MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfaclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfaclem1 19134
Description: Lemma for pgpfac 19137. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac.c 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
pgpfac.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac.a (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
pgpfac.h 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
pgpfac.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
pgpfac.o 𝑂 = (od‘𝐻)
pgpfac.e 𝐸 = (gEx‘𝐻)
pgpfac.0 0 = (0g𝐻)
pgpfac.l = (LSSum‘𝐻)
pgpfac.1 (𝜑𝐸 ≠ 1)
pgpfac.x (𝜑𝑋𝑈)
pgpfac.oe (𝜑 → (𝑂𝑋) = 𝐸)
pgpfac.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
pgpfac.i (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
pgpfac.s (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
pgpfac.2 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐶)
pgpfac.4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
pgpfac.5 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝑊)
pgpfac.t 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)
Assertion
Ref Expression
pgpfaclem1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐶   𝑠,𝑟,𝑡,𝐺   𝐾,𝑟,𝑠   𝜑,𝑡   𝐵,𝑠,𝑡   𝑈,𝑟,𝑠,𝑡   𝑊,𝑠,𝑡   𝑋,𝑟,𝑠   𝑇,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠,𝑟)   𝐵(𝑟)   𝐶(𝑟)   𝑃(𝑡,𝑠,𝑟)   (𝑡,𝑠,𝑟)   𝑆(𝑡,𝑠,𝑟)   𝑇(𝑡,𝑟)   𝐸(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐾(𝑡)   𝑂(𝑡,𝑠,𝑟)   𝑊(𝑟)   𝑋(𝑡)   0 (𝑡,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem pgpfaclem1
StepHypRef Expression
1 pgpfac.t . . 3 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)
2 pgpfac.2 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐶)
3 pgpfac.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 pgpfac.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
54subggrp 18222 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
63, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
7 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
87subgacs 18253 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)))
96, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)))
109acsmred 16917 . . . . . . 7 (𝜑 → (SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)))
11 pgpfac.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑈)
124subgbas 18223 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 = (Base‘𝐻))
133, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐻))
1411, 13eleqtrd 2915 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
15 pgpfac.k . . . . . . . 8 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
1615mrcsncl 16873 . . . . . . 7 (((SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
1710, 14, 16syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
184subsubg 18242 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
193, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
2017, 19mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
2120simpld 495 . . . 4 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
224oveq1i 7155 . . . . . . 7 (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) = ((𝐺s 𝑈) ↾s (𝐾‘{𝑋}))
2320simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
24 ressabs 16553 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) → ((𝐺s 𝑈) ↾s (𝐾‘{𝑋})) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
253, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺s 𝑈) ↾s (𝐾‘{𝑋})) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
2622, 25syl5eq 2868 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
277, 15cycsubgcyg2 18953 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp)
286, 14, 27syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp)
2926, 28eqeltrrd 2914 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp)
30 pgpfac.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
31 pgpprm 18649 . . . . . . 7 (𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ)
3230, 31syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
33 subgpgp 18653 . . . . . . 7 ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 pGrp (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
3430, 21, 33syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝑃 pGrp (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
35 brelrng 5805 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp ∧ 𝑃 pGrp (𝐺s (𝐾‘{𝑋}))) → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ ran pGrp )
3632, 29, 34, 35syl3anc 1363 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ ran pGrp )
3729, 36elind 4170 . . . 4 (𝜑 → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp ))
38 oveq2 7153 . . . . . 6 (𝑟 = (𝐾‘{𝑋}) → (𝐺s 𝑟) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
3938eleq1d 2897 . . . . 5 (𝑟 = (𝐾‘{𝑋}) → ((𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp ) ↔ (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )))
40 pgpfac.c . . . . 5 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
4139, 40elrab2 3682 . . . 4 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )))
4221, 37, 41sylanbrc 583 . . 3 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ 𝐶)
431, 2, 42cats1cld 14207 . 2 (𝜑𝑇 ∈ Word 𝐶)
44 wrdf 13856 . . . . 5 (𝑇 ∈ Word 𝐶𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐶)
4543, 44syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐶)
4640ssrab3 4056 . . . 4 𝐶 ⊆ (SubGrp‘𝐺)
47 fss 6521 . . . 4 ((𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐶𝐶 ⊆ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶(SubGrp‘𝐺))
4845, 46, 47sylancl 586 . . 3 (𝜑𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶(SubGrp‘𝐺))
49 fzodisj 13061 . . . 4 ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + 1))) = ∅
50 lencl 13873 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝐶 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
512, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
5251nn0zd 12074 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
53 fzosn 13098 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) ∈ ℤ → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + 1)) = {(♯‘𝑆)})
