MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfaclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfaclem1 18676
Description: Lemma for pgpfac 18679. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac.c 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
pgpfac.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac.a (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
pgpfac.h 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
pgpfac.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
pgpfac.o 𝑂 = (od‘𝐻)
pgpfac.e 𝐸 = (gEx‘𝐻)
pgpfac.0 0 = (0g𝐻)
pgpfac.l = (LSSum‘𝐻)
pgpfac.1 (𝜑𝐸 ≠ 1)
pgpfac.x (𝜑𝑋𝑈)
pgpfac.oe (𝜑 → (𝑂𝑋) = 𝐸)
pgpfac.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
pgpfac.i (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
pgpfac.s (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
pgpfac.2 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐶)
pgpfac.4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
pgpfac.5 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝑊)
pgpfac.t 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)
Assertion
Ref Expression
pgpfaclem1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐶   𝑠,𝑟,𝑡,𝐺   𝐾,𝑟,𝑠   𝜑,𝑡   𝐵,𝑠,𝑡   𝑈,𝑟,𝑠,𝑡   𝑊,𝑠,𝑡   𝑋,𝑟,𝑠   𝑇,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠,𝑟)   𝐵(𝑟)   𝐶(𝑟)   𝑃(𝑡,𝑠,𝑟)   (𝑡,𝑠,𝑟)   𝑆(𝑡,𝑠,𝑟)   𝑇(𝑡,𝑟)   𝐸(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐾(𝑡)   𝑂(𝑡,𝑠,𝑟)   𝑊(𝑟)   𝑋(𝑡)   0 (𝑡,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem pgpfaclem1
StepHypRef Expression
1 pgpfac.t . . 3 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)
2 pgpfac.2 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐶)
3 pgpfac.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 pgpfac.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
54subggrp 17793 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
63, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
7 eqid 2802 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
87subgacs 17825 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)))
9 acsmre 16511 . . . . . . . 8 ((SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)) → (SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)))
106, 8, 93syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)))
11 pgpfac.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑈)
124subgbas 17794 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 = (Base‘𝐻))
133, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐻))
1411, 13eleqtrd 2883 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
15 pgpfac.k . . . . . . . 8 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
1615mrcsncl 16471 . . . . . . 7 (((SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
1710, 14, 16syl2anc 575 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
184subsubg 17813 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
193, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
2017, 19mpbid 223 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
2120simpld 484 . . . 4 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
224oveq1i 6878 . . . . . . 7 (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) = ((𝐺s 𝑈) ↾s (𝐾‘{𝑋}))
2320simprd 485 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
24 ressabs 16145 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) → ((𝐺s 𝑈) ↾s (𝐾‘{𝑋})) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
253, 23, 24syl2anc 575 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺s 𝑈) ↾s (𝐾‘{𝑋})) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
2622, 25syl5eq 2848 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
277, 15cycsubgcyg2 18498 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp)
286, 14, 27syl2anc 575 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp)
2926, 28eqeltrrd 2882 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp)
30 pgpfac.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
31 pgpprm 18203 . . . . . . 7 (𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ)
3230, 31syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
33 subgpgp 18207 . . . . . . 7 ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 pGrp (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
3430, 21, 33syl2anc 575 . . . . . 6 (𝜑𝑃 pGrp (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
35 brelrng 5550 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp ∧ 𝑃 pGrp (𝐺s (𝐾‘{𝑋}))) → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ ran pGrp )
3632, 29, 34, 35syl3anc 1483 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ ran pGrp )
3729, 36elind 3991 . . . 4 (𝜑 → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp ))
38 oveq2 6876 . . . . . 6 (𝑟 = (𝐾‘{𝑋}) → (𝐺s 𝑟) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
3938eleq1d 2866 . . . . 5 (𝑟 = (𝐾‘{𝑋}) → ((𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp ) ↔ (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )))
