pgpfac1lem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem pgpfac1lem2 19974

Description: Lemma for pgpfac1 19979. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pgpfac1.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s	⊢ 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z	⊢ 0 = (0_g‘𝐺)
pgpfac1.l	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
pgpfac1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss	⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤 ⊊ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑤) → ¬ (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
pgpfac1.mg	⊢ · = (._g‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
pgpfac1lem2	⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))

Distinct variable groups: 𝑤,𝐴 𝑤, ⊕ 𝑤,𝑃 𝑤,𝐺 𝑤,𝑈 𝑤,𝐶 𝑤,𝑆 𝑤,𝑊 𝜑,𝑤 𝑤, · 𝑤,𝐾 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑤) 𝐸(𝑤) 𝑂(𝑤) 0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem2 Dummy variables 𝑘 𝑠 𝑡 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgpfac1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
2	1	eldifbd 3918	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
3	1	eldifad 3917	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → 𝐶 ∈ 𝑈)
5		pgpfac1.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		pgpfac1.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp 𝐺)
7		pgpprm 19490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 → 𝑃 ∈ ℙ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
9		prmz 16604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
11		pgpfac1.mg	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (._g‘𝐺)
12	11	subgmulgcl 19036	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝑈)
13	5, 10, 3, 12	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝑈)
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝑈)
15		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
16	14, 15	eldifd 3916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
17		pgpfac1.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
18		pgpfac1.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
19		pgpfac1.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
20		pgpfac1.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
21		pgpfac1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
22		pgpfac1.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0_g‘𝐺)
23		pgpfac1.l	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
24		pgpfac1.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
25		pgpfac1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
26		pgpfac1.oe	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 𝐸)
27		pgpfac1.au	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
28		pgpfac1.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
29		pgpfac1.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 })
30		pgpfac1.ss	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝑈)
31		pgpfac1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤 ⊊ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑤) → ¬ (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊊ 𝑤))
32	17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 6, 24, 25, 26, 5, 27, 28, 29, 30, 31	pgpfac1lem1 19973	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊))) → ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})) = 𝑈)
33	16, 32	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})) = 𝑈)
34	4, 33	eleqtrrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → 𝐶 ∈ ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})))
35	34	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → 𝐶 ∈ ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}))))
36		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (-_g‘𝐺) = (-_g‘𝐺)
37		ablgrp 19682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
38	24, 37	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
39	19	subgacs 19058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
41	40	acsmred 17580	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
42	19	subgss 19024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
43	5, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐵)
44	43, 27	sseldd 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
45	17	mrcsncl 17536	. . . . . . . . 9 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
46	41, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
47	18, 46	eqeltrid 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
48	23	lsmsubg2 19756	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
49	24, 47, 28, 48	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
50	43, 13	sseldd 3938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
51	17	mrcsncl 17536	. . . . . . 7 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
52	41, 50, 51	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
53	36, 23, 49, 52	lsmelvalm 19548	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)∃𝑡 ∈ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)𝑡)))
54		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))
55	19, 11, 54, 17	cycsubg2 19107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
56	38, 50, 55	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
57	56	rexeqdv 3291	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑡 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)𝑡)))
58		ovex 7386	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ V
59	58	rgenw 3048	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ V
60		oveq2 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) → (𝑠(-_g‘𝐺)𝑡) = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
61	60	eqeq2d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) → (𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)𝑡) ↔ 𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
62	54, 61	rexrnmptw 7033	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ V → (∃𝑡 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
63	59, 62	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
64	57, 63	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
65	64	rexbidv 3153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)∃𝑡 ∈ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
66		rexcom 3258	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
67	38	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → 𝐺 ∈ Grp)
68	30, 43	sstrd 3948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝐵)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝐵)
70	69	sselda 3937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → 𝑠 ∈ 𝐵)
71		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → 𝑘 ∈ ℤ)
72	50	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
73	19, 11	mulgcl 18988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
74	67, 71, 72, 73	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
75	43, 3	sseldd 3938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
76	75	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
77		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+_g‘𝐺) = (+_g‘𝐺)
78	19, 77, 36	grpsubadd 18925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ((𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝐶 ↔ (𝐶(+_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝑠))
79	67, 70, 74, 76, 78	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → ((𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝐶 ↔ (𝐶(+_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝑠))
80		1zzd 12524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → 1 ∈ ℤ)
81	10	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → 𝑃 ∈ ℤ)
82	71, 81	zmulcld 12604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ)
83	19, 11, 77	mulgdir 19003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (1 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = ((1 · 𝐶)(+_g‘𝐺)((𝑘 · 𝑃) · 𝐶)))
84	67, 80, 82, 76, 83	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = ((1 · 𝐶)(+_g‘𝐺)((𝑘 · 𝑃) · 𝐶)))
85	19, 11	mulg1 18978	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (1 · 𝐶) = 𝐶)
