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Theorem pgpfac1lem2 19773
Description: Lemma for pgpfac1 19778. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z 0 = (0g𝐺)
pgpfac1.l = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au (𝜑𝐴𝑈)
pgpfac1.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
pgpfac1.mg · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem2 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,   𝑤,𝑃   𝑤,𝐺   𝑤,𝑈   𝑤,𝐶   𝑤,𝑆   𝑤,𝑊   𝜑,𝑤   𝑤, ·   𝑤,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐸(𝑤)   𝑂(𝑤)   0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem2
Dummy variables 𝑘 𝑠 𝑡 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
21eldifbd 3911 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))
31eldifad 3910 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑈)
43adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)) → 𝐶𝑈)
5 pgpfac1.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
7 pgpprm 19294 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
9 prmz 16477 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
11 pgpfac1.mg . . . . . . . . . . 11 · = (.g𝐺)
1211subgmulgcl 18864 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝑈) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝑈)
135, 10, 3, 12syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝑈)
1413adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝑈)
15 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)) → ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊))
1614, 15eldifd 3909 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
17 pgpfac1.k . . . . . . . 8 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
18 pgpfac1.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
19 pgpfac1.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
20 pgpfac1.o . . . . . . . 8 𝑂 = (od‘𝐺)
21 pgpfac1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (gEx‘𝐺)
22 pgpfac1.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
23 pgpfac1.l . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝐺)
24 pgpfac1.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
25 pgpfac1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
26 pgpfac1.oe . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
27 pgpfac1.au . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑈)
28 pgpfac1.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
29 pgpfac1.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
30 pgpfac1.ss . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
31 pgpfac1.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
3217, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 6, 24, 25, 26, 5, 27, 28, 29, 30, 31pgpfac1lem1 19772 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})) = 𝑈)
3316, 32syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)) → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})) = 𝑈)
344, 33eleqtrrd 2840 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)) → 𝐶 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})))
3534ex 413 . . . 4 (𝜑 → (¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}))))
36 eqid 2736 . . . . . 6 (-g𝐺) = (-g𝐺)
37 ablgrp 19486 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3824, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
3919subgacs 18885 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
4140acsmred 17462 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
4219subgss 18852 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈𝐵)
435, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝐵)
4443, 27sseldd 3933 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
4517mrcsncl 17418 . . . . . . . . 9 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
4641, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
4718, 46eqeltrid 2841 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4823lsmsubg2 19555 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
4924, 47, 28, 48syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
5043, 13sseldd 3933 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
5117mrcsncl 17418 . . . . . . 7 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
5241, 50, 51syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
5336, 23, 49, 52lsmelvalm 19352 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)∃𝑡 ∈ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡)))
54 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))
5519, 11, 54, 17cycsubg2 18925 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
5638, 50, 55syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
5756rexeqdv 3310 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑡 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡)))
58 ovex 7370 . . . . . . . . 9 (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ V
5958rgenw 3065 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ V
60 oveq2 7345 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) → (𝑠(-g𝐺)𝑡) = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
6160eqeq2d 2747 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) → (𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡) ↔ 𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
6254, 61rexrnmptw 7027 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ V → (∃𝑡 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
6359, 62mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
6457, 63bitrd 278 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
6564rexbidv 3171 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)∃𝑡 ∈ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
66 rexcom 3269 . . . . . 6 (∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
6738ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → 𝐺 ∈ Grp)
6830, 43sstrd 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝐵)
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝐵)
7069sselda 3932 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → 𝑠𝐵)
71 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → 𝑘 ∈ ℤ)
7250ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
7319, 11mulgcl 18817 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
7467, 71, 72, 73syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
7543, 3sseldd 3933 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶𝐵)
7675ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → 𝐶𝐵)
77 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝐺) = (+g𝐺)
7819, 77, 36grpsubadd 18759 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑠𝐵 ∧ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ 𝐵𝐶𝐵)) → ((𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝐶 ↔ (𝐶(+g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝑠))
7967, 70, 74, 76, 78syl13anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → ((𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝐶 ↔ (𝐶(+g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝑠))
80 1zzd 12452 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → 1 ∈ ℤ)
8110ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → 𝑃 ∈ ℤ)
8271, 81zmulcld 12533 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ)
8319, 11, 77mulgdir 18831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (1 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐵)) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = ((1 · 𝐶)(+g𝐺)((𝑘 · 𝑃) · 𝐶)))
8467, 80, 82, 76, 83syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = ((1 · 𝐶)(+g𝐺)((𝑘 · 𝑃) · 𝐶)))
8519, 11mulg1 18807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶𝐵 → (1 · 𝐶) = 𝐶)
8676, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
8719, 11mulgass 18836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐵)) → ((𝑘 · 𝑃) · 𝐶) = (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))
8867, 71, 81, 76, 87syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → ((𝑘 · 𝑃) · 𝐶) = (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))
8986, 88oveq12d 7355 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → ((1 · 𝐶)(+g𝐺)((𝑘 · 𝑃) · 𝐶)) = (𝐶(+g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
9084, 89eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = (𝐶(+g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
9190eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = 𝑠 ↔ (𝐶(+g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝑠))