40 pgpfac.c . . . . 5 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
4139, 40elrab2 3558 . . . 4 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )))
4221, 37, 41sylanbrc 574 . . 3 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ 𝐶)
431, 2, 42cats1cld 13818 . 2 (𝜑𝑇 ∈ Word 𝐶)
44 wrdf 13515 . . . . 5 (𝑇 ∈ Word 𝐶𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐶)
4543, 44syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐶)
46 ssrab2 3878 . . . . 5 {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} ⊆ (SubGrp‘𝐺)
4740, 46eqsstri 3826 . . . 4 𝐶 ⊆ (SubGrp‘𝐺)
48 fss 6263 . . . 4 ((𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐶𝐶 ⊆ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶(SubGrp‘𝐺))
4945, 47, 48sylancl 576 . . 3 (𝜑𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶(SubGrp‘𝐺))
50 fzodisj 12720 . . . 4 ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + 1))) = ∅
51 lencl 13529 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝐶 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
522, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
5352nn0zd 11740 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
54 fzosn 12757 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) ∈ ℤ → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + 1)) = {(♯‘𝑆)})
5553, 54syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + 1)) = {(♯‘𝑆)})
5655ineq2d 4007 . . . 4 (𝜑 → ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + 1))) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ {(♯‘𝑆)}))
5750, 56syl5reqr 2851 . . 3 (𝜑 → ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ {(♯‘𝑆)}) = ∅)
581fveq2i 6405 . . . . . . 7 (♯‘𝑇) = (♯‘(𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩))
5942s1cld 13592 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩ ∈ Word 𝐶)
60 ccatlen 13566 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐶 ∧ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩ ∈ Word 𝐶) → (♯‘(𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
612, 59, 60syl2anc 575 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
6258, 61syl5eq 2848 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑇) = ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
63 s1len 13595 . . . . . . 7 (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = 1
6463oveq2i 6879 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) = ((♯‘𝑆) + 1)
6562, 64syl6eq 2852 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑇) = ((♯‘𝑆) + 1))
6665oveq2d 6884 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑇)) = (0..^((♯‘𝑆) + 1)))
67 nn0uz 11934 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
6852, 67syl6eleq 2891 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
69 fzosplitsn 12794 . . . . 5 ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) → (0..^((♯‘𝑆) + 1)) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)}))
7068, 69syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0..^((♯‘𝑆) + 1)) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)}))
7166, 70eqtrd 2836 . . 3 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑇)) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)}))
72 eqid 2802 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
73 eqid 2802 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
74 pgpfac.4 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
75 cats1un 13693 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ 𝐶) → (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = (𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
762, 42, 75syl2anc 575 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = (𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
771, 76syl5eq 2848 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
7877reseq1d 5590 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = ((𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) ↾ (0..^(♯‘𝑆))))
79 wrdf 13515 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐶𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐶)
80 ffn 6250 . . . . . . 7 (𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐶𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
812, 79, 803syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
82 fzonel 12701 . . . . . 6 ¬ (♯‘𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝑆))
83 fsnunres 6673 . . . . . 6 ((𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)) ∧ ¬ (♯‘𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = 𝑆)
8481, 82, 83sylancl 576 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = 𝑆)
8578, 84eqtrd 2836 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = 𝑆)
8674, 85breqtrrd 4865 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))))
87 fvex 6415 . . . . . 6 (♯‘𝑆) ∈ V
