MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfac1lem4 19942
Description: Lemma for pgpfac1 19944. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.s 𝑆 = (πΎβ€˜{𝐴})
pgpfac1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
pgpfac1.o 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
pgpfac1.e 𝐸 = (gExβ€˜πΊ)
pgpfac1.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
pgpfac1.l βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
pgpfac1.p (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π΄) = 𝐸)
pgpfac1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.au (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
pgpfac1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.i (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ π‘Š) = { 0 })
pgpfac1.ss (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† π‘ˆ)
pgpfac1.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑀 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀))
pgpfac1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
pgpfac1.mg Β· = (.gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑆 ∩ 𝑑) = { 0 } ∧ (𝑆 βŠ• 𝑑) = π‘ˆ))
Distinct variable groups:   𝑑, 0   𝑀,𝑑,𝐴   𝑑, βŠ• ,𝑀   𝑑,𝑃,𝑀   𝑑,𝐡   𝑑,𝐺,𝑀   𝑑,π‘ˆ,𝑀   𝑑,𝐢,𝑀   𝑑,𝑆,𝑀   𝑑,π‘Š,𝑀   πœ‘,𝑑,𝑀   𝑑, Β· ,𝑀   𝑑,𝐾,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑀)   𝐸(𝑀,𝑑)   𝑂(𝑀,𝑑)   0 (𝑀)

Proof of Theorem pgpfac1lem4
Dummy variables π‘˜ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.k . . . . . . . 8 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
2 pgpfac1.s . . . . . . . 8 𝑆 = (πΎβ€˜{𝐴})
3 pgpfac1.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
4 pgpfac1.o . . . . . . . 8 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
5 pgpfac1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (gExβ€˜πΊ)
6 pgpfac1.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜πΊ)
7 pgpfac1.l . . . . . . . 8 βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
8 pgpfac1.p . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
9 pgpfac1.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
10 pgpfac1.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
11 pgpfac1.oe . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π΄) = 𝐸)
12 pgpfac1.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
13 pgpfac1.au . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
14 pgpfac1.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
15 pgpfac1.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ π‘Š) = { 0 })
16 pgpfac1.ss . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† π‘ˆ)
17 pgpfac1.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑀 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀))
18 pgpfac1.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
19 pgpfac1.mg . . . . . . . 8 Β· = (.gβ€˜πΊ)
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19pgpfac1lem2 19939 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
21 ablgrp 19647 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
229, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
233subgacs 19035 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
24 acsmre 17592 . . . . . . . . . . 11 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
263subgss 19001 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
2712, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
2827, 13sseldd 3982 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
291mrcsncl 17552 . . . . . . . . . 10 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
3025, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
312, 30eqeltrid 2837 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
327lsmcom 19720 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) = (π‘Š βŠ• 𝑆))
339, 31, 14, 32syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) = (π‘Š βŠ• 𝑆))
3420, 33eleqtrd 2835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ (π‘Š βŠ• 𝑆))
35 eqid 2732 . . . . . . 7 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
3635, 7, 14, 31lsmelvalm 19513 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑃 Β· 𝐢) ∈ (π‘Š βŠ• 𝑆) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑠)))
3734, 36mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑠))
38 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· 𝐴)) = (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· 𝐴))
393, 19, 38, 1cycsubg2 19081 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) = ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· 𝐴)))
4022, 28, 39syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) = ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· 𝐴)))
412, 40eqtrid 2784 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 = ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· 𝐴)))
4241rexeqdv 3326 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑠) ↔ βˆƒπ‘  ∈ ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· 𝐴))(𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑠)))
43 ovex 7438 . . . . . . . . 9 (π‘˜ Β· 𝐴) ∈ V
4443rgenw 3065 . . . . . . . 8 βˆ€π‘˜ ∈ β„€ (π‘˜ Β· 𝐴) ∈ V
45 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (π‘˜ Β· 𝐴) β†’ (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑠) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)))
4645eqeq2d 2743 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (π‘˜ Β· 𝐴) β†’ ((𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑠) ↔ (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴))))
4738, 46rexrnmptw 7093 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ β„€ (π‘˜ Β· 𝐴) ∈ V β†’ (βˆƒπ‘  ∈ ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· 𝐴))(𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑠) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴))))
