pgpfac1lem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem pgpfac1lem2 20031

Description: Lemma for pgpfac1 20036. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pgpfac1.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s	⊢ 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z	⊢ 0 = (0_g‘𝐺)
pgpfac1.l	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
pgpfac1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss	⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤 ⊊ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑤) → ¬ (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
pgpfac1.mg	⊢ · = (._g‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
pgpfac1lem2	⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))

Distinct variable groups: 𝑤,𝐴 𝑤, ⊕ 𝑤,𝑃 𝑤,𝐺 𝑤,𝑈 𝑤,𝐶 𝑤,𝑆 𝑤,𝑊 𝜑,𝑤 𝑤, · 𝑤,𝐾 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑤) 𝐸(𝑤) 𝑂(𝑤) 0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem2 Dummy variables 𝑘 𝑠 𝑡 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgpfac1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
2	1	eldifbd 3954	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
3	1	eldifad 3953	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
4	3	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → 𝐶 ∈ 𝑈)
5		pgpfac1.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		pgpfac1.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp 𝐺)
7		pgpprm 19547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 → 𝑃 ∈ ℙ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
9		prmz 16640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
11		pgpfac1.mg	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (._g‘𝐺)
12	11	subgmulgcl 19093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝑈)
13	5, 10, 3, 12	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝑈)
14	13	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝑈)
15		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
16	14, 15	eldifd 3952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
17		pgpfac1.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
18		pgpfac1.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
19		pgpfac1.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
20		pgpfac1.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
21		pgpfac1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
22		pgpfac1.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0_g‘𝐺)
23		pgpfac1.l	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
24		pgpfac1.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
25		pgpfac1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
26		pgpfac1.oe	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 𝐸)
27		pgpfac1.au	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
28		pgpfac1.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
29		pgpfac1.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 })
30		pgpfac1.ss	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝑈)
31		pgpfac1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤 ⊊ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑤) → ¬ (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊊ 𝑤))
32	17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 6, 24, 25, 26, 5, 27, 28, 29, 30, 31	pgpfac1lem1 20030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊))) → ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})) = 𝑈)
33	16, 32	syldan 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})) = 𝑈)
34	4, 33	eleqtrrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → 𝐶 ∈ ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})))
35	34	ex 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → 𝐶 ∈ ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}))))
36		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (-_g‘𝐺) = (-_g‘𝐺)
37		ablgrp 19739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
38	24, 37	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
39	19	subgacs 19115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
41	40	acsmred 17630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
42	19	subgss 19081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
43	5, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐵)
44	43, 27	sseldd 3974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
45	17	mrcsncl 17586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
46	41, 44, 45	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
47	18, 46	eqeltrid 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
48	23	lsmsubg2 19813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
49	24, 47, 28, 48	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
50	43, 13	sseldd 3974	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
51	17	mrcsncl 17586	. . . . . . 7 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
52	41, 50, 51	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
53	36, 23, 49, 52	lsmelvalm 19605	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)∃𝑡 ∈ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)𝑡)))
54		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))
55	19, 11, 54, 17	cycsubg2 19164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
56	38, 50, 55	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
57	56	rexeqdv 3316	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑡 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)𝑡)))
58		ovex 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ V
59	58	rgenw 3055	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ V
60		oveq2 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) → (𝑠(-_g‘𝐺)𝑡) = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
61	60	eqeq2d 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) → (𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)𝑡) ↔ 𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
62	54, 61	rexrnmptw 7098	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ V → (∃𝑡 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
63	59, 62	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
64	57, 63	bitrd 278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
65	64	rexbidv 3169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)∃𝑡 ∈ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
66		rexcom 3278	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
67	38	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → 𝐺 ∈ Grp)
68	30, 43	sstrd 3984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝐵)
69	68	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝐵)
70	69	sselda 3973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → 𝑠 ∈ 𝐵)
71		simplr 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → 𝑘 ∈ ℤ)
72	50	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
73	19, 11	mulgcl 19045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
74	67, 71, 72, 73	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
75	43, 3	sseldd 3974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
76	75	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
77		eqid 2725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+_g‘𝐺) = (+_g‘𝐺)
78	19, 77, 36	grpsubadd 18983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ((𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝐶 ↔ (𝐶(+_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝑠))
79	67, 70, 74, 76, 78	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → ((𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝐶 ↔ (𝐶(+_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝑠))
80		1zzd 12618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → 1 ∈ ℤ)
81	10	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → 𝑃 ∈ ℤ)
82	71, 81	zmulcld 12697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ)
83	19, 11, 77	mulgdir 19060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (1 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = ((1 · 𝐶)(+_g‘𝐺)((𝑘 · 𝑃) · 𝐶)))
84	67, 80, 82, 76, 83	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = ((1 · 𝐶)(+_g‘𝐺)((𝑘 · 𝑃) · 𝐶)))
