Theorem pgpfac1lem4 20181

Description: Lemma for pgpfac1 20183. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgpfac1.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s	⊢ 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pgpfac1.l	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
pgpfac1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss	⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤 ⊊ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑤) → ¬ (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
pgpfac1.mg	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgpfac1lem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑡, 0   𝑤,𝑡,𝐴   𝑡, ⊕ ,𝑤   𝑡,𝑃,𝑤   𝑡,𝐵   𝑡,𝐺,𝑤   𝑡,𝑈,𝑤   𝑡,𝐶,𝑤   𝑡,𝑆,𝑤   𝑡,𝑊,𝑤   𝜑,𝑡,𝑤   𝑡, · ,𝑤   𝑡,𝐾,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐸(𝑤, 𝑡)   𝑂(𝑤, 𝑡)   0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem4

Dummy variables 𝑘 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgpfac1.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
2		pgpfac1.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
3		pgpfac1.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		pgpfac1.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5		pgpfac1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
6		pgpfac1.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
7		pgpfac1.l	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
8		pgpfac1.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp 𝐺)
9		pgpfac1.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
10		pgpfac1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
11		pgpfac1.oe	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 𝐸)
12		pgpfac1.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13		pgpfac1.au	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
14		pgpfac1.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15		pgpfac1.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 })
16		pgpfac1.ss	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝑈)
17		pgpfac1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤 ⊊ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑤) → ¬ (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊊ 𝑤))
18		pgpfac1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
19		pgpfac1.mg	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	pgpfac1lem2 20178	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
21		ablgrp 19886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
22	9, 21	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
23	3	subgacs 19258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
24		acsmre 17733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
25	22, 23, 24	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
26	3	subgss 19224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
27	12, 26	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐵)
28	27, 13	sseldd 3941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
29	1	mrcsncl 17693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
30	25, 28, 29	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
31	2, 30	eqeltrid 2870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
32	7	lsmcom 19959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 ⊕ 𝑊) = (𝑊 ⊕ 𝑆))
33	9, 31, 14, 32	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) = (𝑊 ⊕ 𝑆))
34	20, 33	eleqtrd 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑊 ⊕ 𝑆))
35		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
36	35, 7, 14, 31	lsmelvalm 19752	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑊 ⊕ 𝑆) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠)))
37	34, 36	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠))
38		eqid 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))
39	3, 19, 38, 1	cycsubg2 19312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)))
40	22, 28, 39	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)))
41	2, 40	eqtrid 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)))
42	41	rexeqdv 3327	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑠 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))(𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠)))
43		ovex 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 · 𝐴) ∈ V
44	43	rgenw 3086	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) ∈ V
45		oveq2 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝑘 · 𝐴) → (𝑤(-g‘𝐺)𝑠) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
46	45	eqeq2d 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑘 · 𝐴) → ((𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠) ↔ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
47	38, 46	rexrnmptw 7097	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) ∈ V → (∃𝑠 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))(𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
48	44, 47	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))(𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
49	42, 48	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
50	49	rexbidv 3192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
51	37, 50	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
52		rexcom 3297	. . . 4 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ 𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
53	51, 52	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ 𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
54	22	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → 𝐺 ∈ Grp)
55	3	subgss 19224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑊 ⊆ 𝐵)
56	14, 55	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ 𝐵)
57	56	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑊 ⊆ 𝐵)
58	57	sselda 3940	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → 𝑤 ∈ 𝐵)
59		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ ℤ)
60	28	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝐵)
61	3, 19	mulgcl 19188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑘 · 𝐴) ∈ 𝐵)
62	54, 59, 60, 61	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → (𝑘 · 𝐴) ∈ 𝐵)
63		pgpprm 19694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 → 𝑃 ∈ ℙ)
64		prmz 16758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
65	8, 63, 64	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
66	18	eldifad 3920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
67	27, 66	sseldd 3941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
68	3, 19	mulgcl 19188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
69	22, 65, 67, 68	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
70	69	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
71		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
72	3, 71, 35	grpsubadd 19125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑘 · 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)) → ((𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃 · 𝐶) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = 𝑤))
73	54, 58, 62, 70, 72	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → ((𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃 · 𝐶) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = 𝑤))
74		eqcom 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃 · 𝐶))
75		eqcom 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = 𝑤)
76	73, 74, 75	3bitr4g 317	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → ((𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ 𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
77	76	rexbidva 3190	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑤 ∈ 𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
78		risset 3243	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
79	77, 78	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑤 ∈ 𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊))
80	79	rexbidva 3190	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ 𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊))
81	53, 80	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
82	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑃 pGrp 𝐺)
83	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐺 ∈ Abel)
84	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐵 ∈ Fin)
85	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → (𝑂‘𝐴) = 𝐸)
86	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
87	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐴 ∈ 𝑈)
88	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
89	15	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 })
90	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝑈)
91	17	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤 ⊊ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑤) → ¬ (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊊ 𝑤))
92	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
93		simprl 783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑘 ∈ ℤ)
94		simprr 785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
95		eqid 2766	. . 3 ⊢ (𝐶(+g‘𝐺)((𝑘 / 𝑃) · 𝐴)) = (𝐶(+g‘𝐺)((𝑘 / 𝑃) · 𝐴))
96	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 19, 93, 94, 95	pgpfac1lem3 20180	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈))
97	81, 96	rexlimddv 3175	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908   ⊊ wpss 3909  {csn 4594   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  ran crn 5667  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Fincfn 8952   / cdiv 11889  ℤcz 12609  ℙcprime 16754  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  0_gc0g 17517  Moorecmre 17659  mrClscmrc 17660  ACScacs 17662  Grpcgrp 19031  -_gcsg 19033  ._gcmg 19164  SubGrpcsubg 19217  odcod 19625  gExcgex 19626   pGrp cpgp 19627  LSSumclsm 19735  Abelcabl 19882

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-disj 5082  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-sum 15764  df-dvds 16336  df-gcd 16578  df-prm 16755  df-pc 16922  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-0g 17519  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-eqg 19222  df-ga 19391  df-cntz 19418  df-od 19629  df-gex 19630  df-pgp 19631  df-lsm 19737  df-cmn 19883  df-abl 19884

This theorem is used by:  pgpfac1lem5  20182