MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfac1lem2 20016
Description: Lemma for pgpfac1 20021. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.s 𝑆 = (πΎβ€˜{𝐴})
pgpfac1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
pgpfac1.o 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
pgpfac1.e 𝐸 = (gExβ€˜πΊ)
pgpfac1.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
pgpfac1.l βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
pgpfac1.p (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π΄) = 𝐸)
pgpfac1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.au (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
pgpfac1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.i (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ π‘Š) = { 0 })
pgpfac1.ss (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† π‘ˆ)
pgpfac1.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑀 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀))
pgpfac1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
pgpfac1.mg Β· = (.gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem2 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐴   𝑀, βŠ•   𝑀,𝑃   𝑀,𝐺   𝑀,π‘ˆ   𝑀,𝐢   𝑀,𝑆   𝑀,π‘Š   πœ‘,𝑀   𝑀, Β·   𝑀,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑀)   𝐸(𝑀)   𝑂(𝑀)   0 (𝑀)

Proof of Theorem pgpfac1lem2
Dummy variables π‘˜ 𝑠 𝑑 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
21eldifbd 3957 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
31eldifad 3956 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
43adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
5 pgpfac1.u . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
6 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
7 pgpprm 19532 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 pGrp 𝐺 β†’ 𝑃 ∈ β„™)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
9 prmz 16631 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
11 pgpfac1.mg . . . . . . . . . . 11 Β· = (.gβ€˜πΊ)
1211subgmulgcl 19078 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ π‘ˆ)
135, 10, 3, 12syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ π‘ˆ)
1413adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ π‘ˆ)
15 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ Β¬ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
1614, 15eldifd 3955 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
17 pgpfac1.k . . . . . . . 8 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
18 pgpfac1.s . . . . . . . 8 𝑆 = (πΎβ€˜{𝐴})
19 pgpfac1.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
20 pgpfac1.o . . . . . . . 8 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
21 pgpfac1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (gExβ€˜πΊ)
22 pgpfac1.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜πΊ)
23 pgpfac1.l . . . . . . . 8 βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
24 pgpfac1.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
25 pgpfac1.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
26 pgpfac1.oe . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π΄) = 𝐸)
27 pgpfac1.au . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
28 pgpfac1.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
29 pgpfac1.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ π‘Š) = { 0 })
30 pgpfac1.ss . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† π‘ˆ)
31 pgpfac1.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑀 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀))
3217, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 6, 24, 25, 26, 5, 27, 28, 29, 30, 31pgpfac1lem1 20015 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)})) = π‘ˆ)
3316, 32syldan 590 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)})) = π‘ˆ)
344, 33eleqtrrd 2831 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ 𝐢 ∈ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)})))
3534ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)}))))
36 eqid 2727 . . . . . 6 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
37 ablgrp 19724 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
3824, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
3919subgacs 19100 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
4140acsmred 17621 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
4219subgss 19066 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
435, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
4443, 27sseldd 3979 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
4517mrcsncl 17577 . . . . . . . . 9 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
4641, 44, 45syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
4718, 46eqeltrid 2832 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
4823lsmsubg2 19798 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
4924, 47, 28, 48syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
5043, 13sseldd 3979 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡)
5117mrcsncl 17577 . . . . . . 7 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
5241, 50, 51syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
5336, 23, 49, 52lsmelvalm 19590 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)})) ↔ βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)βˆƒπ‘‘ ∈ (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)})𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)𝑑)))
54 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) = (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))
5519, 11, 54, 17cycsubg2 19149 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)}) = ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))))
5638, 50, 55syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)}) = ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))))
5756rexeqdv 3321 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)})𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)𝑑) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)𝑑)))
58 ovex 7447 . . . . . . . . 9 (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)) ∈ V
5958rgenw 3060 . . . . . . . 8 βˆ€π‘˜ ∈ β„€ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)) ∈ V
60 oveq2 7422 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)) β†’ (𝑠(-gβ€˜πΊ)𝑑) = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))))
6160eqeq2d 2738 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)) β†’ (𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)𝑑) ↔ 𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))))
6254, 61rexrnmptw 7099 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ β„€ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)) ∈ V β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)𝑑) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ 𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))))