86	76, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
87	19, 11	mulgass 19008	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ((𝑘 · 𝑃) · 𝐶) = (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))
88	67, 71, 81, 76, 87	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → ((𝑘 · 𝑃) · 𝐶) = (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))
89	86, 88	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → ((1 · 𝐶)(+_g‘𝐺)((𝑘 · 𝑃) · 𝐶)) = (𝐶(+_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
90	84, 89	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = (𝐶(+_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
91	90	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = 𝑠 ↔ (𝐶(+_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝑠))
92	79, 91	bitr4d 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → ((𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝐶 ↔ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = 𝑠))
93		eqcom 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝐶)
94		eqcom 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ↔ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = 𝑠)
95	92, 93, 94	3bitr4g 314	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ 𝑠 = ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)))
96	95	rexbidva 3151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)𝑠 = ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)))
97		risset 3204	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)𝑠 = ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶))
98	96, 97	bitr4di 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
99	98	rexbidva 3151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
100	66, 99	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-_g‘𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
101	53, 65, 100	3bitrd 305	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
102	35, 101	sylibd 239	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
103	38	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
104	75	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ 𝐵)
105		1z 12523	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
106		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℤ)
107		zmulcl 12542	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ)
108	106, 10, 107	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ)
109		zaddcl 12533	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ) → (1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ)
110	105, 108, 109	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ)
111	19, 20	odcl 19433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (𝑂‘𝐶) ∈ ℕ₀)
112	104, 111	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐶) ∈ ℕ₀)
113	112	nn0zd 12515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐶) ∈ ℤ)
114		hashcl 14281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
115	25, 114	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
116	115	nn0zd 12515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
117	116	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
118	110, 117	gcdcomd 16443	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐵) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
119	19	pgphash 19504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
120	6, 25, 119	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
121	120	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
122	121	oveq1d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐵) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
123		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
124	10	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
125		1zzd 12524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
126		gcdaddm 16454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 1) = (𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
127	123, 124, 125, 126	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 1) = (𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
128		gcd1 16457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 gcd 1) = 1)
129	124, 128	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 1) = 1)
130	127, 129	eqtr3d 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1)
131	19	grpbn0 18863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
132	38, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
133		hashnncl 14291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
134	25, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
135	132, 134	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
136	8, 135	pccld 16780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ₀)
137	136	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ₀)
138		rpexp1i 16652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ₀) → ((𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1))
139	124, 110, 137, 138	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1))
140	130, 139	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1)
141	118, 122, 140	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (♯‘𝐵)) = 1)
142	19, 20	oddvds2 19463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑂‘𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
143	38, 25, 75, 142	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
144	143	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
145		rpdvds 16589	. . . . . . 7 ⊢ ((((1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐶) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) ∧ (((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (♯‘𝐵)) = 1 ∧ (𝑂‘𝐶) ∥ (♯‘𝐵))) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (𝑂‘𝐶)) = 1)
146	110, 113, 117, 141, 144, 145	syl32anc 1380	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (𝑂‘𝐶)) = 1)
147	19, 20, 11	odbezout 19455	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ (1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ) ∧ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (𝑂‘𝐶)) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶)
148	103, 104, 110, 146, 147	syl31anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶)
149	49	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
150		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
151	11	subgmulgcl 19036	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
152	151	3expia 1121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
153	149, 150, 152	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
154		eleq1 2816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶 → ((𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ↔ 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
155	154	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶 → ((((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) ↔ (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))))
156	153, 155	syl5ibcom 245	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶 → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))))
157	156	rexlimdva 3130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶 → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))))
158	148, 157	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
159	158	rexlimdva 3130	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
160	102, 159	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
161	2, 160	mt3d 148	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∀wral 3044 ∃wrex 3053 Vcvv 3438 ∖ cdif 3902 ∩ cin 3904 ⊆ wss 3905 ⊊ wpss 3906 ∅c0 4286 {csn 4579 class class class wbr 5095 ↦ cmpt 5176 ran crn 5624 ‘cfv 6486 (class class class)co 7353 Fincfn 8879 1c1 11029 + caddc 11031 · cmul 11033 ℕcn 12146 ℕ₀cn0 12402 ℤcz 12489 ↑cexp 13986 ♯chash 14255 ∥ cdvds 16181 gcd cgcd 16423 ℙcprime 16600 pCnt cpc 16766 Basecbs 17138 +_gcplusg 17179 0_gc0g 17361 Moorecmre 17502 mrClscmrc 17503 ACScacs 17505 Grpcgrp 18830 -_gcsg 18832 ._gcmg 18964 SubGrpcsubg 19017 odcod 19421 gExcgex 19422 pGrp cpgp 19423 LSSumclsm 19531 Abelcabl 19678

