag 27344

This theorem is referenced by:  hypcgrlem2  27450