6359, 62mp1i 13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)𝑑) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ 𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))))
6457, 63bitrd 279 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)})𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)𝑑) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ 𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))))
6564rexbidv 3173 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)βˆƒπ‘‘ ∈ (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)})𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)𝑑) ↔ βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ 𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))))
66 rexcom 3282 . . . . . 6 (βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ 𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))))
6738ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
6830, 43sstrd 3988 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† 𝐡)
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† 𝐡)
7069sselda 3978 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐡)
71 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
7250ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡)
7319, 11mulgcl 19030 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)) ∈ 𝐡)
7467, 71, 72, 73syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)) ∈ 𝐡)
7543, 3sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
7675ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
77 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
7819, 77, 36grpsubadd 18968 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)) ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) = 𝐢 ↔ (𝐢(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) = 𝑠))
7967, 70, 74, 76, 78syl13anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ ((𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) = 𝐢 ↔ (𝐢(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) = 𝑠))
80 1zzd 12609 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ 1 ∈ β„€)
8110ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
8271, 81zmulcld 12688 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑃) ∈ β„€)
8319, 11, 77mulgdir 19045 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (1 ∈ β„€ ∧ (π‘˜ Β· 𝑃) ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) = ((1 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)((π‘˜ Β· 𝑃) Β· 𝐢)))
8467, 80, 82, 76, 83syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) = ((1 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)((π‘˜ Β· 𝑃) Β· 𝐢)))
8519, 11mulg1 19020 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐢 ∈ 𝐡 β†’ (1 Β· 𝐢) = 𝐢)
8676, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (1 Β· 𝐢) = 𝐢)
8719, 11mulgass 19050 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘˜ Β· 𝑃) Β· 𝐢) = (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))
8867, 71, 81, 76, 87syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ ((π‘˜ Β· 𝑃) Β· 𝐢) = (π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢)))
8986, 88oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ ((1 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)((π‘˜ Β· 𝑃) Β· 𝐢)) = (𝐢(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))))
9084, 89eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) = (𝐢(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))))
9190eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) = 𝑠 ↔ (𝐢(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) = 𝑠))
9279, 91bitr4d 282 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ ((𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) = 𝐢 ↔ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) = 𝑠))
93 eqcom 2734 . . . . . . . . . 10 (𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) ↔ (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) = 𝐢)
94 eqcom 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ↔ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) = 𝑠)
9592, 93, 943bitr4g 314 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) ↔ 𝑠 = ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)))
9695rexbidva 3171 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)𝑠 = ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)))
97 risset 3225 . . . . . . . 8 (((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) ↔ βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)𝑠 = ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢))
9896, 97bitr4di 289 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) ↔ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
9998rexbidva 3171 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
10066, 99bitrid 283 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘  ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ 𝐢 = (𝑠(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· (𝑃 Β· 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
10153, 65, 1003bitrd 305 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{(𝑃 Β· 𝐢)})) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
10235, 101sylibd 238 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β¬ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
10338adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
10475adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
105 1z 12608 . . . . . . 7 1 ∈ β„€
106 id 22 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ π‘˜ ∈ β„€)
107 zmulcl 12627 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ Β· 𝑃) ∈ β„€)
108106, 10, 107syl2anr 596 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘˜ Β· 𝑃) ∈ β„€)
109 zaddcl 12618 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„€ ∧ (π‘˜ Β· 𝑃) ∈ β„€) β†’ (1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) ∈ β„€)
110105, 108, 109sylancr 586 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) ∈ β„€)
11119, 20odcl 19475 . . . . . . . . 9 (𝐢 ∈ 𝐡 β†’ (π‘‚β€˜πΆ) ∈ β„•0)
112104, 111syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘‚β€˜πΆ) ∈ β„•0)
113112nn0zd 12600 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘‚β€˜πΆ) ∈ β„€)
114 hashcl 14333 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•0)
11525, 114syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•0)
116115nn0zd 12600 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„€)
117116adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„€)
118110, 117gcdcomd 16474 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) gcd (β™―β€˜π΅)) = ((β™―β€˜π΅) gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))))
11919pgphash 19546 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜π΅) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))))
1206, 25, 119syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))))
