Theorem mrcsncl 17668

Description: The Moore closure of a singleton is a closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mrcfval.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mrcsncl	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{𝑈}) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mrcsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4756	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑋 → {𝑈} ⊆ 𝑋)
2		mrcfval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
3	2	mrccl 17667	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝑈} ⊆ 𝑋) → (𝐹‘{𝑈}) ∈ 𝐶)
4	1, 3	sylan2 604	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (𝐹‘{𝑈}) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  {csn 4594  ‘cfv 6537  Moorecmre 17634  mrClscmrc 17635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-mre 17638  df-mrc 17639

This theorem is referenced by:  pgpfac1lem1  20146  pgpfac1lem2  20147  pgpfac1lem3a  20148  pgpfac1lem3  20149  pgpfac1lem4  20150  pgpfac1lem5  20151  pgpfaclem1  20153  pgpfaclem2  20154