Theorem pgpfac1lem4 20046

Description: Lemma for pgpfac1 20048. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgpfac1.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s	⊢ 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pgpfac1.l	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
pgpfac1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss	⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤 ⊊ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑤) → ¬ (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
pgpfac1.mg	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgpfac1lem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑡, 0   𝑤,𝑡,𝐴   𝑡, ⊕ ,𝑤   𝑡,𝑃,𝑤   𝑡,𝐵   𝑡,𝐺,𝑤   𝑡,𝑈,𝑤   𝑡,𝐶,𝑤   𝑡,𝑆,𝑤   𝑡,𝑊,𝑤   𝜑,𝑡,𝑤   𝑡, · ,𝑤   𝑡,𝐾,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐸(𝑤,𝑡)   𝑂(𝑤,𝑡)   0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem4

Dummy variables 𝑘 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgpfac1.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
2		pgpfac1.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
3		pgpfac1.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		pgpfac1.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5		pgpfac1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
6		pgpfac1.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
7		pgpfac1.l	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
8		pgpfac1.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp 𝐺)
9		pgpfac1.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
10		pgpfac1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
11		pgpfac1.oe	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 𝐸)
12		pgpfac1.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13		pgpfac1.au	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
14		pgpfac1.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15		pgpfac1.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 })
16		pgpfac1.ss	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝑈)
17		pgpfac1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤 ⊊ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑤) → ¬ (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊊ 𝑤))
18		pgpfac1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
19		pgpfac1.mg	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	pgpfac1lem2 20043	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
21		ablgrp 19751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
22	9, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
23	3	subgacs 19127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
24		acsmre 17609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
25	22, 23, 24	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
26	3	subgss 19094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
27	12, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐵)
28	27, 13	sseldd 3923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
29	1	mrcsncl 17569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
30	25, 28, 29	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
31	2, 30	eqeltrid 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
32	7	lsmcom 19824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 ⊕ 𝑊) = (𝑊 ⊕ 𝑆))
33	9, 31, 14, 32	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) = (𝑊 ⊕ 𝑆))
34	20, 33	eleqtrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑊 ⊕ 𝑆))
35		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
36	35, 7, 14, 31	lsmelvalm 19617	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑊 ⊕ 𝑆) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠)))
37	34, 36	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠))
38		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))
39	3, 19, 38, 1	cycsubg2 19176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)))
40	22, 28, 39	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)))
41	2, 40	eqtrid 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)))
42	41	rexeqdv 3297	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑠 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))(𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠)))
43		ovex 7393	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 · 𝐴) ∈ V
44	43	rgenw 3056	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) ∈ V
45		oveq2 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝑘 · 𝐴) → (𝑤(-g‘𝐺)𝑠) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
46	45	eqeq2d 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑘 · 𝐴) → ((𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠) ↔ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
47	38, 46	rexrnmptw 7041	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) ∈ V → (∃𝑠 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))(𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
48	44, 47	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))(𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
49	42, 48	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
50	49	rexbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
51	37, 50	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
52		rexcom 3267	. . . 4 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ 𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
53	51, 52	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ 𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
54	22	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → 𝐺 ∈ Grp)
55	3	subgss 19094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑊 ⊆ 𝐵)
56	14, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ 𝐵)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑊 ⊆ 𝐵)
58	57	sselda 3922	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → 𝑤 ∈ 𝐵)
59		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ ℤ)
60	28	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝐵)
61	3, 19	mulgcl 19058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑘 · 𝐴) ∈ 𝐵)
62	54, 59, 60, 61	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → (𝑘 · 𝐴) ∈ 𝐵)
63		pgpprm 19559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 → 𝑃 ∈ ℙ)
64		prmz 16635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
65	8, 63, 64	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
66	18	eldifad 3902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
67	27, 66	sseldd 3923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
68	3, 19	mulgcl 19058	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
69	22, 65, 67, 68	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
70	69	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
71		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
72	3, 71, 35	grpsubadd 18995	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑘 · 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)) → ((𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃 · 𝐶) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = 𝑤))
73	54, 58, 62, 70, 72	syl13anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → ((𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃 · 𝐶) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = 𝑤))
74		eqcom 2744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃 · 𝐶))
75		eqcom 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = 𝑤)
76	73, 74, 75	3bitr4g 314	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) → ((𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ 𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
77	76	rexbidva 3160	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑤 ∈ 𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
78		risset 3213	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
79	77, 78	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑤 ∈ 𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊))
80	79	rexbidva 3160	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ 𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊))
81	53, 80	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
82	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑃 pGrp 𝐺)
83	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐺 ∈ Abel)
84	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐵 ∈ Fin)
85	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → (𝑂‘𝐴) = 𝐸)
86	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
87	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐴 ∈ 𝑈)
88	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
89	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 })
90	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝑈)
91	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤 ⊊ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑤) → ¬ (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊊ 𝑤))
92	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
93		simprl 771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑘 ∈ ℤ)
94		simprr 773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
95		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐶(+g‘𝐺)((𝑘 / 𝑃) · 𝐴)) = (𝐶(+g‘𝐺)((𝑘 / 𝑃) · 𝐴))
96	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 19, 93, 94, 95	pgpfac1lem3 20045	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈))
97	81, 96	rexlimddv 3145	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   ⊊ wpss 3891  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886   / cdiv 11798  ℤcz 12515  ℙcprime 16631  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  0_gc0g 17393  Moorecmre 17535  mrClscmrc 17536  ACScacs 17538  Grpcgrp 18900  -_gcsg 18902  ._gcmg 19034  SubGrpcsubg 19087  odcod 19490  gExcgex 19491   pGrp cpgp 19492  LSSumclsm 19600  Abelcabl 19747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-ec 8638  df-qs 8642  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-prm 16632  df-pc 16799  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-eqg 19092  df-ga 19256  df-cntz 19283  df-od 19494  df-gex 19495  df-pgp 19496  df-lsm 19602  df-cmn 19748  df-abl 19749

This theorem is referenced by:  pgpfac1lem5  20047