Theorem mrcsncl 17533

Description: The Moore closure of a singleton is a closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mrcfval.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mrcsncl	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{𝑈}) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mrcsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4762	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑋 → {𝑈} ⊆ 𝑋)
2		mrcfval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
3	2	mrccl 17532	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝑈} ⊆ 𝑋) → (𝐹‘{𝑈}) ∈ 𝐶)
4	1, 3	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{𝑈}) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899  {csn 4578  ‘cfv 6490  Moorecmre 17499  mrClscmrc 17500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-mre 17503  df-mrc 17504

This theorem is referenced by:  pgpfac1lem1  20003  pgpfac1lem2  20004  pgpfac1lem3a  20005  pgpfac1lem3  20006  pgpfac1lem4  20007  pgpfac1lem5  20008  pgpfaclem1  20010  pgpfaclem2  20011