Theorem pgpfac1lem4 20055

Description: Lemma for pgpfac1 20057. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgpfac1.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s	⊢ 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pgpfac1.l	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
pgpfac1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss	⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤 ⊊ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑤) → ¬ (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
pgpfac1.mg	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgpfac1lem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑡, 0   𝑤,𝑡,𝐴   𝑡, ⊕ ,𝑤   𝑡,𝑃,𝑤   𝑡,𝐵   𝑡,𝐺,𝑤   𝑡,𝑈,𝑤   𝑡,𝐶,𝑤   𝑡,𝑆,𝑤   𝑡,𝑊,𝑤   𝜑,𝑡,𝑤   𝑡, · ,𝑤   𝑡,𝐾,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐸(𝑤,𝑡)   𝑂(𝑤,𝑡)   0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem4

Dummy variables 𝑘 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgpfac1.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
2		pgpfac1.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
3		pgpfac1.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		pgpfac1.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5		pgpfac1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
6		pgpfac1.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
7		pgpfac1.l	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
8		pgpfac1.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp 𝐺)
9		pgpfac1.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
10		pgpfac1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
11		pgpfac1.oe	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 𝐸)
12		pgpfac1.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13		pgpfac1.au	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
14		pgpfac1.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15		pgpfac1.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 })
16		pgpfac1.ss	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝑈)
17		pgpfac1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤 ⊊ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑤) → ¬ (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊊ 𝑤))
18		pgpfac1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
19		pgpfac1.mg	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	pgpfac1lem2 20052	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
21		ablgrp 19760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
22	9, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
23	3	subgacs 19136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
24		acsmre 17618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
25	22, 23, 24	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
26	3	subgss 19103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
27	12, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐵)
28	27, 13	sseldd 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
29	1	mrcsncl 17578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
30	25, 28, 29	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
31	2, 30	eqeltrid 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
32	7	lsmcom 19833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 ⊕ 𝑊) = (𝑊 ⊕ 𝑆))
33	9, 31, 14, 32	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) = (𝑊 ⊕ 𝑆))
34	20, 33	eleqtrd 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑊 ⊕ 𝑆))
35		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
36	35, 7, 14, 31	lsmelvalm 19626	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑊 ⊕ 𝑆) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠)))
37	34, 36	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠))
38		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))
39	3, 19, 38, 1	cycsubg2 19185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)))
40	22, 28, 39	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)))
41	2, 40	eqtrid 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)))
42	41	rexeqdv 3296	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑠 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))(𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠)))
43		ovex 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 · 𝐴) ∈ V
44	43	rgenw 3055	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) ∈ V
45		oveq2 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝑘 · 𝐴) → (𝑤(-g‘𝐺)𝑠) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
46	45	eqeq2d 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑘 · 𝐴) → ((𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠) ↔ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
47	38, 46	rexrnmptw 7047	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) ∈ V → (∃𝑠 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))(𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
48	44, 47	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))(𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
49	42, 48	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
50	49	rexbidv 3161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
51	37, 50	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
52		rexcom 3266	. . . 4 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ 𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
53	51, 52	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ 𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
54	22	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → 𝐺 ∈ Grp)
55	3	subgss 19103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑊 ⊆ 𝐵)
56	14, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ 𝐵)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑊 ⊆ 𝐵)
58	57	sselda 3921	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → 𝑤 ∈ 𝐵)
59		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ ℤ)
60	28	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝐵)
61	3, 19	mulgcl 19067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑘 · 𝐴) ∈ 𝐵)
62	54, 59, 60, 61	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → (𝑘 · 𝐴) ∈ 𝐵)
63		pgpprm 19568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 → 𝑃 ∈ ℙ)
64		prmz 16644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
65	8, 63, 64	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
66	18	eldifad 3901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
67	27, 66	sseldd 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
68	3, 19	mulgcl 19067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
69	22, 65, 67, 68	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
70	69	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
71		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
72	3, 71, 35	grpsubadd 19004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑘 · 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)) → ((𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃 · 𝐶) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = 𝑤))
73	54, 58, 62, 70, 72	syl13anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → ((𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃 · 𝐶) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = 𝑤))
74		eqcom 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃 · 𝐶))
75		eqcom 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = 𝑤)
76	73, 74, 75	3bitr4g 314	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → ((𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ 𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
77	76	rexbidva 3159	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑤 ∈ 𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
78		risset 3212	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
79	77, 78	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑤 ∈ 𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊))
80	79	rexbidva 3159	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ 𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊))
81	53, 80	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
82	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑃 pGrp 𝐺)
83	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐺 ∈ Abel)
84	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐵 ∈ Fin)
85	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → (𝑂‘𝐴) = 𝐸)
86	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
87	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐴 ∈ 𝑈)
88	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
89	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 })
90	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝑈)
91	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤 ⊊ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑤) → ¬ (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊊ 𝑤))
92	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
93		simprl 771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑘 ∈ ℤ)
94		simprr 773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
95		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝐶(+g‘𝐺)((𝑘 / 𝑃) · 𝐴)) = (𝐶(+g‘𝐺)((𝑘 / 𝑃) · 𝐴))
96	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 19, 93, 94, 95	pgpfac1lem3 20054	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈))
97	81, 96	rexlimddv 3144	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889   ⊊ wpss 3890  {csn 4567   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ran crn 5632  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893   / cdiv 11807  ℤcz 12524  ℙcprime 16640  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Moorecmre 17544  mrClscmrc 17545  ACScacs 17547  Grpcgrp 18909  -_gcsg 18911  ._gcmg 19043  SubGrpcsubg 19096  odcod 19499  gExcgex 19500   pGrp cpgp 19501  LSSumclsm 19609  Abelcabl 19756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641  df-pc 16808  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-eqg 19101  df-ga 19265  df-cntz 19292  df-od 19503  df-gex 19504  df-pgp 19505  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758

This theorem is referenced by:  pgpfac1lem5  20056