MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfaclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfaclem1 19993
Description: Lemma for pgpfac 19996. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
pgpfac.c 𝐢 = {π‘Ÿ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ (𝐺 β†Ύs π‘Ÿ) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
pgpfac.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac.p (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac.f (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
pgpfac.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)(𝑑 ⊊ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑑)))
pgpfac.h 𝐻 = (𝐺 β†Ύs π‘ˆ)
pgpfac.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜π»))
pgpfac.o 𝑂 = (odβ€˜π»)
pgpfac.e 𝐸 = (gExβ€˜π»)
pgpfac.0 0 = (0gβ€˜π»)
pgpfac.l βŠ• = (LSSumβ€˜π»)
pgpfac.1 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  1)
pgpfac.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
pgpfac.oe (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = 𝐸)
pgpfac.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π»))
pgpfac.i (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∩ π‘Š) = { 0 })
pgpfac.s (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š) = π‘ˆ)
pgpfac.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Word 𝐢)
pgpfac.4 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
pgpfac.5 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑆) = π‘Š)
pgpfac.t 𝑇 = (𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)
Assertion
Ref Expression
pgpfaclem1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘ˆ))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,𝐢   𝑠,π‘Ÿ,𝑑,𝐺   𝐾,π‘Ÿ,𝑠   πœ‘,𝑑   𝐡,𝑠,𝑑   π‘ˆ,π‘Ÿ,𝑠,𝑑   π‘Š,𝑠,𝑑   𝑋,π‘Ÿ,𝑠   𝑇,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑠,π‘Ÿ)   𝐡(π‘Ÿ)   𝐢(π‘Ÿ)   𝑃(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   βŠ• (𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   𝑆(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   𝑇(𝑑,π‘Ÿ)   𝐸(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   𝐻(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   𝐾(𝑑)   𝑂(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   π‘Š(π‘Ÿ)   𝑋(𝑑)   0 (𝑑,𝑠,π‘Ÿ)

Proof of Theorem pgpfaclem1
StepHypRef Expression
1 pgpfac.t . . 3 𝑇 = (𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)
2 pgpfac.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Word 𝐢)
3 pgpfac.u . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
4 pgpfac.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝐺 β†Ύs π‘ˆ)
54subggrp 19046 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝐻 ∈ Grp)
63, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
7 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
87subgacs 19078 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜π») ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜π»)))
96, 8syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜π») ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜π»)))
109acsmred 17605 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜π») ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜π»)))
11 pgpfac.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
124subgbas 19047 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π»))
133, 12syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π»))
1411, 13eleqtrd 2834 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»))
15 pgpfac.k . . . . . . . 8 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜π»))
1615mrcsncl 17561 . . . . . . 7 (((SubGrpβ€˜π») ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜π»)) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»)) β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π»))
1710, 14, 16syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π»))
184subsubg 19066 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π») ↔ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)))
193, 18syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π») ↔ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)))
2017, 19mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ))
2120simpld 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
224oveq1i 7422 . . . . . . 7 (𝐻 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) = ((𝐺 β†Ύs π‘ˆ) β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋}))
2320simprd 495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
24 ressabs 17199 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ) β†’ ((𝐺 β†Ύs π‘ˆ) β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) = (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})))
253, 23, 24syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β†Ύs π‘ˆ) β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) = (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})))
2622, 25eqtrid 2783 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) = (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})))
277, 15cycsubgcyg2 19812 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»)) β†’ (𝐻 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ CycGrp)
286, 14, 27syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ CycGrp)
2926, 28eqeltrrd 2833 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ CycGrp)
