MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfac1lem2 19861
Description: Lemma for pgpfac1 19866. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.s 𝑆 = (πΎβ€˜{𝐴})
pgpfac1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
pgpfac1.o 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
pgpfac1.e 𝐸 = (gExβ€˜πΊ)
pgpfac1.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
pgpfac1.l βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
pgpfac1.p (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π΄) = 𝐸)
pgpfac1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.au (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
pgpfac1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.i (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ π‘Š) = { 0 })
pgpfac1.ss (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† π‘ˆ)
pgpfac1.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑀 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀))
pgpfac1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
pgpfac1.mg Β· = (.gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem2 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐴   𝑀, βŠ•   𝑀,𝑃   𝑀,𝐺   𝑀,π‘ˆ   𝑀,𝐢   𝑀,𝑆   𝑀,π‘Š   πœ‘,𝑀   𝑀, Β·   𝑀,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑀)   𝐸(𝑀)   𝑂(𝑀)   0 (𝑀)

Proof of Theorem pgpfac1lem2
Dummy variables π‘˜ 𝑠 𝑑 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
21eldifbd 3928 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
31eldifad 3927 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
43adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
5 pgpfac1.u . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
6 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
7 pgpprm 19382 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 pGrp 𝐺 β†’ 𝑃 ∈ β„™)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
9 prmz 16558 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
11 pgpfac1.mg . . . . . . . . . . 11 Β· = (.gβ€˜πΊ)
1211subgmulgcl 18948 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ π‘ˆ)
135, 10, 3, 12syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ π‘ˆ)
1413adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ π‘ˆ)
15 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ Β¬ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
1614, 15eldifd 3926 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
17 pgpfac1.k . . . . . . . 8 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
18 pgpfac1.s . . . . . . . 8 𝑆 = (πΎβ€˜{𝐴})
19 pgpfac1.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
20 pgpfac1.o . . . . . . . 8 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
21 pgpfac1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (gExβ€˜πΊ)
22 pgpfac1.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜πΊ)
23 pgpfac1.l . . . . . . . 8 βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
24 pgpfac1.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
25 pgpfac1.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
26 pgpfac1.oe . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π΄) = 𝐸)
27 pgpfac1.au . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
28 pgpfac1.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
29 pgpfac1.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ π‘Š) = { 0 })
30 pgpfac1.ss . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† π‘ˆ)
31 pgpfac1.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑀 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀))
3217, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 6, 24, 25, 26, 5, 27, 28, 29, 30, 31pgpfac1lem1 19860 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)})) = π‘ˆ)
3316, 32syldan 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)})) = π‘ˆ)
344, 33eleqtrrd 2841 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ 𝐢 ∈ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)})))
3534ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)}))))
36 eqid 2737 . . . . . 6 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
37 ablgrp 19574 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
3824, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
3919subgacs 18970 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
4140acsmred 17543 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
4219subgss 18936 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
435, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
4443, 27sseldd 3950 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
4517mrcsncl 17499 . . . . . . . . 9 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
4641, 44, 45syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
4718, 46eqeltrid 2842 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
4823lsmsubg2 19644 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
4924, 47, 28, 48syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
5043, 13sseldd 3950 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡)
5117mrcsncl 17499 . . . . . . 7 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
5241, 50, 51syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
5336, 23, 49, 52lsmelvalm 19440 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)})) ↔ βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)βˆƒπ‘‘ ∈ (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)})𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)𝑑)))
54 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) = (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))
5519, 11, 54, 17cycsubg2 19010 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)}) = ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))))
5638, 50, 55syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)}) = ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))))
5756rexeqdv 3317 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)})𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)𝑑) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)𝑑)))
58 ovex 7395 . . . . . . . . 9 (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)) ∈ V
5958rgenw 3069 . . . . . . . 8 βˆ€π‘˜ ∈ β„€ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)) ∈ V
60 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)) β†’ (𝑠(-gβ€˜πΊ)𝑑) = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))))
6160eqeq2d 2748 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)) β†’ (𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)𝑑) ↔ 𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))))
