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Theorem pgpfac1lem2 18676
Description: Lemma for pgpfac1 18681. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z 0 = (0g𝐺)
pgpfac1.l = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au (𝜑𝐴𝑈)
pgpfac1.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
pgpfac1.mg · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem2 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,   𝑤,𝑃   𝑤,𝐺   𝑤,𝑈   𝑤,𝐶   𝑤,𝑆   𝑤,𝑊   𝜑,𝑤   𝑤, ·   𝑤,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐸(𝑤)   𝑂(𝑤)   0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem2
Dummy variables 𝑘 𝑠 𝑡 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
21eldifbd 3782 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))
31eldifad 3781 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑈)
43adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)) → 𝐶𝑈)
5 pgpfac1.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
7 pgpprm 18209 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
9 prmz 15607 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
11 pgpfac1.mg . . . . . . . . . . 11 · = (.g𝐺)
1211subgmulgcl 17809 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝑈) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝑈)
135, 10, 3, 12syl3anc 1483 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝑈)
1413adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝑈)
15 simpr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)) → ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊))
1614, 15eldifd 3780 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
17 pgpfac1.k . . . . . . . 8 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
18 pgpfac1.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
19 pgpfac1.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
20 pgpfac1.o . . . . . . . 8 𝑂 = (od‘𝐺)
21 pgpfac1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (gEx‘𝐺)
22 pgpfac1.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
23 pgpfac1.l . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝐺)
24 pgpfac1.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
25 pgpfac1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
26 pgpfac1.oe . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
27 pgpfac1.au . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑈)
28 pgpfac1.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
29 pgpfac1.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
30 pgpfac1.ss . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
31 pgpfac1.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
3217, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 6, 24, 25, 26, 5, 27, 28, 29, 30, 31pgpfac1lem1 18675 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})) = 𝑈)
3316, 32syldan 581 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)) → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})) = 𝑈)
344, 33eleqtrrd 2888 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)) → 𝐶 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})))
3534ex 399 . . . 4 (𝜑 → (¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}))))
36 eqid 2806 . . . . . 6 (-g𝐺) = (-g𝐺)
37 ablgrp 18399 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3824, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
3919subgacs 17831 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
4140acsmred 16521 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
4219subgss 17797 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈𝐵)
435, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝐵)
4443, 27sseldd 3799 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
4517mrcsncl 16477 . . . . . . . . 9 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
4641, 44, 45syl2anc 575 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
4718, 46syl5eqel 2889 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4823lsmsubg2 18463 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
4924, 47, 28, 48syl3anc 1483 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
5043, 13sseldd 3799 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
5117mrcsncl 16477 . . . . . . 7 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
5241, 50, 51syl2anc 575 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
5336, 23, 49, 52lsmelvalm 18267 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)∃𝑡 ∈ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡)))
54 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))
5519, 11, 54, 17cycsubg2 17833 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
5638, 50, 55syl2anc 575 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
5756rexeqdv 3334 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑡 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡)))
58 ovex 6906 . . . . . . . . 9 (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ V
5958rgenw 3112 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ V
60 oveq2 6882 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) → (𝑠(-g𝐺)𝑡) = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
6160eqeq2d 2816 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) → (𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡) ↔ 𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
6254, 61rexrnmpt 6591 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ V → (∃𝑡 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
6359, 62mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
6457, 63bitrd 270 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
6564rexbidv 3240 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)∃𝑡 ∈ (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})𝐶 = (𝑠(-g𝐺)𝑡) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))))
66 rexcom 3287 . . . . . 6 (∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
6738ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → 𝐺 ∈ Grp)
6830, 43sstrd 3808 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝐵)
6968adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝐵)
7069sselda 3798 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → 𝑠𝐵)
71 simplr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → 𝑘 ∈ ℤ)
7250ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
7319, 11mulgcl 17763 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
7467, 71, 72, 73syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
7543, 3sseldd 3799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶𝐵)
7675ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → 𝐶𝐵)
77 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝐺) = (+g𝐺)
7819, 77, 36grpsubadd 17708 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑠𝐵 ∧ (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)) ∈ 𝐵𝐶𝐵)) → ((𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝐶 ↔ (𝐶(+g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝑠))
7967, 70, 74, 76, 78syl13anc 1484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → ((𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝐶 ↔ (𝐶(+g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝑠))
80 1zzd 11674 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → 1 ∈ ℤ)
8110ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → 𝑃 ∈ ℤ)
8271, 81zmulcld 11754 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ)
8319, 11, 77mulgdir 17776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (1 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐵)) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = ((1 · 𝐶)(+g𝐺)((𝑘 · 𝑃) · 𝐶)))
8467, 80, 82, 76, 83syl13anc 1484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = ((1 · 𝐶)(+g𝐺)((𝑘 · 𝑃) · 𝐶)))
8519, 11mulg1 17753 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶𝐵 → (1 · 𝐶) = 𝐶)
8676, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
8719, 11mulgass 17781 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐵)) → ((𝑘 · 𝑃) · 𝐶) = (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))
8867, 71, 81, 76, 87syl13anc 1484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → ((𝑘 · 𝑃) · 𝐶) = (𝑘 · (𝑃 · 𝐶)))
8986, 88oveq12d 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → ((1 · 𝐶)(+g𝐺)((𝑘 · 𝑃) · 𝐶)) = (𝐶(+g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
9084, 89eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = (𝐶(+g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))))
9190eqeq1d 2808 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = 𝑠 ↔ (𝐶(+g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝑠))
9279, 91bitr4d 273 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → ((𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝐶 ↔ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = 𝑠))
93 eqcom 2813 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) = 𝐶)