9279, 91bitr4d 281 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → ((𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝐶 ↔ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = 𝑠))
93 eqcom 2743 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝐶)
94 eqcom 2743 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ↔ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = 𝑠)
9592, 93, 943bitr4g 313 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ 𝑠 = ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)))
9695rexbidva 3169 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)𝑠 = ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)))
97 risset 3217 . . . . . . . 8 (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)𝑠 = ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶))
9896, 97bitr4di 288 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)))
9998rexbidva 3169 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)))
10066, 99bitrid 282 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)))
10153, 65, 1003bitrd 304 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)))
10235, 101sylibd 238 . . 3 (𝜑 → (¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)))
10338adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
10475adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶𝐵)
105 1z 12451 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
106 id 22 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℤ)
107 zmulcl 12470 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ)
108106, 10, 107syl2anr 597 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ)
109 zaddcl 12461 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ) → (1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ)
110105, 108, 109sylancr 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ)
11119, 20odcl 19240 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐵 → (𝑂𝐶) ∈ ℕ0)
112104, 111syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑂𝐶) ∈ ℕ0)
113112nn0zd 12525 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑂𝐶) ∈ ℤ)
114 hashcl 14171 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
11525, 114syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
116115nn0zd 12525 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
117116adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
118110, 117gcdcomd 16320 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐵) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
11919pgphash 19308 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 pGrp 𝐺𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
1206, 25, 119syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
121120adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
122121oveq1d 7352 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐵) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
123 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
12410adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
125 1zzd 12452 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
126 gcdaddm 16331 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 1) = (𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
127123, 124, 125, 126syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 1) = (𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
128 gcd1 16334 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 gcd 1) = 1)
129124, 128syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 1) = 1)
130127, 129eqtr3d 2778 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1)
13119grpbn0 18704 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
13238, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
133 hashnncl 14181 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
13425, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
135132, 134mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
1368, 135pccld 16648 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
137136adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
138 rpexp1i 16525 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0) → ((𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1))
139124, 110, 137, 138syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1))
140130, 139mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1)
141118, 122, 1403eqtrd 2780 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (♯‘𝐵)) = 1)
14219, 20oddvds2 19269 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐶𝐵) → (𝑂𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
14338, 25, 75, 142syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
144143adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑂𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
145 rpdvds 16462 . . . . . . 7 ((((1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐶) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) ∧ (((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (♯‘𝐵)) = 1 ∧ (𝑂𝐶) ∥ (♯‘𝐵))) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (𝑂𝐶)) = 1)
146110, 113, 117, 141, 144, 145syl32anc 1377 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (𝑂𝐶)) = 1)
14719, 20, 11odbezout 19261 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶𝐵 ∧ (1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ) ∧ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (𝑂𝐶)) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶)
148103, 104, 110, 146, 147syl31anc 1372 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶)
14949ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
150 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
15111subgmulgcl 18864 . . . . . . . . 9 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 𝑊))
1521513expia 1120 . . . . . . . 8 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 𝑊)))
153149, 150, 152syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 𝑊)))
154 eleq1 2824 . . . . . . . 8 ((𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶 → ((𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 𝑊) ↔ 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
155154imbi2d 340 . . . . . . 7 ((𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶 → ((((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 𝑊)) ↔ (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))))
156153, 155syl5ibcom 244 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶 → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))))
157156rexlimdva 3148 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶 → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))))
158148, 157mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
159158rexlimdva 3148 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
160102, 159syld 47 . 2 (𝜑 → (¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
1612, 160mt3d 148 1 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3441  cdif 3895  cin 3897  wss 3898  wpss 3899  c0 4269  {csn 4573   class class class wbr 5092  cmpt 5175  ran crn 5621  cfv 6479  (class class class)co 7337  Fincfn 8804  1c1 10973   + caddc 10975   · cmul 10977  cn 12074  0cn0 12334  cz 12420  cexp 13883  chash 14145  cdvds 16062   gcd cgcd 16300  cprime 16473   pCnt cpc 16634  Basecbs 17009  +gcplusg 17059  0gc0g 17247  Moorecmre 17388  mrClscmrc 17389  ACScacs 17391  Grpcgrp 18673  -gcsg 18675  .gcmg 18796  SubGrpcsubg 18845  odcod 19228  gExcgex 19229   pGrp cpgp 19230  LSSumclsm 19335  Abelcabl 19482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5058  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-oadd 8371  df-omul 8372  df-er 8569  df-ec 8571  df-qs 8575  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-dju 9758  df-card 9796  df-acn 9799  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-xnn0 12407  df-z 12421  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-mod 13691  df-seq 13823  df-exp 13884  df-fac 14089  df-bc 14118  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-sum 15497  df-dvds 16063  df-gcd 16301  df-prm 16474  df-pc 16635  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-0g 17249  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-mulg 18797  df-subg 18848  df-eqg 18850  df-ga 18992  df-cntz 19019  df-od 19232  df-pgp 19234  df-lsm 19337  df-cmn 19483  df-abl 19484
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  19776
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