Theorem motrag 29216

Description: Right angles are preserved by motions. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
motrag.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
motrag.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
motrag	⊢ (𝜑 → ⟨“(𝐹‘𝐴)(𝐹‘𝐵)(𝐹‘𝐶)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem motrag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		israg.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		israg.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		israg.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		israg.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		israg.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		israg.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		israg.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		israg.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9		israg.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		eqid 2763	. 2 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
11		motrag.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
12	1, 2, 6, 11, 7	motcl 29035	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑃)
13	1, 2, 6, 11, 8	motcl 29035	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑃)
14	1, 2, 6, 11, 9	motcl 29035	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑃)
15		motrag.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
16		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))
17		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))
18		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))
19	1, 2, 10, 6, 7, 8, 9, 16, 17, 18, 11	motcgr3 29041	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(𝐹‘𝐴)(𝐹‘𝐵)(𝐹‘𝐶)”⟩)
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 19	ragcgr 29215	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝐹‘𝐴)(𝐹‘𝐵)(𝐹‘𝐶)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ⟨“cs3 15024  Basecbs 17419  distcds 17469  TarskiGcstrkg 28922  Itvcitv 28928  LineGclng 28929  cgrGccgrg 29006  Ismtcismt 29028  pInvGcmir 29157  ∟Gcrag 29201

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-hash 14505  df-word 14689  df-concat 14746  df-s1 14773  df-s2 15030  df-s3 15031  df-trkgc 28943  df-trkgb 28944  df-trkgcb 28945  df-trkg 28948  df-cgrg 29007  df-ismt 29029  df-mir 29158  df-rag 29202

This theorem is used by:  hypcgrlem2  29339