MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfac1lem4 20019
Description: Lemma for pgpfac1 20021. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.s 𝑆 = (πΎβ€˜{𝐴})
pgpfac1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
pgpfac1.o 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
pgpfac1.e 𝐸 = (gExβ€˜πΊ)
pgpfac1.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
pgpfac1.l βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
pgpfac1.p (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π΄) = 𝐸)
pgpfac1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.au (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
pgpfac1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.i (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ π‘Š) = { 0 })
pgpfac1.ss (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† π‘ˆ)
pgpfac1.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑀 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀))
pgpfac1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
pgpfac1.mg Β· = (.gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑆 ∩ 𝑑) = { 0 } ∧ (𝑆 βŠ• 𝑑) = π‘ˆ))
Distinct variable groups:   𝑑, 0   𝑀,𝑑,𝐴   𝑑, βŠ• ,𝑀   𝑑,𝑃,𝑀   𝑑,𝐡   𝑑,𝐺,𝑀   𝑑,π‘ˆ,𝑀   𝑑,𝐢,𝑀   𝑑,𝑆,𝑀   𝑑,π‘Š,𝑀   πœ‘,𝑑,𝑀   𝑑, Β· ,𝑀   𝑑,𝐾,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑀)   𝐸(𝑀,𝑑)   𝑂(𝑀,𝑑)   0 (𝑀)

Proof of Theorem pgpfac1lem4
Dummy variables π‘˜ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.k . . . . . . . 8 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
2 pgpfac1.s . . . . . . . 8 𝑆 = (πΎβ€˜{𝐴})
3 pgpfac1.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
4 pgpfac1.o . . . . . . . 8 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
5 pgpfac1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (gExβ€˜πΊ)
6 pgpfac1.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜πΊ)
7 pgpfac1.l . . . . . . . 8 βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
8 pgpfac1.p . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
9 pgpfac1.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
10 pgpfac1.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
11 pgpfac1.oe . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π΄) = 𝐸)
12 pgpfac1.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
13 pgpfac1.au . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
14 pgpfac1.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
15 pgpfac1.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ π‘Š) = { 0 })
16 pgpfac1.ss . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† π‘ˆ)
17 pgpfac1.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑀 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀))
18 pgpfac1.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
19 pgpfac1.mg . . . . . . . 8 Β· = (.gβ€˜πΊ)
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19pgpfac1lem2 20016 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
21 ablgrp 19724 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
229, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
233subgacs 19100 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
24 acsmre 17617 . . . . . . . . . . 11 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
263subgss 19066 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
2712, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
2827, 13sseldd 3979 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
291mrcsncl 17577 . . . . . . . . . 10 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
3025, 28, 29syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
312, 30eqeltrid 2832 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
327lsmcom 19797 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) = (π‘Š βŠ• 𝑆))
339, 31, 14, 32syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) = (π‘Š βŠ• 𝑆))
3420, 33eleqtrd 2830 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (π‘Š βŠ• 𝑆))
35 eqid 2727 . . . . . . 7 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
3635, 7, 14, 31lsmelvalm 19590 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑃 Β· 𝐢) ∈ (π‘Š βŠ• 𝑆) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑠)))
3734, 36mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑠))
38 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· 𝐴)) = (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· 𝐴))
393, 19, 38, 1cycsubg2 19149 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) = ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· 𝐴)))
4022, 28, 39syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) = ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· 𝐴)))
412, 40eqtrid 2779 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 = ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· 𝐴)))
4241rexeqdv 3321 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑠) ↔ βˆƒπ‘  ∈ ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· 𝐴))(𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑠)))
43 ovex 7447 . . . . . . . . 9 (π‘˜ Β· 𝐴) ∈ V
4443rgenw 3060 . . . . . . . 8 βˆ€π‘˜ ∈ β„€ (π‘˜ Β· 𝐴) ∈ V
45 oveq2 7422 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (π‘˜ Β· 𝐴) β†’ (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑠) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)))
4645eqeq2d 2738 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (π‘˜ Β· 𝐴) β†’ ((𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑠) ↔ (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴))))
4738, 46rexrnmptw 7099 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ β„€ (π‘˜ Β· 𝐴) ∈ V β†’ (βˆƒπ‘  ∈ ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· 𝐴))(𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑠) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴))))