5452, 53syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + 1)) = {(♯‘𝑆)})
5554ineq2d 4188 . . . 4 (𝜑 → ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + 1))) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ {(♯‘𝑆)}))
5649, 55syl5reqr 2871 . . 3 (𝜑 → ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ {(♯‘𝑆)}) = ∅)
571fveq2i 6667 . . . . . . 7 (♯‘𝑇) = (♯‘(𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩))
5842s1cld 13947 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩ ∈ Word 𝐶)
59 ccatlen 13917 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐶 ∧ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩ ∈ Word 𝐶) → (♯‘(𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
602, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
6157, 60syl5eq 2868 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑇) = ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
62 s1len 13950 . . . . . . 7 (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = 1
6362oveq2i 7156 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) = ((♯‘𝑆) + 1)
6461, 63syl6eq 2872 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑇) = ((♯‘𝑆) + 1))
6564oveq2d 7161 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑇)) = (0..^((♯‘𝑆) + 1)))
66 nn0uz 12269 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
6751, 66eleqtrdi 2923 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
68 fzosplitsn 13135 . . . . 5 ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) → (0..^((♯‘𝑆) + 1)) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)}))
6967, 68syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0..^((♯‘𝑆) + 1)) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)}))
7065, 69eqtrd 2856 . . 3 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑇)) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)}))
71 eqid 2821 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
72 eqid 2821 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
73 pgpfac.4 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
74 cats1un 14073 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ 𝐶) → (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = (𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
752, 42, 74syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = (𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
761, 75syl5eq 2868 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
7776reseq1d 5846 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = ((𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) ↾ (0..^(♯‘𝑆))))
78 wrdfn 13866 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐶𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
792, 78syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
80 fzonel 13041 . . . . . 6 ¬ (♯‘𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝑆))
81 fsnunres 6943 . . . . . 6 ((𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)) ∧ ¬ (♯‘𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = 𝑆)
8279, 80, 81sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = 𝑆)
8377, 82eqtrd 2856 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = 𝑆)
8473, 83breqtrrd 5086 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))))
85 fvex 6677 . . . . . 6 (♯‘𝑆) ∈ V
86 dprdsn 19089 . . . . . 6 (((♯‘𝑆) ∈ V ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) = (𝐾‘{𝑋})))
8785, 21, 86sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) = (𝐾‘{𝑋})))
8887simpld 495 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩})
89 wrdfn 13866 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ Word 𝐶𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
9043, 89syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
91 ssun2 4148 . . . . . . . 8 {(♯‘𝑆)} ⊆ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)})
9285snss 4712 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑆) ∈ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)}) ↔ {(♯‘𝑆)} ⊆ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)}))
9391, 92mpbir 232 . . . . . . 7 (♯‘𝑆) ∈ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)})
9493, 70eleqtrrid 2920 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
95 fnressn 6913 . . . . . 6 ((𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}) = {⟨(♯‘𝑆), (𝑇‘(♯‘𝑆))⟩})
9690, 94, 95syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}) = {⟨(♯‘𝑆), (𝑇‘(♯‘𝑆))⟩})
9751nn0cnd 11946 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
9897addid2d 10830 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 + (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑆))
9998fveq2d 6668 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(♯‘𝑆)))
1001fveq1i 6665 . . . . . . . . 9 (𝑇‘(♯‘𝑆)) = ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(♯‘𝑆))
10199, 100syl6reqr 2875 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇‘(♯‘𝑆)) = ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))))
102 1nn 11638 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
10362, 102eqeltri 2909 . . . . . . . . . . 11 (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) ∈ ℕ
104 lbfzo0 13067 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) ↔ (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) ∈ ℕ)
105103, 104mpbir 232 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩))
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
107 ccatval3 13923 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐶 ∧ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩ ∈ Word 𝐶 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩))) → ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0))
1082, 58, 106, 107syl3anc 1363 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0))
109 fvex 6677 . . . . . . . . 9 (𝐾‘{𝑋}) ∈ V
110 s1fv 13954 . . . . . . . . 9 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ V → (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0) = (𝐾‘{𝑋}))
111109, 110mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0) = (𝐾‘{𝑋}))
