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Theorem pgpfac1lem4 19196
Description: Lemma for pgpfac1 19198. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z 0 = (0g𝐺)
pgpfac1.l = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au (𝜑𝐴𝑈)
pgpfac1.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
pgpfac1.mg · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem4 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑡, 0   𝑤,𝑡,𝐴   𝑡, ,𝑤   𝑡,𝑃,𝑤   𝑡,𝐵   𝑡,𝐺,𝑤   𝑡,𝑈,𝑤   𝑡,𝐶,𝑤   𝑡,𝑆,𝑤   𝑡,𝑊,𝑤   𝜑,𝑡,𝑤   𝑡, · ,𝑤   𝑡,𝐾,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐸(𝑤,𝑡)   𝑂(𝑤,𝑡)   0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem4
Dummy variables 𝑘 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.k . . . . . . . 8 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
2 pgpfac1.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
3 pgpfac1.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 pgpfac1.o . . . . . . . 8 𝑂 = (od‘𝐺)
5 pgpfac1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (gEx‘𝐺)
6 pgpfac1.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
7 pgpfac1.l . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝐺)
8 pgpfac1.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
9 pgpfac1.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
10 pgpfac1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
11 pgpfac1.oe . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
12 pgpfac1.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13 pgpfac1.au . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑈)
14 pgpfac1.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15 pgpfac1.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
16 pgpfac1.ss . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
17 pgpfac1.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
18 pgpfac1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
19 pgpfac1.mg . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19pgpfac1lem2 19193 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊))
21 ablgrp 18906 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
229, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
233subgacs 18308 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
24 acsmre 16918 . . . . . . . . . . 11 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
263subgss 18275 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈𝐵)
2712, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝐵)
2827, 13sseldd 3919 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝐵)
291mrcsncl 16878 . . . . . . . . . 10 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3025, 28, 29syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
312, 30eqeltrid 2897 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
327lsmcom 18974 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 𝑊) = (𝑊 𝑆))
339, 31, 14, 32syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 𝑊) = (𝑊 𝑆))
3420, 33eleqtrd 2895 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑊 𝑆))
35 eqid 2801 . . . . . . 7 (-g𝐺) = (-g𝐺)
3635, 7, 14, 31lsmelvalm 18771 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑊 𝑆) ↔ ∃𝑤𝑊𝑠𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠)))
3734, 36mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑤𝑊𝑠𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠))
38 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))
393, 19, 38, 1cycsubg2 18348 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)))
4022, 28, 39syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)))
412, 40syl5eq 2848 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)))
4241rexeqdv 3368 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑠𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑠 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))(𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠)))
43 ovex 7172 . . . . . . . . 9 (𝑘 · 𝐴) ∈ V
4443rgenw 3121 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) ∈ V
45 oveq2 7147 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑘 · 𝐴) → (𝑤(-g𝐺)𝑠) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
4645eqeq2d 2812 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑘 · 𝐴) → ((𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
4738, 46rexrnmptw 6842 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) ∈ V → (∃𝑠 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))(𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
4844, 47ax-mp 5 . . . . . . 7 (∃𝑠 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))(𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
4942, 48syl6bb 290 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑠𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
5049rexbidv 3259 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑤𝑊𝑠𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑤𝑊𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
5137, 50mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑤𝑊𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
52 rexcom 3311 . . . 4 (∃𝑤𝑊𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑤𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
5351, 52sylib 221 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑤𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
5422ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → 𝐺 ∈ Grp)
553subgss 18275 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑊𝐵)
5614, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊𝐵)
5756adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑊𝐵)
5857sselda 3918 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → 𝑤𝐵)
59 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → 𝑘 ∈ ℤ)
6028ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → 𝐴𝐵)
613, 19mulgcl 18240 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) → (𝑘 · 𝐴) ∈ 𝐵)
6254, 59, 60, 61syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → (𝑘 · 𝐴) ∈ 𝐵)
63 pgpprm 18713 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ)
64 prmz 16012 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
658, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
6618eldifad 3896 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶𝑈)
6727, 66sseldd 3919 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶𝐵)
683, 19mulgcl 18240 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐵) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
6922, 65, 67, 68syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
7069ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
71 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝐺)
723, 71, 35grpsubadd 18182 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑘 · 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)) → ((𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃 · 𝐶) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = 𝑤))
7354, 58, 62, 70, 72syl13anc 1369 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → ((𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃 · 𝐶) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = 𝑤))
74 eqcom 2808 . . . . . . 7 ((𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃 · 𝐶))
75 eqcom 2808 . . . . . . 7 (𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = 𝑤)
7673, 74, 753bitr4g 317 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → ((𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ 𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
7776rexbidva 3258 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑤𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ∃𝑤𝑊 𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
78 risset 3229 . . . . 5 (((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊 ↔ ∃𝑤𝑊 𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
7977, 78syl6bbr 292 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑤𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊))
8079rexbidva 3258 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑤𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊))
8153, 80mpbid 235 . 2 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
828adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑃 pGrp 𝐺)
839adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐺 ∈ Abel)
8410adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐵 ∈ Fin)
8511adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → (𝑂𝐴) = 𝐸)
8612adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8713adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐴𝑈)
8814adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8915adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → (𝑆𝑊) = { 0 })
9016adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
9117adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
9218adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
93 simprl 770 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑘 ∈ ℤ)
94 simprr 772 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
95 eqid 2801 . . 3 (𝐶(+g𝐺)((𝑘 / 𝑃) · 𝐴)) = (𝐶(+g𝐺)((𝑘 / 𝑃) · 𝐴))
961, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 19, 93, 94, 95pgpfac1lem3 19195 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑈))
9781, 96rexlimddv 3253 1 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  wrex 3110  Vcvv 3444  cdif 3881  cin 3883  wss 3884  wpss 3885  {csn 4528   class class class wbr 5033  cmpt 5113  ran crn 5524  cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496   / cdiv 11290  cz 11973  cprime 16008  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  0gc0g 16708  Moorecmre 16848  mrClscmrc 16849  ACScacs 16851  Grpcgrp 18098  -gcsg 18100  .gcmg 18219  SubGrpcsubg 18268  odcod 18647  gExcgex 18648   pGrp cpgp 18649  LSSumclsm 18754  Abelcabl 18902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-dvds 15603  df-gcd 15837  df-prm 16009  df-pc 16167  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-eqg 18273  df-ga 18415  df-cntz 18442  df-od 18651  df-gex 18652  df-pgp 18653  df-lsm 18756  df-cmn 18903  df-abl 18904
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem5  19197
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