85	19, 11	mulg1 19035	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (1 · 𝐶) = 𝐶)
86	76, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
87	19, 11	mulgass 19065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ((𝑘 · 𝑃) · 𝐶) = (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))
88	67, 71, 81, 76, 87	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → ((𝑘 · 𝑃) · 𝐶) = (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))
89	86, 88	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → ((1 · 𝐶)(+_g‘𝐺)((𝑘 · 𝑃) · 𝐶)) = (𝐶(+_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
90	84, 89	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = (𝐶(+_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
91	90	eqeq1d 2727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = 𝑠 ↔ (𝐶(+_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝑠))
92	79, 91	bitr4d 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → ((𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝐶 ↔ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = 𝑠))
93		eqcom 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝐶)
94		eqcom 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ↔ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = 𝑠)
95	92, 93, 94	3bitr4g 313	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ 𝑠 = ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)))
96	95	rexbidva 3167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)𝑠 = ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)))
97		risset 3221	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)𝑠 = ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶))
98	96, 97	bitr4di 288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
99	98	rexbidva 3167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
100	66, 99	bitrid 282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
101	53, 65, 100	3bitrd 304	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
102	35, 101	sylibd 238	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
103	38	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
104	75	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ 𝐵)
105		1z 12617	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
106		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℤ)
107		zmulcl 12636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ)
108	106, 10, 107	syl2anr 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ)
109		zaddcl 12627	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ) → (1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ)
110	105, 108, 109	sylancr 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ)
111	19, 20	odcl 19490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (𝑂‘𝐶) ∈ ℕ₀)
112	104, 111	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐶) ∈ ℕ₀)
113	112	nn0zd 12609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐶) ∈ ℤ)
114		hashcl 14342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
115	25, 114	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
116	115	nn0zd 12609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
117	116	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
118	110, 117	gcdcomd 16483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐵) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
119	19	pgphash 19561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
120	6, 25, 119	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
121	120	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
122	121	oveq1d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐵) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
123		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
124	10	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
125		1zzd 12618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
126		gcdaddm 16494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 1) = (𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
127	123, 124, 125, 126	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 1) = (𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
128		gcd1 16497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 gcd 1) = 1)
129	124, 128	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 1) = 1)
130	127, 129	eqtr3d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1)
131	19	grpbn0 18922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
132	38, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
133		hashnncl 14352	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
134	25, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
135	132, 134	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
136	8, 135	pccld 16813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ₀)
137	136	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ₀)
138		rpexp1i 16689	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ₀) → ((𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1))
139	124, 110, 137, 138	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1))
140	130, 139	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1)
141	118, 122, 140	3eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (♯‘𝐵)) = 1)
142	19, 20	oddvds2 19520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑂‘𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
143	38, 25, 75, 142	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
144	143	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
145		rpdvds 16625	. . . . . . 7 ⊢ ((((1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐶) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) ∧ (((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (♯‘𝐵)) = 1 ∧ (𝑂‘𝐶) ∥ (♯‘𝐵))) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (𝑂‘𝐶)) = 1)
146	110, 113, 117, 141, 144, 145	syl32anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (𝑂‘𝐶)) = 1)
147	19, 20, 11	odbezout 19512	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ (1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ) ∧ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (𝑂‘𝐶)) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶)
148	103, 104, 110, 146, 147	syl31anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶)
149	49	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
150		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
151	11	subgmulgcl 19093	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
152	151	3expia 1118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
153	149, 150, 152	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
154		eleq1 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶 → ((𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ↔ 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
155	154	imbi2d 339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶 → ((((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) ↔ (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))))
156	153, 155	syl5ibcom 244	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶 → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))))
157	156	rexlimdva 3145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶 → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))))
158	148, 157	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
159	158	rexlimdva 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
160	102, 159	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
161	2, 160	mt3d 148	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2930 ∀wral 3051 ∃wrex 3060 Vcvv 3463 ∖ cdif 3938 ∩ cin 3940 ⊆ wss 3941 ⊊ wpss 3942 ∅c0 4319 {csn 4625 class class class wbr 5144 ↦ cmpt 5227 ran crn 5674 ‘cfv 6543 (class class class)co 7413 Fincfn 8957 1c1 11134 + caddc 11136 · cmul 11138 ℕcn 12237 ℕ₀cn0 12497 ℤcz 12583 ↑cexp 14053 ♯chash 14316 ∥ cdvds 16225 gcd cgcd 16463 ℙcprime 16636 pCnt cpc 16799 Basecbs 17174 +_gcplusg 17227 0_gc0g 17415 Moorecmre 17556 mrClscmrc 17557 ACScacs 17559 Grpcgrp 18889 -_gcsg 18891 ._gcmg 19022 SubGrpcsubg 19074 odcod 19478 gExcgex 19479 pGrp cpgp 19480 LSSumclsm 19588 Abelcabl 19735

