MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfac1lem4 18685
Description: Lemma for pgpfac1 18687. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z 0 = (0g𝐺)
pgpfac1.l = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au (𝜑𝐴𝑈)
pgpfac1.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
pgpfac1.mg · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem4 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑡, 0   𝑤,𝑡,𝐴   𝑡, ,𝑤   𝑡,𝑃,𝑤   𝑡,𝐵   𝑡,𝐺,𝑤   𝑡,𝑈,𝑤   𝑡,𝐶,𝑤   𝑡,𝑆,𝑤   𝑡,𝑊,𝑤   𝜑,𝑡,𝑤   𝑡, · ,𝑤   𝑡,𝐾,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐸(𝑤,𝑡)   𝑂(𝑤,𝑡)   0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem4
Dummy variables 𝑘 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.k . . . . . . . 8 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
2 pgpfac1.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
3 pgpfac1.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 pgpfac1.o . . . . . . . 8 𝑂 = (od‘𝐺)
5 pgpfac1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (gEx‘𝐺)
6 pgpfac1.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
7 pgpfac1.l . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝐺)
8 pgpfac1.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
9 pgpfac1.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
10 pgpfac1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
11 pgpfac1.oe . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
12 pgpfac1.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13 pgpfac1.au . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑈)
14 pgpfac1.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15 pgpfac1.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
16 pgpfac1.ss . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
17 pgpfac1.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
18 pgpfac1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
19 pgpfac1.mg . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19pgpfac1lem2 18682 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊))
21 ablgrp 18405 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
229, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
233subgacs 17837 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
24 acsmre 16520 . . . . . . . . . . 11 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
263subgss 17803 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈𝐵)
2712, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝐵)
2827, 13sseldd 3753 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝐵)
291mrcsncl 16480 . . . . . . . . . 10 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3025, 28, 29syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
312, 30syl5eqel 2854 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
327lsmcom 18468 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 𝑊) = (𝑊 𝑆))
339, 31, 14, 32syl3anc 1476 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 𝑊) = (𝑊 𝑆))
3420, 33eleqtrd 2852 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑊 𝑆))
35 eqid 2771 . . . . . . 7 (-g𝐺) = (-g𝐺)
3635, 7, 14, 31lsmelvalm 18273 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑊 𝑆) ↔ ∃𝑤𝑊𝑠𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠)))
3734, 36mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑤𝑊𝑠𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠))
38 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))
393, 19, 38, 1cycsubg2 17839 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)))
4022, 28, 39syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)))
412, 40syl5eq 2817 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)))
4241rexeqdv 3294 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑠𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑠 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))(𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠)))
43 ovex 6823 . . . . . . . . 9 (𝑘 · 𝐴) ∈ V
4443rgenw 3073 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) ∈ V
45 oveq2 6801 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑘 · 𝐴) → (𝑤(-g𝐺)𝑠) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
4645eqeq2d 2781 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑘 · 𝐴) → ((𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
4738, 46rexrnmpt 6512 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) ∈ V → (∃𝑠 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))(𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
4844, 47ax-mp 5 . . . . . . 7 (∃𝑠 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))(𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
4942, 48syl6bb 276 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑠𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
5049rexbidv 3200 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑤𝑊𝑠𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑤𝑊𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
5137, 50mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑤𝑊𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
52 rexcom 3247 . . . 4 (∃𝑤𝑊𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑤𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
5351, 52sylib 208 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑤𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
5422ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → 𝐺 ∈ Grp)
553subgss 17803 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑊𝐵)
5614, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊𝐵)
5756adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑊𝐵)
5857sselda 3752 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → 𝑤𝐵)
59 simplr 752 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → 𝑘 ∈ ℤ)
6028ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → 𝐴𝐵)
613, 19mulgcl 17767 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) → (𝑘 · 𝐴) ∈ 𝐵)
6254, 59, 60, 61syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → (𝑘 · 𝐴) ∈ 𝐵)
63 pgpprm 18215 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ)
64 prmz 15596 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
658, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
6618eldifad 3735 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶𝑈)
6727, 66sseldd 3753 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶𝐵)
683, 19mulgcl 17767 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐵) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
6922, 65, 67, 68syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
7069ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
71 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝐺)
723, 71, 35grpsubadd 17711 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑘 · 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)) → ((𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃 · 𝐶) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = 𝑤))
7354, 58, 62, 70, 72syl13anc 1478 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → ((𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃 · 𝐶) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = 𝑤))
74 eqcom 2778 . . . . . . 7 ((𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃 · 𝐶))
75 eqcom 2778 . . . . . . 7 (𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = 𝑤)
7673, 74, 753bitr4g 303 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → ((𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ 𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
7776rexbidva 3197 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑤𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ∃𝑤𝑊 𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
78 risset 3210 . . . . 5 (((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊 ↔ ∃𝑤𝑊 𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
7977, 78syl6bbr 278 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑤𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊))
8079rexbidva 3197 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑤𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊))
8153, 80mpbid 222 . 2 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
828adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑃 pGrp 𝐺)
839adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐺 ∈ Abel)
8410adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐵 ∈ Fin)
8511adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → (𝑂𝐴) = 𝐸)
8612adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8713adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐴𝑈)
8814adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8915adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → (𝑆𝑊) = { 0 })
9016adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
9117adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
9218adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
93 simprl 754 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑘 ∈ ℤ)
94 simprr 756 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
95 eqid 2771 . . 3 (𝐶(+g𝐺)((𝑘 / 𝑃) · 𝐴)) = (𝐶(+g𝐺)((𝑘 / 𝑃) · 𝐴))
961, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 19, 93, 94, 95pgpfac1lem3 18684 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑈))
9781, 96rexlimddv 3183 1 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351  cdif 3720  cin 3722  wss 3723  wpss 3724  {csn 4316   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ran crn 5250  cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109   / cdiv 10886  cz 11579  cprime 15592  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  Moorecmre 16450  mrClscmrc 16451  ACScacs 16453  Grpcgrp 17630  -gcsg 17632  .gcmg 17748  SubGrpcsubg 17796  odcod 18151  gExcgex 18152   pGrp cpgp 18153  LSSumclsm 18256  Abelcabl 18401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-ec 7898  df-qs 7902  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-pc 15749  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-eqg 17801  df-ga 17930  df-cntz 17957  df-od 18155  df-gex 18156  df-pgp 18157  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem5  18686
  Copyright terms: Public domain W3C validator