94 eqcom 2813 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ↔ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) = 𝑠)
9592, 93, 943bitr4g 305 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ 𝑠 = ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)))
9695rexbidva 3237 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)𝑠 = ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)))
97 risset 3250 . . . . . . . 8 (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)𝑠 = ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶))
9896, 97syl6bbr 280 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)))
9998rexbidva 3237 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)))
10066, 99syl5bb 274 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ (𝑆 𝑊)∃𝑘 ∈ ℤ 𝐶 = (𝑠(-g𝐺)(𝑘 · (𝑃 · 𝐶))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)))
10153, 65, 1003bitrd 296 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{(𝑃 · 𝐶)})) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)))
10235, 101sylibd 230 . . 3 (𝜑 → (¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)))
10338adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
10475adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶𝐵)
105 1z 11673 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
106 id 22 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℤ)
107 zmulcl 11692 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ)
108106, 10, 107syl2anr 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ)
109 zaddcl 11683 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ) → (1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ)
110105, 108, 109sylancr 577 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ)
11119, 20odcl 18156 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐵 → (𝑂𝐶) ∈ ℕ0)
112104, 111syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑂𝐶) ∈ ℕ0)
113112nn0zd 11746 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑂𝐶) ∈ ℤ)
114 hashcl 13365 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
11525, 114syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
116115nn0zd 11746 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
117116adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
118 gcdcom 15454 . . . . . . . . 9 (((1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐵) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
119110, 117, 118syl2anc 575 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐵) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
12019pgphash 18223 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 pGrp 𝐺𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
1216, 25, 120syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
122121adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
123122oveq1d 6889 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐵) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
124 simpr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
12510adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
126 1zzd 11674 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
127 gcdaddm 15465 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 1) = (𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
128124, 125, 126, 127syl3anc 1483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 1) = (𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))))
129 gcd1 15468 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 gcd 1) = 1)
130125, 129syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 1) = 1)
131128, 130eqtr3d 2842 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1)
13219grpbn0 17656 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
13338, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
134 hashnncl 13375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
13525, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
136133, 135mpbird 248 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
1378, 136pccld 15772 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
138137adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
139 rpexp1i 15650 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0) → ((𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1))
140125, 110, 138, 139syl3anc 1483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1))
141131, 140mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (1 + (𝑘 · 𝑃))) = 1)
142119, 123, 1413eqtrd 2844 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (♯‘𝐵)) = 1)
14319, 20oddvds2 18184 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐶𝐵) → (𝑂𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
14438, 25, 75, 143syl3anc 1483 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
145144adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑂𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
146 rpdvds 15592 . . . . . . 7 ((((1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐶) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) ∧ (((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (♯‘𝐵)) = 1 ∧ (𝑂𝐶) ∥ (♯‘𝐵))) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (𝑂𝐶)) = 1)
147110, 113, 117, 142, 145, 146syl32anc 1490 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (𝑂𝐶)) = 1)
14819, 20, 11odbezout 18176 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶𝐵 ∧ (1 + (𝑘 · 𝑃)) ∈ ℤ) ∧ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) gcd (𝑂𝐶)) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶)
149103, 104, 110, 147, 148syl31anc 1485 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶)
15049ad2antrr 708 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
151 simpr 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
15211subgmulgcl 17809 . . . . . . . . 9 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 𝑊))
1531523expia 1143 . . . . . . . 8 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 𝑊)))
154150, 151, 153syl2anc 575 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 𝑊)))
155 eleq1 2873 . . . . . . . 8 ((𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶 → ((𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 𝑊) ↔ 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
156155imbi2d 331 . . . . . . 7 ((𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶 → ((((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) ∈ (𝑆 𝑊)) ↔ (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))))
157154, 156syl5ibcom 236 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶 → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))))
158157rexlimdva 3219 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶)) = 𝐶 → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))))
159149, 158mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
160159rexlimdva 3219 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ((1 + (𝑘 · 𝑃)) · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
161102, 160syld 47 . 2 (𝜑 → (¬ (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
1622, 161mt3d 142 1 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  wrex 3097  Vcvv 3391  cdif 3766  cin 3768  wss 3769  wpss 3770  c0 4116  {csn 4370   class class class wbr 4844  cmpt 4923  ran crn 5312  cfv 6101  (class class class)co 6874  Fincfn 8192  1c1 10222   + caddc 10224   · cmul 10226  cn 11305  0cn0 11559  cz 11643  cexp 13083  chash 13337  cdvds 15203   gcd cgcd 15435  cprime 15603   pCnt cpc 15758  Basecbs 16068  +gcplusg 16153  0gc0g 16305  Moorecmre 16447  mrClscmrc 16448  ACScacs 16450  Grpcgrp 17627  -gcsg 17629  .gcmg 17745  SubGrpcsubg 17790  odcod 18145  gExcgex 18146   pGrp cpgp 18147  LSSumclsm 18250  Abelcabl 18395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-disj 4813  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-omul 7801  df-er 7979  df-ec 7981  df-qs 7985  df-map 8094  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-sup 8587  df-inf 8588  df-oi 8654  df-card 9048  df-acn 9051  df-cda 9275  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-n0 11560  df-xnn0 11630  df-z 11644  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-fl 12817  df-mod 12893  df-seq 13025  df-exp 13084  df-fac 13281  df-bc 13310  df-hash 13338  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-clim 14442  df-sum 14640  df-dvds 15204  df-gcd 15436  df-prm 15604  df-pc 15759  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-0g 16307  df-mre 16451  df-mrc 16452  df-acs 16454  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-submnd 17541  df-grp 17630  df-minusg 17631  df-sbg 17632  df-mulg 17746  df-subg 17793  df-eqg 17795  df-ga 17924  df-cntz 17951  df-od 18149  df-pgp 18151  df-lsm 18252  df-cmn 18396  df-abl 18397
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  18679
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