6254, 61rexrnmptw 7050 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ β„€ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)) ∈ V β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)𝑑) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ 𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))))
6359, 62mp1i 13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)𝑑) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ 𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))))
6457, 63bitrd 279 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)})𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)𝑑) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ 𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))))
6564rexbidv 3176 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)βˆƒπ‘‘ ∈ (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)})𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)𝑑) ↔ βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ 𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))))
66 rexcom 3276 . . . . . 6 (βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ 𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))))
6738ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
6830, 43sstrd 3959 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† 𝐡)
6968adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† 𝐡)
7069sselda 3949 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐡)
71 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
7250ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡)
7319, 11mulgcl 18900 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)) ∈ 𝐡)
7467, 71, 72, 73syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)) ∈ 𝐡)
7543, 3sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
7675ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
77 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
7819, 77, 36grpsubadd 18842 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)) ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) = 𝐢 ↔ (𝐢(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) = 𝑠))
7967, 70, 74, 76, 78syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ ((𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) = 𝐢 ↔ (𝐢(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) = 𝑠))
80 1zzd 12541 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ 1 ∈ β„€)
8110ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
8271, 81zmulcld 12620 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑃) ∈ β„€)
8319, 11, 77mulgdir 18915 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (1 ∈ β„€ ∧ (π‘˜ Β· 𝑃) ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) = ((1 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)((π‘˜ Β· 𝑃) Β· 𝐢)))
8467, 80, 82, 76, 83syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) = ((1 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)((π‘˜ Β· 𝑃) Β· 𝐢)))
8519, 11mulg1 18890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐢 ∈ 𝐡 β†’ (1 Β· 𝐢) = 𝐢)
8676, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (1 Β· 𝐢) = 𝐢)
8719, 11mulgass 18920 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘˜ Β· 𝑃) Β· 𝐢) = (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))
8867, 71, 81, 76, 87syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ ((π‘˜ Β· 𝑃) Β· 𝐢) = (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))
8986, 88oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ ((1 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)((π‘˜ Β· 𝑃) Β· 𝐢)) = (𝐢(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))))
9084, 89eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) = (𝐢(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))))
9190eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) = 𝑠 ↔ (𝐢(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) = 𝑠))
9279, 91bitr4d 282 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ ((𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) = 𝐢 ↔ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) = 𝑠))
93 eqcom 2744 . . . . . . . . . 10 (𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) ↔ (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) = 𝐢)
94 eqcom 2744 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ↔ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) = 𝑠)
9592, 93, 943bitr4g 314 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) ↔ 𝑠 = ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)))
9695rexbidva 3174 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)𝑠 = ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)))
97 risset 3224 . . . . . . . 8 (((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) ↔ βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)𝑠 = ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢))
9896, 97bitr4di 289 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) ↔ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
9998rexbidva 3174 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
10066, 99bitrid 283 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ 𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
10153, 65, 1003bitrd 305 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)})) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
10235, 101sylibd 238 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β¬ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
10338adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
10475adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
105 1z 12540 . . . . . . 7 1 ∈ β„€
106 id 22 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ π‘˜ ∈ β„€)
107 zmulcl 12559 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ Β· 𝑃) ∈ β„€)
108106, 10, 107syl2anr 598 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘˜ Β· 𝑃) ∈ β„€)
109 zaddcl 12550 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„€ ∧ (π‘˜ Β· 𝑃) ∈ β„€) β†’ (1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) ∈ β„€)
110105, 108, 109sylancr 588 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) ∈ β„€)
11119, 20odcl 19325 . . . . . . . . 9 (𝐢 ∈ 𝐡 β†’ (π‘‚β€˜πΆ) ∈ β„•0)
112104, 111syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘‚β€˜πΆ) ∈ β„•0)
113112nn0zd 12532 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘‚β€˜πΆ) ∈ β„€)
114 hashcl 14263 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•0)
11525, 114syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•0)
