MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfaclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfaclem1 20029
Description: Lemma for pgpfac 20032. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
pgpfac.c 𝐢 = {π‘Ÿ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ (𝐺 β†Ύs π‘Ÿ) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
pgpfac.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac.p (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac.f (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
pgpfac.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)(𝑑 ⊊ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑑)))
pgpfac.h 𝐻 = (𝐺 β†Ύs π‘ˆ)
pgpfac.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜π»))
pgpfac.o 𝑂 = (odβ€˜π»)
pgpfac.e 𝐸 = (gExβ€˜π»)
pgpfac.0 0 = (0gβ€˜π»)
pgpfac.l βŠ• = (LSSumβ€˜π»)
pgpfac.1 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  1)
pgpfac.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
pgpfac.oe (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = 𝐸)
pgpfac.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π»))
pgpfac.i (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∩ π‘Š) = { 0 })
pgpfac.s (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š) = π‘ˆ)
pgpfac.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Word 𝐢)
pgpfac.4 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
pgpfac.5 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑆) = π‘Š)
pgpfac.t 𝑇 = (𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)
Assertion
Ref Expression
pgpfaclem1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘ˆ))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,𝐢   𝑠,π‘Ÿ,𝑑,𝐺   𝐾,π‘Ÿ,𝑠   πœ‘,𝑑   𝐡,𝑠,𝑑   π‘ˆ,π‘Ÿ,𝑠,𝑑   π‘Š,𝑠,𝑑   𝑋,π‘Ÿ,𝑠   𝑇,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑠,π‘Ÿ)   𝐡(π‘Ÿ)   𝐢(π‘Ÿ)   𝑃(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   βŠ• (𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   𝑆(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   𝑇(𝑑,π‘Ÿ)   𝐸(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   𝐻(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   𝐾(𝑑)   𝑂(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   π‘Š(π‘Ÿ)   𝑋(𝑑)   0 (𝑑,𝑠,π‘Ÿ)

Proof of Theorem pgpfaclem1
StepHypRef Expression
1 pgpfac.t . . 3 𝑇 = (𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)
2 pgpfac.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Word 𝐢)
3 pgpfac.u . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
4 pgpfac.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝐺 β†Ύs π‘ˆ)
54subggrp 19075 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝐻 ∈ Grp)
63, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
7 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
87subgacs 19107 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜π») ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜π»)))
96, 8syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜π») ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜π»)))
109acsmred 17627 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜π») ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜π»)))
11 pgpfac.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
124subgbas 19076 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π»))
133, 12syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π»))
1411, 13eleqtrd 2830 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»))
15 pgpfac.k . . . . . . . 8 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜π»))
1615mrcsncl 17583 . . . . . . 7 (((SubGrpβ€˜π») ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜π»)) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»)) β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π»))
1710, 14, 16syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π»))
184subsubg 19095 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π») ↔ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)))
193, 18syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π») ↔ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)))
2017, 19mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ))
2120simpld 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
224oveq1i 7424 . . . . . . 7 (𝐻 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) = ((𝐺 β†Ύs π‘ˆ) β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋}))
2320simprd 495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
24 ressabs 17221 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ) β†’ ((𝐺 β†Ύs π‘ˆ) β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) = (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})))
253, 23, 24syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β†Ύs π‘ˆ) β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) = (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})))
2622, 25eqtrid 2779 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) = (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})))
277, 15cycsubgcyg2 19848 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»)) β†’ (𝐻 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ CycGrp)
286, 14, 27syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ CycGrp)
2926, 28eqeltrrd 2829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ CycGrp)
30 pgpfac.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