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5281 ax-sep 5295 ax-nul 5302 ax-pow 5360 ax-pr 5424 ax-un 7735 ax-inf2 9659 ax-cnex 11189 ax-resscn 11190 ax-1cn 11191 ax-icn 11192 ax-addcl 11193 ax-addrcl 11194 ax-mulcl 11195 ax-mulrcl 11196 ax-mulcom 11197 ax-addass 11198 ax-mulass 11199 ax-distr 11200 ax-i2m1 11201 ax-1ne0 11202 ax-1rid 11203 ax-rnegex 11204 ax-rrecex 11205 ax-cnre 11206 ax-pre-lttri 11207 ax-pre-lttrn 11208 ax-pre-ltadd 11209 ax-pre-mulgt0 11210 ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3961 df-nul 4320 df-if 4526 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-op 4632 df-uni 4905 df-int 4946 df-iun 4994 df-iin 4995 df-disj 5110 df-br 5145 df-opab 5207 df-mpt 5228 df-tr 5262 df-id 5571 df-eprel 5577 df-po 5585 df-so 5586 df-fr 5628 df-se 5629 df-we 5630 df-xp 5679 df-rel 5680 df-cnv 5681 df-co 5682 df-dm 5683 df-rn 5684 df-res 5685 df-ima 5686 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7369 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-om 7866 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-2o 8481 df-oadd 8484 df-omul 8485 df-er 8718 df-ec 8720 df-qs 8724 df-map 8840 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-fin 8961 df-sup 9460 df-inf 9461 df-oi 9528 df-dju 9919 df-card 9957 df-acn 9960 df-pnf 11275 df-mnf 11276 df-xr 11277 df-ltxr 11278 df-le 11279 df-sub 11471 df-neg 11472 df-div 11897 df-nn 12238 df-2 12300 df-3 12301 df-n0 12498 df-xnn0 12570 df-z 12584 df-uz 12848 df-q 12958 df-rp 13002 df-fz 13512 df-fzo 13655 df-fl 13784 df-mod 13862 df-seq 13994 df-exp 14054 df-fac 14260 df-bc 14289 df-hash 14317 df-cj 15073 df-re 15074 df-im 15075 df-sqrt 15209 df-abs 15210 df-clim 15459 df-sum 15660 df-dvds 16226 df-gcd 16464 df-prm 16637 df-pc 16800 df-sets 17127 df-slot 17145 df-ndx 17157 df-base 17175 df-ress 17204 df-plusg 17240 df-0g 17417 df-mre 17560 df-mrc 17561 df-acs 17563 df-mgm 18594 df-sgrp 18673 df-mnd 18689 df-submnd 18735 df-grp 18892 df-minusg 18893 df-sbg 18894 df-mulg 19023 df-subg 19077 df-eqg 19079 df-ga 19240 df-cntz 19267 df-od 19482 df-pgp 19484 df-lsm 19590 df-cmn 19736 df-abl 19737

This theorem is referenced by: pgpfac1lem4 20034

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