MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfaclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfaclem1 19953
Description: Lemma for pgpfac 19956. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
pgpfac.c 𝐢 = {π‘Ÿ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ (𝐺 β†Ύs π‘Ÿ) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
pgpfac.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac.p (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac.f (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
pgpfac.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)(𝑑 ⊊ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑑)))
pgpfac.h 𝐻 = (𝐺 β†Ύs π‘ˆ)
pgpfac.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜π»))
pgpfac.o 𝑂 = (odβ€˜π»)
pgpfac.e 𝐸 = (gExβ€˜π»)
pgpfac.0 0 = (0gβ€˜π»)
pgpfac.l βŠ• = (LSSumβ€˜π»)
pgpfac.1 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  1)
pgpfac.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
pgpfac.oe (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = 𝐸)
pgpfac.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π»))
pgpfac.i (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∩ π‘Š) = { 0 })
pgpfac.s (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š) = π‘ˆ)
pgpfac.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Word 𝐢)
pgpfac.4 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
pgpfac.5 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑆) = π‘Š)
pgpfac.t 𝑇 = (𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)
Assertion
Ref Expression
pgpfaclem1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘ˆ))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,𝐢   𝑠,π‘Ÿ,𝑑,𝐺   𝐾,π‘Ÿ,𝑠   πœ‘,𝑑   𝐡,𝑠,𝑑   π‘ˆ,π‘Ÿ,𝑠,𝑑   π‘Š,𝑠,𝑑   𝑋,π‘Ÿ,𝑠   𝑇,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑠,π‘Ÿ)   𝐡(π‘Ÿ)   𝐢(π‘Ÿ)   𝑃(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   βŠ• (𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   𝑆(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   𝑇(𝑑,π‘Ÿ)   𝐸(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   𝐻(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   𝐾(𝑑)   𝑂(𝑑,𝑠,π‘Ÿ)   π‘Š(π‘Ÿ)   𝑋(𝑑)   0 (𝑑,𝑠,π‘Ÿ)

Proof of Theorem pgpfaclem1
StepHypRef Expression
1 pgpfac.t . . 3 𝑇 = (𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)
2 pgpfac.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Word 𝐢)
3 pgpfac.u . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
4 pgpfac.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝐺 β†Ύs π‘ˆ)
54subggrp 19011 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝐻 ∈ Grp)
63, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
7 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
87subgacs 19043 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜π») ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜π»)))
96, 8syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜π») ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜π»)))
109acsmred 17602 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜π») ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜π»)))
11 pgpfac.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
124subgbas 19012 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π»))
133, 12syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π»))
1411, 13eleqtrd 2835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»))
15 pgpfac.k . . . . . . . 8 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜π»))
1615mrcsncl 17558 . . . . . . 7 (((SubGrpβ€˜π») ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜π»)) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»)) β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π»))
1710, 14, 16syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π»))
184subsubg 19031 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π») ↔ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)))
193, 18syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π») ↔ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)))
2017, 19mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ))
2120simpld 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
224oveq1i 7421 . . . . . . 7 (𝐻 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) = ((𝐺 β†Ύs π‘ˆ) β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋}))
2320simprd 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
24 ressabs 17196 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ) β†’ ((𝐺 β†Ύs π‘ˆ) β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) = (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})))
253, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β†Ύs π‘ˆ) β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) = (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})))
2622, 25eqtrid 2784 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) = (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})))
277, 15cycsubgcyg2 19772 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»)) β†’ (𝐻 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ CycGrp)
286, 14, 27syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ CycGrp)
2926, 28eqeltrrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ CycGrp)
30 pgpfac.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
31 pgpprm 19463 . . . . . . 7 (𝑃 pGrp 𝐺 β†’ 𝑃 ∈ β„™)
3230, 31syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
33 subgpgp 19467 . . . . . . 7 ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝑃 pGrp (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})))
3430, 21, 33syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})))
35 brelrng 5940 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ CycGrp ∧ 𝑃 pGrp (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋}))) β†’ (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ ran pGrp )
3632, 29, 34, 35syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ ran pGrp )
3729, 36elind 4194 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp ))
38 oveq2 7419 . . . . . 6 (π‘Ÿ = (πΎβ€˜{𝑋}) β†’ (𝐺 β†Ύs π‘Ÿ) = (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})))
3938eleq1d 2818 . . . . 5 (π‘Ÿ = (πΎβ€˜{𝑋}) β†’ ((𝐺 β†Ύs π‘Ÿ) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp ) ↔ (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )))
40 pgpfac.c . . . . 5 𝐢 = {π‘Ÿ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ (𝐺 β†Ύs π‘Ÿ) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