31 pgpprm 19539 . . . . . . 7 (𝑃 pGrp 𝐺 β†’ 𝑃 ∈ β„™)
3230, 31syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
33 subgpgp 19543 . . . . . . 7 ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝑃 pGrp (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})))
3430, 21, 33syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})))
35 brelrng 5937 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ CycGrp ∧ 𝑃 pGrp (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋}))) β†’ (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ ran pGrp )
3632, 29, 34, 35syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ ran pGrp )
3729, 36elind 4190 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp ))
38 oveq2 7422 . . . . . 6 (π‘Ÿ = (πΎβ€˜{𝑋}) β†’ (𝐺 β†Ύs π‘Ÿ) = (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})))
3938eleq1d 2813 . . . . 5 (π‘Ÿ = (πΎβ€˜{𝑋}) β†’ ((𝐺 β†Ύs π‘Ÿ) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp ) ↔ (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )))
40 pgpfac.c . . . . 5 𝐢 = {π‘Ÿ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ (𝐺 β†Ύs π‘Ÿ) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
4139, 40elrab2 3683 . . . 4 ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ 𝐢 ↔ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )))
4221, 37, 41sylanbrc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ 𝐢)
431, 2, 42cats1cld 14830 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Word 𝐢)
44 wrdf 14493 . . . . 5 (𝑇 ∈ Word 𝐢 β†’ 𝑇:(0..^(β™―β€˜π‘‡))⟢𝐢)
4543, 44syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇:(0..^(β™―β€˜π‘‡))⟢𝐢)
4640ssrab3 4076 . . . 4 𝐢 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ)
47 fss 6733 . . . 4 ((𝑇:(0..^(β™―β€˜π‘‡))⟢𝐢 ∧ 𝐢 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝑇:(0..^(β™―β€˜π‘‡))⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
4845, 46, 47sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇:(0..^(β™―β€˜π‘‡))⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
49 lencl 14507 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝐢 β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„•0)
502, 49syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„•0)
5150nn0zd 12606 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„€)
52 fzosn 13727 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘†) ∈ β„€ β†’ ((β™―β€˜π‘†)..^((β™―β€˜π‘†) + 1)) = {(β™―β€˜π‘†)})
5351, 52syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘†)..^((β™―β€˜π‘†) + 1)) = {(β™―β€˜π‘†)})
5453ineq2d 4208 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0..^(β™―β€˜π‘†)) ∩ ((β™―β€˜π‘†)..^((β™―β€˜π‘†) + 1))) = ((0..^(β™―β€˜π‘†)) ∩ {(β™―β€˜π‘†)}))
55 fzodisj 13690 . . . 4 ((0..^(β™―β€˜π‘†)) ∩ ((β™―β€˜π‘†)..^((β™―β€˜π‘†) + 1))) = βˆ…
5654, 55eqtr3di 2782 . . 3 (πœ‘ β†’ ((0..^(β™―β€˜π‘†)) ∩ {(β™―β€˜π‘†)}) = βˆ…)
571fveq2i 6894 . . . . . . 7 (β™―β€˜π‘‡) = (β™―β€˜(𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©))
5842s1cld 14577 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ© ∈ Word 𝐢)
59 ccatlen 14549 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐢 ∧ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ© ∈ Word 𝐢) β†’ (β™―β€˜(𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘†) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)))
602, 58, 59syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘†) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)))
6157, 60eqtrid 2779 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‡) = ((β™―β€˜π‘†) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)))
62 s1len 14580 . . . . . . 7 (β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©) = 1
6362oveq2i 7425 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘†) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘†) + 1)
6461, 63eqtrdi 2783 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‡) = ((β™―β€˜π‘†) + 1))
6564oveq2d 7430 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘‡)) = (0..^((β™―β€˜π‘†) + 1)))
66 nn0uz 12886 . . . . . 6 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
6750, 66eleqtrdi 2838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
68 fzosplitsn 13764 . . . . 5 ((β™―β€˜π‘†) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (0..^((β™―β€˜π‘†) + 1)) = ((0..^(β™―β€˜π‘†)) βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)}))
6967, 68syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0..^((β™―β€˜π‘†) + 1)) = ((0..^(β™―β€˜π‘†)) βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)}))
7065, 69eqtrd 2767 . . 3 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘‡)) = ((0..^(β™―β€˜π‘†)) βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)}))
71 eqid 2727 . . 3 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
72 eqid 2727 . . 3 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
73 pgpfac.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
74 cats1un 14695 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐢 ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ 𝐢) β†’ (𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©) = (𝑆 βˆͺ {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}))
752, 42, 74syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©) = (𝑆 βˆͺ {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}))
