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Theorem pgpfac1lem4 20122
Description: Lemma for pgpfac1 20124. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z 0 = (0g𝐺)
pgpfac1.l = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au (𝜑𝐴𝑈)
pgpfac1.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
pgpfac1.mg · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem4 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑡, 0   𝑤,𝑡,𝐴   𝑡, ,𝑤   𝑡,𝑃,𝑤   𝑡,𝐵   𝑡,𝐺,𝑤   𝑡,𝑈,𝑤   𝑡,𝐶,𝑤   𝑡,𝑆,𝑤   𝑡,𝑊,𝑤   𝜑,𝑡,𝑤   𝑡, · ,𝑤   𝑡,𝐾,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐸(𝑤,𝑡)   𝑂(𝑤,𝑡)   0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem4
Dummy variables 𝑘 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.k . . . . . . . 8 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
2 pgpfac1.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
3 pgpfac1.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 pgpfac1.o . . . . . . . 8 𝑂 = (od‘𝐺)
5 pgpfac1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (gEx‘𝐺)
6 pgpfac1.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
7 pgpfac1.l . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝐺)
8 pgpfac1.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
9 pgpfac1.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
10 pgpfac1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
11 pgpfac1.oe . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
12 pgpfac1.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13 pgpfac1.au . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑈)
14 pgpfac1.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15 pgpfac1.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
16 pgpfac1.ss . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
17 pgpfac1.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
18 pgpfac1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
19 pgpfac1.mg . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19pgpfac1lem2 20119 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊))
21 ablgrp 19827 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
229, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
233subgacs 19201 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
24 acsmre 17710 . . . . . . . . . . 11 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
263subgss 19167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈𝐵)
2712, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝐵)
2827, 13sseldd 4009 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝐵)
291mrcsncl 17670 . . . . . . . . . 10 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3025, 28, 29syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
312, 30eqeltrid 2848 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
327lsmcom 19900 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 𝑊) = (𝑊 𝑆))
339, 31, 14, 32syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 𝑊) = (𝑊 𝑆))
3420, 33eleqtrd 2846 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑊 𝑆))
35 eqid 2740 . . . . . . 7 (-g𝐺) = (-g𝐺)
3635, 7, 14, 31lsmelvalm 19693 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑊 𝑆) ↔ ∃𝑤𝑊𝑠𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠)))
3734, 36mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑤𝑊𝑠𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠))
38 eqid 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))
393, 19, 38, 1cycsubg2 19250 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)))
4022, 28, 39syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)))
412, 40eqtrid 2792 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)))
4241rexeqdv 3335 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑠𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑠 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))(𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠)))
43 ovex 7481 . . . . . . . . 9 (𝑘 · 𝐴) ∈ V
4443rgenw 3071 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) ∈ V
45 oveq2 7456 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑘 · 𝐴) → (𝑤(-g𝐺)𝑠) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
4645eqeq2d 2751 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑘 · 𝐴) → ((𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
4738, 46rexrnmptw 7129 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) ∈ V → (∃𝑠 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))(𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
4844, 47ax-mp 5 . . . . . . 7 (∃𝑠 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))(𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
4942, 48bitrdi 287 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑠𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
5049rexbidv 3185 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑤𝑊𝑠𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑤𝑊𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
5137, 50mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑤𝑊𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
52 rexcom 3296 . . . 4 (∃𝑤𝑊𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑤𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
5351, 52sylib 218 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑤𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
5422ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → 𝐺 ∈ Grp)
553subgss 19167 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑊𝐵)
5614, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊𝐵)
5756adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑊𝐵)
5857sselda 4008 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → 𝑤𝐵)
59 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → 𝑘 ∈ ℤ)
6028ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → 𝐴𝐵)
613, 19mulgcl 19131 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) → (𝑘 · 𝐴) ∈ 𝐵)
6254, 59, 60, 61syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → (𝑘 · 𝐴) ∈ 𝐵)
63 pgpprm 19635 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ)
64 prmz 16722 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
658, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
6618eldifad 3988 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶𝑈)
6727, 66sseldd 4009 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶𝐵)
683, 19mulgcl 19131 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐵) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
6922, 65, 67, 68syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
7069ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
71 eqid 2740 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝐺)
723, 71, 35grpsubadd 19068 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑘 · 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)) → ((𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃 · 𝐶) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = 𝑤))
7354, 58, 62, 70, 72syl13anc 1372 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → ((𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃 · 𝐶) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = 𝑤))
74 eqcom 2747 . . . . . . 7 ((𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃 · 𝐶))
75 eqcom 2747 . . . . . . 7 (𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = 𝑤)
7673, 74, 753bitr4g 314 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → ((𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ 𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
7776rexbidva 3183 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑤𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ∃𝑤𝑊 𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
78 risset 3239 . . . . 5 (((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊 ↔ ∃𝑤𝑊 𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
7977, 78bitr4di 289 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑤𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊))
8079rexbidva 3183 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑤𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊))
8153, 80mpbid 232 . 2 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
828adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑃 pGrp 𝐺)
839adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐺 ∈ Abel)
8410adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐵 ∈ Fin)
8511adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → (𝑂𝐴) = 𝐸)
8612adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8713adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐴𝑈)
8814adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8915adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → (𝑆𝑊) = { 0 })
9016adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
9117adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
9218adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
93 simprl 770 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑘 ∈ ℤ)
94 simprr 772 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
95 eqid 2740 . . 3 (𝐶(+g𝐺)((𝑘 / 𝑃) · 𝐴)) = (𝐶(+g𝐺)((𝑘 / 𝑃) · 𝐴))
961, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 19, 93, 94, 95pgpfac1lem3 20121 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑈))
9781, 96rexlimddv 3167 1 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wral 3067  wrex 3076  Vcvv 3488  cdif 3973  cin 3975  wss 3976  wpss 3977  {csn 4648   class class class wbr 5166  cmpt 5249  ran crn 5701  cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003   / cdiv 11947  cz 12639  cprime 16718  Basecbs 17258  +gcplusg 17311  0gc0g 17499  Moorecmre 17640  mrClscmrc 17641  ACScacs 17643  Grpcgrp 18973  -gcsg 18975  .gcmg 19107  SubGrpcsubg 19160  odcod 19566  gExcgex 19567   pGrp cpgp 19568  LSSumclsm 19676  Abelcabl 19823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-pc 16884  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-eqg 19165  df-ga 19330  df-cntz 19357  df-od 19570  df-gex 19571  df-pgp 19572  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem5  20123
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