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5221 ax-sep 5238 ax-nul 5248 ax-pow 5307 ax-pr 5374 ax-un 7675 ax-inf2 9556 ax-cnex 11084 ax-resscn 11085 ax-1cn 11086 ax-icn 11087 ax-addcl 11088 ax-addrcl 11089 ax-mulcl 11090 ax-mulrcl 11091 ax-mulcom 11092 ax-addass 11093 ax-mulass 11094 ax-distr 11095 ax-i2m1 11096 ax-1ne0 11097 ax-1rid 11098 ax-rnegex 11099 ax-rrecex 11100 ax-cnre 11101 ax-pre-lttri 11102 ax-pre-lttrn 11103 ax-pre-ltadd 11104 ax-pre-mulgt0 11105 ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3345 df-reu 3346 df-rab 3397 df-v 3440 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4479 df-pw 4555 df-sn 4580 df-pr 4582 df-op 4586 df-uni 4862 df-int 4900 df-iun 4946 df-iin 4947 df-disj 5063 df-br 5096 df-opab 5158 df-mpt 5177 df-tr 5203 df-id 5518 df-eprel 5523 df-po 5531 df-so 5532 df-fr 5576 df-se 5577 df-we 5578 df-xp 5629 df-rel 5630 df-cnv 5631 df-co 5632 df-dm 5633 df-rn 5634 df-res 5635 df-ima 5636 df-pred 6253 df-ord 6314 df-on 6315 df-lim 6316 df-suc 6317 df-iota 6442 df-fun 6488 df-fn 6489 df-f 6490 df-f1 6491 df-fo 6492 df-f1o 6493 df-fv 6494 df-isom 6495 df-riota 7310 df-ov 7356 df-oprab 7357 df-mpo 7358 df-om 7807 df-1st 7931 df-2nd 7932 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-1o 8395 df-2o 8396 df-oadd 8399 df-omul 8400 df-er 8632 df-ec 8634 df-qs 8638 df-map 8762 df-en 8880 df-dom 8881 df-sdom 8882 df-fin 8883 df-sup 9351 df-inf 9352 df-oi 9421 df-dju 9816 df-card 9854 df-acn 9857 df-pnf 11170 df-mnf 11171 df-xr 11172 df-ltxr 11173 df-le 11174 df-sub 11367 df-neg 11368 df-div 11796 df-nn 12147 df-2 12209 df-3 12210 df-n0 12403 df-xnn0 12476 df-z 12490 df-uz 12754 df-q 12868 df-rp 12912 df-fz 13429 df-fzo 13576 df-fl 13714 df-mod 13792 df-seq 13927 df-exp 13987 df-fac 14199 df-bc 14228 df-hash 14256 df-cj 15024 df-re 15025 df-im 15026 df-sqrt 15160 df-abs 15161 df-clim 15413 df-sum 15612 df-dvds 16182 df-gcd 16424 df-prm 16601 df-pc 16767 df-sets 17093 df-slot 17111 df-ndx 17123 df-base 17139 df-ress 17160 df-plusg 17192 df-0g 17363 df-mre 17506 df-mrc 17507 df-acs 17509 df-mgm 18532 df-sgrp 18611 df-mnd 18627 df-submnd 18676 df-grp 18833 df-minusg 18834 df-sbg 18835 df-mulg 18965 df-subg 19020 df-eqg 19022 df-ga 19187 df-cntz 19214 df-od 19425 df-pgp 19427 df-lsm 19533 df-cmn 19679 df-abl 19680

This theorem is referenced by: pgpfac1lem4 19977

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