30 pgpfac.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
31 pgpprm 19503 . . . . . . 7 (𝑃 pGrp 𝐺 β†’ 𝑃 ∈ β„™)
3230, 31syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
33 subgpgp 19507 . . . . . . 7 ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝑃 pGrp (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})))
3430, 21, 33syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})))
35 brelrng 5941 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ CycGrp ∧ 𝑃 pGrp (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋}))) β†’ (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ ran pGrp )
3632, 29, 34, 35syl3anc 1370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ ran pGrp )
3729, 36elind 4195 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp ))
38 oveq2 7420 . . . . . 6 (π‘Ÿ = (πΎβ€˜{𝑋}) β†’ (𝐺 β†Ύs π‘Ÿ) = (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})))
3938eleq1d 2817 . . . . 5 (π‘Ÿ = (πΎβ€˜{𝑋}) β†’ ((𝐺 β†Ύs π‘Ÿ) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp ) ↔ (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )))
40 pgpfac.c . . . . 5 𝐢 = {π‘Ÿ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ (𝐺 β†Ύs π‘Ÿ) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
4139, 40elrab2 3687 . . . 4 ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ 𝐢 ↔ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )))
4221, 37, 41sylanbrc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ 𝐢)
431, 2, 42cats1cld 14811 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Word 𝐢)
44 wrdf 14474 . . . . 5 (𝑇 ∈ Word 𝐢 β†’ 𝑇:(0..^(β™―β€˜π‘‡))⟢𝐢)
4543, 44syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇:(0..^(β™―β€˜π‘‡))⟢𝐢)
4640ssrab3 4081 . . . 4 𝐢 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ)
47 fss 6735 . . . 4 ((𝑇:(0..^(β™―β€˜π‘‡))⟢𝐢 ∧ 𝐢 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝑇:(0..^(β™―β€˜π‘‡))⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
4845, 46, 47sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇:(0..^(β™―β€˜π‘‡))⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
49 lencl 14488 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝐢 β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„•0)
502, 49syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„•0)
5150nn0zd 12589 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„€)
52 fzosn 13708 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘†) ∈ β„€ β†’ ((β™―β€˜π‘†)..^((β™―β€˜π‘†) + 1)) = {(β™―β€˜π‘†)})
5351, 52syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘†)..^((β™―β€˜π‘†) + 1)) = {(β™―β€˜π‘†)})
5453ineq2d 4213 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0..^(β™―β€˜π‘†)) ∩ ((β™―β€˜π‘†)..^((β™―β€˜π‘†) + 1))) = ((0..^(β™―β€˜π‘†)) ∩ {(β™―β€˜π‘†)}))
55 fzodisj 13671 . . . 4 ((0..^(β™―β€˜π‘†)) ∩ ((β™―β€˜π‘†)..^((β™―β€˜π‘†) + 1))) = βˆ…
5654, 55eqtr3di 2786 . . 3 (πœ‘ β†’ ((0..^(β™―β€˜π‘†)) ∩ {(β™―β€˜π‘†)}) = βˆ…)
571fveq2i 6895 . . . . . . 7 (β™―β€˜π‘‡) = (β™―β€˜(𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©))
5842s1cld 14558 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ© ∈ Word 𝐢)
59 ccatlen 14530 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐢 ∧ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ© ∈ Word 𝐢) β†’ (β™―β€˜(𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘†) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)))
602, 58, 59syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘†) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)))
6157, 60eqtrid 2783 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‡) = ((β™―β€˜π‘†) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)))
62 s1len 14561 . . . . . . 7 (β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©) = 1
6362oveq2i 7423 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘†) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘†) + 1)
6461, 63eqtrdi 2787 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‡) = ((β™―β€˜π‘†) + 1))
6564oveq2d 7428 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘‡)) = (0..^((β™―β€˜π‘†) + 1)))
66 nn0uz 12869 . . . . . 6 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
6750, 66eleqtrdi 2842 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
68 fzosplitsn 13745 . . . . 5 ((β™―β€˜π‘†) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (0..^((β™―β€˜π‘†) + 1)) = ((0..^(β™―β€˜π‘†)) βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)}))
6967, 68syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0..^((β™―β€˜π‘†) + 1)) = ((0..^(β™―β€˜π‘†)) βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)}))
7065, 69eqtrd 2771 . . 3 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘‡)) = ((0..^(β™―β€˜π‘†)) βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)}))
71 eqid 2731 . . 3 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
72 eqid 2731 . . 3 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
73 pgpfac.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
74 cats1un 14676 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐢 ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ 𝐢) β†’ (𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©) = (𝑆 βˆͺ {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}))
752, 42, 74syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©) = (𝑆 βˆͺ {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}))