88 dprdsn 18631 . . . . . 6 (((♯‘𝑆) ∈ V ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) = (𝐾‘{𝑋})))
8987, 21, 88sylancr 577 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) = (𝐾‘{𝑋})))
9089simpld 484 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩})
91 ffn 6250 . . . . . . 7 (𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐶𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
9243, 44, 913syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
93 ssun2 3970 . . . . . . . 8 {(♯‘𝑆)} ⊆ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)})
9487snss 4500 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑆) ∈ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)}) ↔ {(♯‘𝑆)} ⊆ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)}))
9593, 94mpbir 222 . . . . . . 7 (♯‘𝑆) ∈ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)})
9695, 71syl5eleqr 2888 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
97 fnressn 6643 . . . . . 6 ((𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}) = {⟨(♯‘𝑆), (𝑇‘(♯‘𝑆))⟩})
9892, 96, 97syl2anc 575 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}) = {⟨(♯‘𝑆), (𝑇‘(♯‘𝑆))⟩})
991fveq1i 6403 . . . . . . . . 9 (𝑇‘(♯‘𝑆)) = ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(♯‘𝑆))
10052nn0cnd 11613 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
101100addid2d 10516 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 + (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑆))
102101eqcomd 2808 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑆) = (0 + (♯‘𝑆)))
103102fveq2d 6406 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(♯‘𝑆)) = ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))))
10499, 103syl5eq 2848 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇‘(♯‘𝑆)) = ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))))
105 1nn 11310 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
106105a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
10763, 106syl5eqel 2885 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) ∈ ℕ)
108 lbfzo0 12726 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) ↔ (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) ∈ ℕ)
109107, 108sylibr 225 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
110 ccatval3 13570 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐶 ∧ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩ ∈ Word 𝐶 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩))) → ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0))
1112, 59, 109, 110syl3anc 1483 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0))
112 fvex 6415 . . . . . . . . 9 (𝐾‘{𝑋}) ∈ V
113 s1fv 13599 . . . . . . . . 9 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ V → (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0) = (𝐾‘{𝑋}))
114112, 113mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0) = (𝐾‘{𝑋}))
115104, 111, 1143eqtrd 2840 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇‘(♯‘𝑆)) = (𝐾‘{𝑋}))
116115opeq2d 4595 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨(♯‘𝑆), (𝑇‘(♯‘𝑆))⟩ = ⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩)
117116sneqd 4376 . . . . 5 (𝜑 → {⟨(♯‘𝑆), (𝑇‘(♯‘𝑆))⟩} = {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩})
11898, 117eqtrd 2836 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}) = {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩})
11990, 118breqtrrd 4865 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))
120 pgpfac.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
121 dprdsubg 18619 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
12286, 121syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
123 dprdsubg 18619 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
124119, 123syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
12572, 120, 122, 124ablcntzd 18455 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))))
126 pgpfac.i . . . 4 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
12785oveq2d 6884 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) = (𝐺 DProd 𝑆))
128 pgpfac.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝑊)
129127, 128eqtrd 2836 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) = 𝑊)
130118oveq2d 6884 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)})) = (𝐺 DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
13189simprd 485 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) = (𝐾‘{𝑋}))
132130, 131eqtrd 2836 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)})) = (𝐾‘{𝑋}))
133129, 132ineq12d 4008 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))) = (𝑊 ∩ (𝐾‘{𝑋})))
134 incom 3998 . . . . 5 (𝑊 ∩ (𝐾‘{𝑋})) = ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊)
135133, 134syl6eq 2852 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))) = ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊))
1364, 73subg0 17796 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) = (0g𝐻))