4844, 47ax-mp 5 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘  ∈ ran (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (π‘˜ Β· 𝐴))(𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑠) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)))
4942, 48bitrdi 286 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑠) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴))))
5049rexbidv 3178 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑠) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴))))
5137, 50mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)))
52 rexcom 3287 . . . 4 (βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)))
5351, 52sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)))
5422ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
553subgss 19001 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘Š βŠ† 𝐡)
5614, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† 𝐡)
5756adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ π‘Š βŠ† 𝐡)
5857sselda 3981 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
59 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
6028ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
613, 19mulgcl 18965 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
6254, 59, 60, 61syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ (π‘˜ Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
63 pgpprm 19455 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 pGrp 𝐺 β†’ 𝑃 ∈ β„™)
64 prmz 16608 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
658, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
6618eldifad 3959 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
6727, 66sseldd 3982 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
683, 19mulgcl 18965 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡)
6922, 65, 67, 68syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡)
7069ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡)
71 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
723, 71, 35grpsubadd 18907 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ (π‘˜ Β· 𝐴) ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) = (𝑃 Β· 𝐢) ↔ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) = 𝑀))
7354, 58, 62, 70, 72syl13anc 1372 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) = (𝑃 Β· 𝐢) ↔ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) = 𝑀))
74 eqcom 2739 . . . . . . 7 ((𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ↔ (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) = (𝑃 Β· 𝐢))
75 eqcom 2739 . . . . . . 7 (𝑀 = ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ↔ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) = 𝑀)
7673, 74, 753bitr4g 313 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ↔ 𝑀 = ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴))))
7776rexbidva 3176 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š 𝑀 = ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴))))
78 risset 3230 . . . . 5 (((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š 𝑀 = ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)))
7977, 78bitr4di 288 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ↔ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š))
8079rexbidva 3176 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š (𝑃 Β· 𝐢) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š))
8153, 80mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)
828adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
839adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ 𝐺 ∈ Abel)
8410adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ 𝐡 ∈ Fin)
8511adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ (π‘‚β€˜π΄) = 𝐸)
8612adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
8713adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
8814adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
8915adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ (𝑆 ∩ π‘Š) = { 0 })
9016adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† π‘ˆ)
9117adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑀 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀))
9218adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
93 simprl 769 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
94 simprr 771 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)
95 eqid 2732 . . 3 (𝐢(+gβ€˜πΊ)((π‘˜ / 𝑃) Β· 𝐴)) = (𝐢(+gβ€˜πΊ)((π‘˜ / 𝑃) Β· 𝐴))
961, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 19, 93, 94, 95pgpfac1lem3 19941 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(π‘˜ Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑆 ∩ 𝑑) = { 0 } ∧ (𝑆 βŠ• 𝑑) = π‘ˆ))
9781, 96rexlimddv 3161 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑆 ∩ 𝑑) = { 0 } ∧ (𝑆 βŠ• 𝑑) = π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   ⊊ wpss 3948  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935   / cdiv 11867  β„€cz 12554  β„™cprime 16604  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  0gc0g 17381  Moorecmre 17522  mrClscmrc 17523  ACScacs 17525  Grpcgrp 18815  -gcsg 18817  .gcmg 18944  SubGrpcsubg 18994  odcod 19386  gExcgex 19387   pGrp cpgp 19388  LSSumclsm 19496  Abelcabl 19643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-pc 16766  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-eqg 18999  df-ga 19148  df-cntz 19175  df-od 19390  df-gex 19391  df-pgp 19392  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem5  19943
  Copyright terms: Public domain W3C validator