112101, 108, 1113eqtrd 2860 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇‘(♯‘𝑆)) = (𝐾‘{𝑋}))
113112opeq2d 4804 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨(♯‘𝑆), (𝑇‘(♯‘𝑆))⟩ = ⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩)
114113sneqd 4571 . . . . 5 (𝜑 → {⟨(♯‘𝑆), (𝑇‘(♯‘𝑆))⟩} = {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩})
11596, 114eqtrd 2856 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}) = {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩})
11688, 115breqtrrd 5086 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))
117 pgpfac.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
118 dprdsubg 19077 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11984, 118syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
120 dprdsubg 19077 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
121116, 120syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
12271, 117, 119, 121ablcntzd 18908 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))))
123 pgpfac.i . . . 4 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
12483oveq2d 7161 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) = (𝐺 DProd 𝑆))
125 pgpfac.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝑊)
126124, 125eqtrd 2856 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) = 𝑊)
127115oveq2d 7161 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)})) = (𝐺 DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
12887simprd 496 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) = (𝐾‘{𝑋}))
129127, 128eqtrd 2856 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)})) = (𝐾‘{𝑋}))
130126, 129ineq12d 4189 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))) = (𝑊 ∩ (𝐾‘{𝑋})))
131 incom 4177 . . . . 5 (𝑊 ∩ (𝐾‘{𝑋})) = ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊)
132130, 131syl6eq 2872 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))) = ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊))
1334, 72subg0 18225 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) = (0g𝐻))
1343, 133syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝐺) = (0g𝐻))
135 pgpfac.0 . . . . . 6 0 = (0g𝐻)
136134, 135syl6eqr 2874 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝐺) = 0 )
137136sneqd 4571 . . . 4 (𝜑 → {(0g𝐺)} = { 0 })
138123, 132, 1373eqtr4d 2866 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))) = {(0g𝐺)})
13948, 56, 70, 71, 72, 84, 116, 122, 138dmdprdsplit2 19099 . 2 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
140 eqid 2821 . . . . 5 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
14148, 56, 70, 140, 139dprdsplit 19101 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))))
142126, 129oveq12d 7163 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))) = (𝑊(LSSum‘𝐺)(𝐾‘{𝑋})))
143126, 119eqeltrrd 2914 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
144140lsmcom 18909 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑊(LSSum‘𝐺)(𝐾‘{𝑋})) = ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊))
145117, 143, 21, 144syl3anc 1363 . . . 4 (𝜑 → (𝑊(LSSum‘𝐺)(𝐾‘{𝑋})) = ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊))
146141, 142, 1453eqtrd 2860 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊))
147 pgpfac.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
1487subgss 18220 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) → 𝑊 ⊆ (Base‘𝐻))
149147, 148syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ⊆ (Base‘𝐻))
150149, 13sseqtrrd 4007 . . . 4 (𝜑𝑊𝑈)
151 pgpfac.l . . . . 5 = (LSSum‘𝐻)
1524, 140, 151subglsm 18730 . . . 4 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈𝑊𝑈) → ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊) = ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊))
1533, 23, 150, 152syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊) = ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊))
154 pgpfac.s . . 3 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
155146, 153, 1543eqtrd 2860 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈)
156 breq2 5062 . . . 4 (𝑠 = 𝑇 → (𝐺dom DProd 𝑠𝐺dom DProd 𝑇))
157 oveq2 7153 . . . . 5 (𝑠 = 𝑇 → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd 𝑇))
158157eqeq1d 2823 . . . 4 (𝑠 = 𝑇 → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈 ↔ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈))
159156, 158anbi12d 630 . . 3 (𝑠 = 𝑇 → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈) ↔ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈)))
160159rspcev 3622 . 2 ((𝑇 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈)) → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
16143, 139, 155, 160syl12anc 832 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3016  wral 3138  wrex 3139  {crab 3142  Vcvv 3495  cun 3933  cin 3934  wss 3935  wpss 3936  c0 4290  {csn 4559  cop 4565   class class class wbr 5058  dom cdm 5549  ran crn 5550  cres 5551   Fn wfn 6344  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7145  Fincfn 8498  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  cn 11627  0cn0 11886  cz 11970  cuz 12232  ..^cfzo 13023  chash 13680  Word cword 13851   ++ cconcat 13912  ⟨“cs1 13939  cprime 16005  Basecbs 16473  s cress 16474  0gc0g 16703  Moorecmre 16843  mrClscmrc 16844  ACScacs 16846  Grpcgrp 18043  SubGrpcsubg 18213  Cntzccntz 18385  odcod 18583  gExcgex 18584   pGrp cpgp 18585  LSSumclsm 18690  Abelcabl 18838  CycGrpccyg 18927   DProd cdprd 19046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-tpos 7883  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-hash 13681  df-word 13852  df-concat 13913  df-s1 13940  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-mhm 17946  df-submnd 17947  df-grp 18046  df-minusg 18047  df-sbg 18048  df-mulg 18165  df-subg 18216  df-ghm 18296  df-gim 18339  df-cntz 18387  df-oppg 18414  df-od 18587  df-pgp 18589  df-lsm 18692  df-cmn 18839  df-abl 18840  df-cyg 18928  df-dprd 19048
This theorem is referenced by:  pgpfaclem2  19135
  Copyright terms: Public domain W3C validator