Theorem mrcsncl 17663

Description: The Moore closure of a singleton is a closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mrcfval.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mrcsncl	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{𝑈}) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mrcsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4751	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑋 → {𝑈} ⊆ 𝑋)
2		mrcfval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
3	2	mrccl 17662	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝑈} ⊆ 𝑋) → (𝐹‘{𝑈}) ∈ 𝐶)
4	1, 3	sylan2 604	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{𝑈}) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ‘cfv 6536  Moorecmre 17629  mrClscmrc 17630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-mre 17633  df-mrc 17634

This theorem is referenced by:  pgpfac1lem1  20141  pgpfac1lem2  20142  pgpfac1lem3a  20143  pgpfac1lem3  20144  pgpfac1lem4  20145  pgpfac1lem5  20146  pgpfaclem1  20148  pgpfaclem2  20149