761, 75eqtrid 2779 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (𝑆 βˆͺ {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}))
7776reseq1d 5978 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))) = ((𝑆 βˆͺ {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))))
78 wrdfn 14502 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐢 β†’ 𝑆 Fn (0..^(β™―β€˜π‘†)))
792, 78syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 Fn (0..^(β™―β€˜π‘†)))
80 fzonel 13670 . . . . . 6 Β¬ (β™―β€˜π‘†) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘†))
81 fsnunres 7191 . . . . . 6 ((𝑆 Fn (0..^(β™―β€˜π‘†)) ∧ Β¬ (β™―β€˜π‘†) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘†))) β†’ ((𝑆 βˆͺ {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))) = 𝑆)
8279, 80, 81sylancl 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆 βˆͺ {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))) = 𝑆)
8377, 82eqtrd 2767 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))) = 𝑆)
8473, 83breqtrrd 5170 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))))
85 fvex 6904 . . . . . 6 (β™―β€˜π‘†) ∈ V
86 dprdsn 19984 . . . . . 6 (((β™―β€˜π‘†) ∈ V ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝐺dom DProd {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}) = (πΎβ€˜{𝑋})))
8785, 21, 86sylancr 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺dom DProd {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}) = (πΎβ€˜{𝑋})))
8887simpld 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩})
89 wrdfn 14502 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ Word 𝐢 β†’ 𝑇 Fn (0..^(β™―β€˜π‘‡)))
9043, 89syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 Fn (0..^(β™―β€˜π‘‡)))
91 ssun2 4169 . . . . . . . 8 {(β™―β€˜π‘†)} βŠ† ((0..^(β™―β€˜π‘†)) βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)})
9285snss 4785 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘†) ∈ ((0..^(β™―β€˜π‘†)) βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)}) ↔ {(β™―β€˜π‘†)} βŠ† ((0..^(β™―β€˜π‘†)) βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)}))
9391, 92mpbir 230 . . . . . . 7 (β™―β€˜π‘†) ∈ ((0..^(β™―β€˜π‘†)) βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)})
9493, 70eleqtrrid 2835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‡)))
95 fnressn 7161 . . . . . 6 ((𝑇 Fn (0..^(β™―β€˜π‘‡)) ∧ (β™―β€˜π‘†) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‡))) β†’ (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}) = {⟨(β™―β€˜π‘†), (π‘‡β€˜(β™―β€˜π‘†))⟩})
9690, 94, 95syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}) = {⟨(β™―β€˜π‘†), (π‘‡β€˜(β™―β€˜π‘†))⟩})
971fveq1i 6892 . . . . . . . . 9 (π‘‡β€˜(β™―β€˜π‘†)) = ((𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘†))
9850nn0cnd 12556 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„‚)
9998addlidd 11437 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0 + (β™―β€˜π‘†)) = (β™―β€˜π‘†))
10099fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)β€˜(0 + (β™―β€˜π‘†))) = ((𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘†)))
10197, 100eqtr4id 2786 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜(β™―β€˜π‘†)) = ((𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)β€˜(0 + (β™―β€˜π‘†))))
102 1nn 12245 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„•
10362, 102eqeltri 2824 . . . . . . . . . . 11 (β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©) ∈ β„•
104 lbfzo0 13696 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)) ↔ (β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©) ∈ β„•)
105103, 104mpbir 230 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©))
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)))
107 ccatval3 14553 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐢 ∧ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ© ∈ Word 𝐢 ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©))) β†’ ((𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)β€˜(0 + (β™―β€˜π‘†))) = (βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©β€˜0))
1082, 58, 106, 107syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)β€˜(0 + (β™―β€˜π‘†))) = (βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©β€˜0))
109 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ V
110 s1fv 14584 . . . . . . . . 9 ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ V β†’ (βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©β€˜0) = (πΎβ€˜{𝑋}))
111109, 110mp1i 13 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©β€˜0) = (πΎβ€˜{𝑋}))
112101, 108, 1113eqtrd 2771 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜(β™―β€˜π‘†)) = (πΎβ€˜{𝑋}))
113112opeq2d 4876 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ⟨(β™―β€˜π‘†), (π‘‡β€˜(β™―β€˜π‘†))⟩ = ⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩)
114113sneqd 4636 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {⟨(β™―β€˜π‘†), (π‘‡β€˜(β™―β€˜π‘†))⟩} = {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩})
11596, 114eqtrd 2767 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}) = {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩})
11688, 115breqtrrd 5170 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}))
117 pgpfac.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
118 dprdsubg 19972 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))) β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