121120adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (β™―β€˜π΅) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))))
122121oveq1d 7429 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((β™―β€˜π΅) gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))) gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))))
123 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
12410adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
125 1zzd 12609 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ 1 ∈ β„€)
126 gcdaddm 16485 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝑃 gcd 1) = (𝑃 gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))))
127123, 124, 125, 126syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝑃 gcd 1) = (𝑃 gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))))
128 gcd1 16488 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ β„€ β†’ (𝑃 gcd 1) = 1)
129124, 128syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝑃 gcd 1) = 1)
130127, 129eqtr3d 2769 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝑃 gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))) = 1)
13119grpbn0 18908 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
13238, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
133 hashnncl 14343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π΅) ∈ β„• ↔ 𝐡 β‰  βˆ…))
13425, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π΅) ∈ β„• ↔ 𝐡 β‰  βˆ…))
135132, 134mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•)
1368, 135pccld 16804 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅)) ∈ β„•0)
137136adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅)) ∈ β„•0)
138 rpexp1i 16680 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ β„€ ∧ (1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) ∈ β„€ ∧ (𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅)) ∈ β„•0) β†’ ((𝑃 gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))) = 1 β†’ ((𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))) gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))) = 1))
139124, 110, 137, 138syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((𝑃 gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))) = 1 β†’ ((𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))) gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))) = 1))
140130, 139mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))) gcd (1 + (π‘˜ Β· 𝑃))) = 1)
141118, 122, 1403eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) gcd (β™―β€˜π΅)) = 1)
14219, 20oddvds2 19505 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐡 ∈ Fin ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‚β€˜πΆ) βˆ₯ (β™―β€˜π΅))
14338, 25, 75, 142syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΆ) βˆ₯ (β™―β€˜π΅))
144143adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘‚β€˜πΆ) βˆ₯ (β™―β€˜π΅))
145 rpdvds 16616 . . . . . . 7 ((((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) ∈ β„€ ∧ (π‘‚β€˜πΆ) ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π΅) ∈ β„€) ∧ (((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) gcd (β™―β€˜π΅)) = 1 ∧ (π‘‚β€˜πΆ) βˆ₯ (β™―β€˜π΅))) β†’ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) gcd (π‘‚β€˜πΆ)) = 1)
146110, 113, 117, 141, 144, 145syl32anc 1376 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) gcd (π‘‚β€˜πΆ)) = 1)
14719, 20, 11odbezout 19497 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐢 ∈ 𝐡 ∧ (1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) ∈ β„€) ∧ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) gcd (π‘‚β€˜πΆ)) = 1) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) = 𝐢)
148103, 104, 110, 146, 147syl31anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) = 𝐢)
14949ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
150 simpr 484 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
15111subgmulgcl 19078 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Ž ∈ β„€ ∧ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
1521513expia 1119 . . . . . . . 8 (((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ (π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
153149, 150, 152syl2anc 583 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ (((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ (π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
154 eleq1 2816 . . . . . . . 8 ((π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) = 𝐢 β†’ ((π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) ↔ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
155154imbi2d 340 . . . . . . 7 ((π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) = 𝐢 β†’ ((((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ (π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) ↔ (((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))))
156153, 155syl5ibcom 244 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘Ž ∈ β„€) β†’ ((π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) = 𝐢 β†’ (((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))))
157156rexlimdva 3150 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ (π‘Ž Β· ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢)) = 𝐢 β†’ (((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))))
158148, 157mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
159158rexlimdva 3150 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((1 + (π‘˜ Β· 𝑃)) Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
160102, 159syld 47 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
1612, 160mt3d 148 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944   ⊊ wpss 3945  βˆ…c0 4318  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ran crn 5673  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  1c1 11125   + caddc 11127   Β· cmul 11129  β„•cn 12228  β„•0cn0 12488  β„€cz 12574  β†‘cexp 14044  β™―chash 14307   βˆ₯ cdvds 16216   gcd cgcd 16454  β„™cprime 16627   pCnt cpc 16790  Basecbs 17165  +gcplusg 17218  0gc0g 17406  Moorecmre 17547  mrClscmrc 17548  ACScacs 17550  Grpcgrp 18875  -gcsg 18877  .gcmg 19007  SubGrpcsubg 19059  odcod 19463  gExcgex 19464   pGrp cpgp 19465  LSSumclsm 19573  Abelcabl 19720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-ec 8718  df-qs 8722  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-bc 14280  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-sum 15651  df-dvds 16217  df-gcd 16455  df-prm 16628  df-pc 16791  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-0g 17408  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-eqg 19064  df-ga 19225  df-cntz 19252  df-od 19467  df-pgp 19469  df-lsm 19575  df-cmn 19721  df-abl 19722
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  20019
  Copyright terms: Public domain W3C validator