761, 75eqtrid 2783 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (𝑆 βˆͺ {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}))
7776reseq1d 5981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))) = ((𝑆 βˆͺ {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))))
78 wrdfn 14483 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐢 β†’ 𝑆 Fn (0..^(β™―β€˜π‘†)))
792, 78syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 Fn (0..^(β™―β€˜π‘†)))
80 fzonel 13651 . . . . . 6 Β¬ (β™―β€˜π‘†) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘†))
81 fsnunres 7189 . . . . . 6 ((𝑆 Fn (0..^(β™―β€˜π‘†)) ∧ Β¬ (β™―β€˜π‘†) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘†))) β†’ ((𝑆 βˆͺ {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))) = 𝑆)
8279, 80, 81sylancl 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆 βˆͺ {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))) = 𝑆)
8377, 82eqtrd 2771 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))) = 𝑆)
8473, 83breqtrrd 5177 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))))
85 fvex 6905 . . . . . 6 (β™―β€˜π‘†) ∈ V
86 dprdsn 19948 . . . . . 6 (((β™―β€˜π‘†) ∈ V ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝐺dom DProd {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}) = (πΎβ€˜{𝑋})))
8785, 21, 86sylancr 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺dom DProd {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}) = (πΎβ€˜{𝑋})))
8887simpld 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩})
89 wrdfn 14483 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ Word 𝐢 β†’ 𝑇 Fn (0..^(β™―β€˜π‘‡)))
9043, 89syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 Fn (0..^(β™―β€˜π‘‡)))
91 ssun2 4174 . . . . . . . 8 {(β™―β€˜π‘†)} βŠ† ((0..^(β™―β€˜π‘†)) βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)})
9285snss 4790 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘†) ∈ ((0..^(β™―β€˜π‘†)) βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)}) ↔ {(β™―β€˜π‘†)} βŠ† ((0..^(β™―β€˜π‘†)) βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)}))
9391, 92mpbir 230 . . . . . . 7 (β™―β€˜π‘†) ∈ ((0..^(β™―β€˜π‘†)) βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)})
9493, 70eleqtrrid 2839 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‡)))
95 fnressn 7159 . . . . . 6 ((𝑇 Fn (0..^(β™―β€˜π‘‡)) ∧ (β™―β€˜π‘†) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‡))) β†’ (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}) = {⟨(β™―β€˜π‘†), (π‘‡β€˜(β™―β€˜π‘†))⟩})
9690, 94, 95syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}) = {⟨(β™―β€˜π‘†), (π‘‡β€˜(β™―β€˜π‘†))⟩})
971fveq1i 6893 . . . . . . . . 9 (π‘‡β€˜(β™―β€˜π‘†)) = ((𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘†))
9850nn0cnd 12539 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„‚)
9998addlidd 11420 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0 + (β™―β€˜π‘†)) = (β™―β€˜π‘†))
10099fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)β€˜(0 + (β™―β€˜π‘†))) = ((𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘†)))
10197, 100eqtr4id 2790 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜(β™―β€˜π‘†)) = ((𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)β€˜(0 + (β™―β€˜π‘†))))
102 1nn 12228 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„•
10362, 102eqeltri 2828 . . . . . . . . . . 11 (β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©) ∈ β„•
104 lbfzo0 13677 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)) ↔ (β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©) ∈ β„•)
105103, 104mpbir 230 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©))
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)))
107 ccatval3 14534 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐢 ∧ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ© ∈ Word 𝐢 ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©))) β†’ ((𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)β€˜(0 + (β™―β€˜π‘†))) = (βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©β€˜0))
1082, 58, 106, 107syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)β€˜(0 + (β™―β€˜π‘†))) = (βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©β€˜0))
109 fvex 6905 . . . . . . . . 9 (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ V
110 s1fv 14565 . . . . . . . . 9 ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ V β†’ (βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©β€˜0) = (πΎβ€˜{𝑋}))
111109, 110mp1i 13 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©β€˜0) = (πΎβ€˜{𝑋}))
112101, 108, 1113eqtrd 2775 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜(β™―β€˜π‘†)) = (πΎβ€˜{𝑋}))
113112opeq2d 4881 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ⟨(β™―β€˜π‘†), (π‘‡β€˜(β™―β€˜π‘†))⟩ = ⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩)
114113sneqd 4641 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {⟨(β™―β€˜π‘†), (π‘‡β€˜(β™―β€˜π‘†))⟩} = {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩})
11596, 114eqtrd 2771 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}) = {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩})
11688, 115breqtrrd 5177 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}))
117 pgpfac.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