4844, 47ax-mp 5 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘  ∈ ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· 𝐴))(𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑠) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)))
4942, 48bitrdi 287 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑠) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴))))
5049rexbidv 3173 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑠) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴))))
5137, 50mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)))
52 rexcom 3282 . . . 4 (βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)))
5351, 52sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)))
5422ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
553subgss 19066 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘Š βŠ† 𝐡)
5614, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† 𝐡)
5756adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ π‘Š βŠ† 𝐡)
5857sselda 3978 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
59 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
6028ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
613, 19mulgcl 19030 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
6254, 59, 60, 61syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ (π‘˜ Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
63 pgpprm 19532 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 pGrp 𝐺 β†’ 𝑃 ∈ β„™)
64 prmz 16631 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
658, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
6618eldifad 3956 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
6727, 66sseldd 3979 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
683, 19mulgcl 19030 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡)
6922, 65, 67, 68syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡)
7069ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡)
71 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
723, 71, 35grpsubadd 18968 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ (π‘˜ Β· 𝐴) ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) = (𝑃 Β· 𝐢) ↔ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) = 𝑀))
7354, 58, 62, 70, 72syl13anc 1370 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) = (𝑃 Β· 𝐢) ↔ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) = 𝑀))
74 eqcom 2734 . . . . . . 7 ((𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ↔ (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) = (𝑃 Β· 𝐢))
75 eqcom 2734 . . . . . . 7 (𝑀 = ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ↔ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) = 𝑀)
7673, 74, 753bitr4g 314 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ↔ 𝑀 = ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴))))
7776rexbidva 3171 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š 𝑀 = ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴))))
78 risset 3225 . . . . 5 (((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š 𝑀 = ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)))
7977, 78bitr4di 289 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ↔ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š))
8079rexbidva 3171 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š))
8153, 80mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)
828adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
839adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ 𝐺 ∈ Abel)
8410adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ 𝐡 ∈ Fin)
8511adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ (π‘‚β€˜π΄) = 𝐸)
8612adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
8713adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
8814adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
8915adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ (𝑆 ∩ π‘Š) = { 0 })
9016adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† π‘ˆ)
9117adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑀 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀))
9218adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
93 simprl 770 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
94 simprr 772 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)
95 eqid 2727 . . 3 (𝐢(+gβ€˜πΊ)((π‘˜ / 𝑃) Β· 𝐴)) = (𝐢(+gβ€˜πΊ)((π‘˜ / 𝑃) Β· 𝐴))
961, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 19, 93, 94, 95pgpfac1lem3 20018 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑆 ∩ 𝑑) = { 0 } ∧ (𝑆 βŠ• 𝑑) = π‘ˆ))
9781, 96rexlimddv 3156 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑆 ∩ 𝑑) = { 0 } ∧ (𝑆 βŠ• 𝑑) = π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944   ⊊ wpss 3945  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ran crn 5673  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8953   / cdiv 11887  β„€cz 12574  β„™cprime 16627  Basecbs 17165  +gcplusg 17218  0gc0g 17406  Moorecmre 17547  mrClscmrc 17548  ACScacs 17550  Grpcgrp 18875  -gcsg 18877  .gcmg 19007  SubGrpcsubg 19059  odcod 19463  gExcgex 19464   pGrp cpgp 19465  LSSumclsm 19573  Abelcabl 19720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-ec 8718  df-qs 8722  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-bc 14280  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-sum 15651  df-dvds 16217  df-gcd 16455  df-prm 16628  df-pc 16791  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-0g 17408  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-eqg 19064  df-ga 19225  df-cntz 19252  df-od 19467  df-gex 19468  df-pgp 19469  df-lsm 19575  df-cmn 19721  df-abl 19722
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem5  20020
  Copyright terms: Public domain W3C validator