1373, 136syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝐺) = (0g𝐻))
138 pgpfac.0 . . . . . 6 0 = (0g𝐻)
139137, 138syl6eqr 2854 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝐺) = 0 )
140139sneqd 4376 . . . 4 (𝜑 → {(0g𝐺)} = { 0 })
141126, 135, 1403eqtr4d 2846 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))) = {(0g𝐺)})
14249, 57, 71, 72, 73, 86, 119, 125, 141dmdprdsplit2 18641 . 2 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
143 eqid 2802 . . . . 5 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
14449, 57, 71, 143, 142dprdsplit 18643 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))))
145129, 132oveq12d 6886 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))) = (𝑊(LSSum‘𝐺)(𝐾‘{𝑋})))
146129, 122eqeltrrd 2882 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
147143lsmcom 18456 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑊(LSSum‘𝐺)(𝐾‘{𝑋})) = ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊))
148120, 146, 21, 147syl3anc 1483 . . . 4 (𝜑 → (𝑊(LSSum‘𝐺)(𝐾‘{𝑋})) = ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊))
149144, 145, 1483eqtrd 2840 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊))
150 pgpfac.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
1517subgss 17791 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) → 𝑊 ⊆ (Base‘𝐻))
152150, 151syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ⊆ (Base‘𝐻))
153152, 13sseqtr4d 3833 . . . 4 (𝜑𝑊𝑈)
154 pgpfac.l . . . . 5 = (LSSum‘𝐻)
1554, 143, 154subglsm 18281 . . . 4 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈𝑊𝑈) → ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊) = ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊))
1563, 23, 153, 155syl3anc 1483 . . 3 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊) = ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊))
157 pgpfac.s . . 3 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
158149, 156, 1573eqtrd 2840 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈)
159 breq2 4841 . . . 4 (𝑠 = 𝑇 → (𝐺dom DProd 𝑠𝐺dom DProd 𝑇))
160 oveq2 6876 . . . . 5 (𝑠 = 𝑇 → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd 𝑇))
161160eqeq1d 2804 . . . 4 (𝑠 = 𝑇 → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈 ↔ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈))
162159, 161anbi12d 618 . . 3 (𝑠 = 𝑇 → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈) ↔ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈)))
163162rspcev 3498 . 2 ((𝑇 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈)) → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
16443, 142, 158, 163syl12anc 856 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2155  wne 2974  wral 3092  wrex 3093  {crab 3096  Vcvv 3387  cun 3761  cin 3762  wss 3763  wpss 3764  c0 4110  {csn 4364  cop 4370   class class class wbr 4837  dom cdm 5305  ran crn 5306  cres 5307   Fn wfn 6090  wf 6091  cfv 6095  (class class class)co 6868  Fincfn 8186  0cc0 10215  1c1 10216   + caddc 10218  cn 11299  0cn0 11553  cz 11637  cuz 11898  ..^cfzo 12683  chash 13331  Word cword 13496   ++ cconcat 13498  ⟨“cs1 13499  cprime 15597  Basecbs 16062  s cress 16063  0gc0g 16299  Moorecmre 16441  mrClscmrc 16442  ACScacs 16444  Grpcgrp 17621  SubGrpcsubg 17784  Cntzccntz 17943  odcod 18139  gExcgex 18140   pGrp cpgp 18141  LSSumclsm 18244  Abelcabl 18389  CycGrpccyg 18474   DProd cdprd 18588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-inf2 8779  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-int 4663  df-iun 4707  df-iin 4708  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-se 5265  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-isom 6104  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-of 7121  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-supp 7524  df-tpos 7581  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-1o 7790  df-oadd 7794  df-er 7973  df-map 8088  df-ixp 8140  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-fin 8190  df-fsupp 8509  df-sup 8581  df-inf 8582  df-oi 8648  df-card 9042  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-nn 11300  df-2 11358  df-n0 11554  df-z 11638  df-uz 11899  df-fz 12544  df-fzo 12684  df-seq 13019  df-hash 13332  df-word 13504  df-concat 13506  df-s1 13507  df-ndx 16065  df-slot 16066  df-base 16068  df-sets 16069  df-ress 16070  df-plusg 16160  df-0g 16301  df-gsum 16302  df-mre 16445  df-mrc 16446  df-acs 16448  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-mhm 17534  df-submnd 17535  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-sbg 17626  df-mulg 17740  df-subg 17787  df-ghm 17854  df-gim 17897  df-cntz 17945  df-oppg 17971  df-od 18143  df-pgp 18145  df-lsm 18246  df-cmn 18390  df-abl 18391  df-cyg 18475  df-dprd 18590
This theorem is referenced by:  pgpfaclem2  18677
  Copyright terms: Public domain W3C validator