118 dprdsubg 19936 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))) β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
11984, 118syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
120 dprdsubg 19936 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}) β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)})) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
121116, 120syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)})) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
12271, 117, 119, 121ablcntzd 19767 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}))))
123 pgpfac.i . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∩ π‘Š) = { 0 })
12483oveq2d 7428 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) = (𝐺 DProd 𝑆))
125 pgpfac.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑆) = π‘Š)
126124, 125eqtrd 2771 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) = π‘Š)
127115oveq2d 7428 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)})) = (𝐺 DProd {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}))
12887simprd 495 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}) = (πΎβ€˜{𝑋}))
129127, 128eqtrd 2771 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)})) = (πΎβ€˜{𝑋}))
130126, 129ineq12d 4214 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}))) = (π‘Š ∩ (πΎβ€˜{𝑋})))
131 incom 4202 . . . . 5 (π‘Š ∩ (πΎβ€˜{𝑋})) = ((πΎβ€˜{𝑋}) ∩ π‘Š)
132130, 131eqtrdi 2787 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}))) = ((πΎβ€˜{𝑋}) ∩ π‘Š))
1334, 72subg0 19049 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜π»))
1343, 133syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜π»))
135 pgpfac.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π»)
136134, 135eqtr4di 2789 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) = 0 )
137136sneqd 4641 . . . 4 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜πΊ)} = { 0 })
138123, 132, 1373eqtr4d 2781 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}))) = {(0gβ€˜πΊ)})
13948, 56, 70, 71, 72, 84, 116, 122, 138dmdprdsplit2 19958 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑇)
140 eqid 2731 . . . . 5 (LSSumβ€˜πΊ) = (LSSumβ€˜πΊ)
14148, 56, 70, 140, 139dprdsplit 19960 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑇) = ((𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}))))
142126, 129oveq12d 7430 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}))) = (π‘Š(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜{𝑋})))
143126, 119eqeltrrd 2833 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
144140lsmcom 19768 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (π‘Š(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜{𝑋})) = ((πΎβ€˜{𝑋})(LSSumβ€˜πΊ)π‘Š))
145117, 143, 21, 144syl3anc 1370 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜{𝑋})) = ((πΎβ€˜{𝑋})(LSSumβ€˜πΊ)π‘Š))
146141, 142, 1453eqtrd 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑇) = ((πΎβ€˜{𝑋})(LSSumβ€˜πΊ)π‘Š))
147 pgpfac.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π»))
1487subgss 19044 . . . . . 6 (π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π») β†’ π‘Š βŠ† (Baseβ€˜π»))
149147, 148syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† (Baseβ€˜π»))
150149, 13sseqtrrd 4024 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† π‘ˆ)
151 pgpfac.l . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜π»)
1524, 140, 151subglsm 19583 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ ∧ π‘Š βŠ† π‘ˆ) β†’ ((πΎβ€˜{𝑋})(LSSumβ€˜πΊ)π‘Š) = ((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š))
1533, 23, 150, 152syl3anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋})(LSSumβ€˜πΊ)π‘Š) = ((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š))
154 pgpfac.s . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š) = π‘ˆ)
155146, 153, 1543eqtrd 2775 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑇) = π‘ˆ)
156 breq2 5153 . . . 4 (𝑠 = 𝑇 β†’ (𝐺dom DProd 𝑠 ↔ 𝐺dom DProd 𝑇))
157 oveq2 7420 . . . . 5 (𝑠 = 𝑇 β†’ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd 𝑇))
158157eqeq1d 2733 . . . 4 (𝑠 = 𝑇 β†’ ((𝐺 DProd 𝑠) = π‘ˆ ↔ (𝐺 DProd 𝑇) = π‘ˆ))
159156, 158anbi12d 630 . . 3 (𝑠 = 𝑇 β†’ ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘ˆ) ↔ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = π‘ˆ)))
160159rspcev 3613 . 2 ((𝑇 ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘ˆ))
16143, 139, 155, 160syl12anc 834 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   ⊊ wpss 3950  βˆ…c0 4323  {csn 4629  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  ..^cfzo 13632  β™―chash 14295  Word cword 14469   ++ cconcat 14525  βŸ¨β€œcs1 14550  β„™cprime 16613  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  0gc0g 17390  Moorecmre 17531  mrClscmrc 17532  ACScacs 17534  Grpcgrp 18856  SubGrpcsubg 19037  Cntzccntz 19221  odcod 19434  gExcgex 19435   pGrp cpgp 19436  LSSumclsm 19544  Abelcabl 19691  CycGrpccyg 19787   DProd cdprd 19905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-gim 19174  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-od 19438  df-pgp 19440  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-cyg 19788  df-dprd 19907
This theorem is referenced by:  pgpfaclem2  19994
  Copyright terms: Public domain W3C validator