116115nn0zd 12532 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„€)
117116adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„€)
118110, 117gcdcomd 16401 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) gcd (β™―β€˜π΅)) = ((β™―β€˜π΅) gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))))
11919pgphash 19396 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜π΅) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))))
1206, 25, 119syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))))
121120adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (β™―β€˜π΅) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))))
122121oveq1d 7377 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((β™―β€˜π΅) gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))) gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))))
123 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
12410adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
125 1zzd 12541 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ 1 ∈ β„€)
126 gcdaddm 16412 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝑃 gcd 1) = (𝑃 gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))))
127123, 124, 125, 126syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝑃 gcd 1) = (𝑃 gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))))
128 gcd1 16415 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ β„€ β†’ (𝑃 gcd 1) = 1)
129124, 128syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝑃 gcd 1) = 1)
130127, 129eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝑃 gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))) = 1)
13119grpbn0 18786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
13238, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
133 hashnncl 14273 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π΅) ∈ β„• ↔ 𝐡 β‰  βˆ…))
13425, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π΅) ∈ β„• ↔ 𝐡 β‰  βˆ…))
135132, 134mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•)
1368, 135pccld 16729 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅)) ∈ β„•0)
137136adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅)) ∈ β„•0)
138 rpexp1i 16606 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ β„€ ∧ (1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) ∈ β„€ ∧ (𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅)) ∈ β„•0) β†’ ((𝑃 gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))) = 1 β†’ ((𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))) gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))) = 1))
139124, 110, 137, 138syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((𝑃 gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))) = 1 β†’ ((𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))) gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))) = 1))
140130, 139mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))) gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))) = 1)
141118, 122, 1403eqtrd 2781 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) gcd (β™―β€˜π΅)) = 1)
14219, 20oddvds2 19355 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐡 ∈ Fin ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‚β€˜πΆ) βˆ₯ (β™―β€˜π΅))
14338, 25, 75, 142syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΆ) βˆ₯ (β™―β€˜π΅))
144143adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘‚β€˜πΆ) βˆ₯ (β™―β€˜π΅))
145 rpdvds 16543 . . . . . . 7 ((((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) ∈ β„€ ∧ (π‘‚β€˜πΆ) ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π΅) ∈ β„€) ∧ (((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) gcd (β™―β€˜π΅)) = 1 ∧ (π‘‚β€˜πΆ) βˆ₯ (β™―β€˜π΅))) β†’ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) gcd (π‘‚β€˜πΆ)) = 1)
146110, 113, 117, 141, 144, 145syl32anc 1379 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) gcd (π‘‚β€˜πΆ)) = 1)
14719, 20, 11odbezout 19347 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐢 ∈ 𝐡 ∧ (1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) ∈ β„€) ∧ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) gcd (π‘‚β€˜πΆ)) = 1) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) = 𝐢)
148103, 104, 110, 146, 147syl31anc 1374 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) = 𝐢)
14949ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
150 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
15111subgmulgcl 18948 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
1521513expia 1122 . . . . . . . 8 (((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ (π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
153149, 150, 152syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ (π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
154 eleq1 2826 . . . . . . . 8 ((π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) = 𝐢 β†’ ((π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) ↔ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
155154imbi2d 341 . . . . . . 7 ((π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) = 𝐢 β†’ ((((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ (π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) ↔ (((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))))
156153, 155syl5ibcom 244 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) = 𝐢 β†’ (((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))))
157156rexlimdva 3153 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) = 𝐢 β†’ (((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))))
158148, 157mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
159158rexlimdva 3153 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
160102, 159syld 47 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
1612, 160mt3d 148 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915   ⊊ wpss 3916  βˆ…c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ran crn 5639  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β†‘cexp 13974  β™―chash 14237   βˆ₯ cdvds 16143   gcd cgcd 16381  β„™cprime 16554   pCnt cpc 16715  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  0gc0g 17328  Moorecmre 17469  mrClscmrc 17470  ACScacs 17472  Grpcgrp 18755  -gcsg 18757  .gcmg 18879  SubGrpcsubg 18929  odcod 19313  gExcgex 19314   pGrp cpgp 19315  LSSumclsm 19423  Abelcabl 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-eqg 18934  df-ga 19077  df-cntz 19104  df-od 19317  df-pgp 19319  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  19864
  Copyright terms: Public domain W3C validator