11984, 118syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
120 dprdsubg 19972 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}) β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)})) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
121116, 120syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)})) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
12271, 117, 119, 121ablcntzd 19803 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}))))
123 pgpfac.i . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∩ π‘Š) = { 0 })
12483oveq2d 7430 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) = (𝐺 DProd 𝑆))
125 pgpfac.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑆) = π‘Š)
126124, 125eqtrd 2767 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) = π‘Š)
127115oveq2d 7430 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)})) = (𝐺 DProd {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}))
12887simprd 495 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}) = (πΎβ€˜{𝑋}))
129127, 128eqtrd 2767 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)})) = (πΎβ€˜{𝑋}))
130126, 129ineq12d 4209 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}))) = (π‘Š ∩ (πΎβ€˜{𝑋})))
131 incom 4197 . . . . 5 (π‘Š ∩ (πΎβ€˜{𝑋})) = ((πΎβ€˜{𝑋}) ∩ π‘Š)
132130, 131eqtrdi 2783 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}))) = ((πΎβ€˜{𝑋}) ∩ π‘Š))
1334, 72subg0 19078 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜π»))
1343, 133syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜π»))
135 pgpfac.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π»)
136134, 135eqtr4di 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) = 0 )
137136sneqd 4636 . . . 4 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜πΊ)} = { 0 })
138123, 132, 1373eqtr4d 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}))) = {(0gβ€˜πΊ)})
13948, 56, 70, 71, 72, 84, 116, 122, 138dmdprdsplit2 19994 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑇)
140 eqid 2727 . . . . 5 (LSSumβ€˜πΊ) = (LSSumβ€˜πΊ)
14148, 56, 70, 140, 139dprdsplit 19996 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑇) = ((𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}))))
142126, 129oveq12d 7432 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}))) = (π‘Š(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜{𝑋})))
143126, 119eqeltrrd 2829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
144140lsmcom 19804 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (π‘Š(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜{𝑋})) = ((πΎβ€˜{𝑋})(LSSumβ€˜πΊ)π‘Š))
145117, 143, 21, 144syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜{𝑋})) = ((πΎβ€˜{𝑋})(LSSumβ€˜πΊ)π‘Š))
146141, 142, 1453eqtrd 2771 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑇) = ((πΎβ€˜{𝑋})(LSSumβ€˜πΊ)π‘Š))
147 pgpfac.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π»))
1487subgss 19073 . . . . . 6 (π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π») β†’ π‘Š βŠ† (Baseβ€˜π»))
149147, 148syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† (Baseβ€˜π»))
150149, 13sseqtrrd 4019 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† π‘ˆ)
151 pgpfac.l . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜π»)
1524, 140, 151subglsm 19619 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ ∧ π‘Š βŠ† π‘ˆ) β†’ ((πΎβ€˜{𝑋})(LSSumβ€˜πΊ)π‘Š) = ((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š))
1533, 23, 150, 152syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋})(LSSumβ€˜πΊ)π‘Š) = ((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š))
154 pgpfac.s . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š) = π‘ˆ)
155146, 153, 1543eqtrd 2771 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑇) = π‘ˆ)
156 breq2 5146 . . . 4 (𝑠 = 𝑇 β†’ (𝐺dom DProd 𝑠 ↔ 𝐺dom DProd 𝑇))
157 oveq2 7422 . . . . 5 (𝑠 = 𝑇 β†’ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd 𝑇))
158157eqeq1d 2729 . . . 4 (𝑠 = 𝑇 β†’ ((𝐺 DProd 𝑠) = π‘ˆ ↔ (𝐺 DProd 𝑇) = π‘ˆ))
159156, 158anbi12d 630 . . 3 (𝑠 = 𝑇 β†’ ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘ˆ) ↔ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = π‘ˆ)))
160159rspcev 3607 . 2 ((𝑇 ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘ˆ))
16143, 139, 155, 160syl12anc 836 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469   βˆͺ cun 3942   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944   ⊊ wpss 3945  βˆ…c0 4318  {csn 4624  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  β„€β‰₯cuz 12844  ..^cfzo 13651  β™―chash 14313  Word cword 14488   ++ cconcat 14544  βŸ¨β€œcs1 14569  β„™cprime 16633  Basecbs 17171   β†Ύs cress 17200  0gc0g 17412  Moorecmre 17553  mrClscmrc 17554  ACScacs 17556  Grpcgrp 18881  SubGrpcsubg 19066  Cntzccntz 19257  odcod 19470  gExcgex 19471   pGrp cpgp 19472  LSSumclsm 19580  Abelcabl 19727  CycGrpccyg 19823   DProd cdprd 19941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-word 14489  df-concat 14545  df-s1 14570  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-gim 19204  df-cntz 19259  df-oppg 19288  df-od 19474  df-pgp 19476  df-lsm 19582  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-cyg 19824  df-dprd 19943
This theorem is referenced by:  pgpfaclem2  20030
  Copyright terms: Public domain W3C validator