4139, 40elrab2 3686 . . . 4 ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ 𝐢 ↔ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (𝐺 β†Ύs (πΎβ€˜{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )))
4221, 37, 41sylanbrc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ 𝐢)
431, 2, 42cats1cld 14808 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Word 𝐢)
44 wrdf 14471 . . . . 5 (𝑇 ∈ Word 𝐢 β†’ 𝑇:(0..^(β™―β€˜π‘‡))⟢𝐢)
4543, 44syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇:(0..^(β™―β€˜π‘‡))⟢𝐢)
4640ssrab3 4080 . . . 4 𝐢 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ)
47 fss 6734 . . . 4 ((𝑇:(0..^(β™―β€˜π‘‡))⟢𝐢 ∧ 𝐢 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝑇:(0..^(β™―β€˜π‘‡))⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
4845, 46, 47sylancl 586 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇:(0..^(β™―β€˜π‘‡))⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
49 lencl 14485 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝐢 β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„•0)
502, 49syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„•0)
5150nn0zd 12586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„€)
52 fzosn 13705 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘†) ∈ β„€ β†’ ((β™―β€˜π‘†)..^((β™―β€˜π‘†) + 1)) = {(β™―β€˜π‘†)})
5351, 52syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘†)..^((β™―β€˜π‘†) + 1)) = {(β™―β€˜π‘†)})
5453ineq2d 4212 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0..^(β™―β€˜π‘†)) ∩ ((β™―β€˜π‘†)..^((β™―β€˜π‘†) + 1))) = ((0..^(β™―β€˜π‘†)) ∩ {(β™―β€˜π‘†)}))
55 fzodisj 13668 . . . 4 ((0..^(β™―β€˜π‘†)) ∩ ((β™―β€˜π‘†)..^((β™―β€˜π‘†) + 1))) = βˆ…
5654, 55eqtr3di 2787 . . 3 (πœ‘ β†’ ((0..^(β™―β€˜π‘†)) ∩ {(β™―β€˜π‘†)}) = βˆ…)
571fveq2i 6894 . . . . . . 7 (β™―β€˜π‘‡) = (β™―β€˜(𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©))
5842s1cld 14555 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ© ∈ Word 𝐢)
59 ccatlen 14527 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐢 ∧ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ© ∈ Word 𝐢) β†’ (β™―β€˜(𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘†) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)))
602, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘†) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)))
6157, 60eqtrid 2784 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‡) = ((β™―β€˜π‘†) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)))
62 s1len 14558 . . . . . . 7 (β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©) = 1
6362oveq2i 7422 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘†) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘†) + 1)
6461, 63eqtrdi 2788 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‡) = ((β™―β€˜π‘†) + 1))
6564oveq2d 7427 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘‡)) = (0..^((β™―β€˜π‘†) + 1)))
66 nn0uz 12866 . . . . . 6 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
6750, 66eleqtrdi 2843 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
68 fzosplitsn 13742 . . . . 5 ((β™―β€˜π‘†) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (0..^((β™―β€˜π‘†) + 1)) = ((0..^(β™―β€˜π‘†)) βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)}))
6967, 68syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0..^((β™―β€˜π‘†) + 1)) = ((0..^(β™―β€˜π‘†)) βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)}))
7065, 69eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘‡)) = ((0..^(β™―β€˜π‘†)) βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)}))
71 eqid 2732 . . 3 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
72 eqid 2732 . . 3 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
73 pgpfac.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
74 cats1un 14673 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐢 ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ 𝐢) β†’ (𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©) = (𝑆 βˆͺ {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}))
752, 42, 74syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©) = (𝑆 βˆͺ {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}))
761, 75eqtrid 2784 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (𝑆 βˆͺ {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}))
7776reseq1d 5980 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))) = ((𝑆 βˆͺ {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))))
78 wrdfn 14480 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐢 β†’ 𝑆 Fn (0..^(β™―β€˜π‘†)))
792, 78syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 Fn (0..^(β™―β€˜π‘†)))
80 fzonel 13648 . . . . . 6 Β¬ (β™―β€˜π‘†) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘†))
81 fsnunres 7188 . . . . . 6 ((𝑆 Fn (0..^(β™―β€˜π‘†)) ∧ Β¬ (β™―β€˜π‘†) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘†))) β†’ ((𝑆 βˆͺ {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))) = 𝑆)
8279, 80, 81sylancl 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆 βˆͺ {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}) β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))) = 𝑆)
8377, 82eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))) = 𝑆)
8473, 83breqtrrd 5176 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))))
85 fvex 6904 . . . . . 6 (β™―β€˜π‘†) ∈ V
86 dprdsn 19908 . . . . . 6 (((β™―β€˜π‘†) ∈ V ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝐺dom DProd {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}) = (πΎβ€˜{𝑋})))
8785, 21, 86sylancr 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺dom DProd {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}) = (πΎβ€˜{𝑋})))
8887simpld 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩})
89 wrdfn 14480 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ Word 𝐢 β†’ 𝑇 Fn (0..^(β™―β€˜π‘‡)))
9043, 89syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 Fn (0..^(β™―β€˜π‘‡)))
91 ssun2 4173 . . . . . . . 8 {(β™―β€˜π‘†)} βŠ† ((0..^(β™―β€˜π‘†)) βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)})
9285snss 4789 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘†) ∈ ((0..^(β™―β€˜π‘†)) βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)}) ↔ {(β™―β€˜π‘†)} βŠ† ((0..^(β™―β€˜π‘†)) βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)}))
9391, 92mpbir 230 . . . . . . 7 (β™―β€˜π‘†) ∈ ((0..^(β™―β€˜π‘†)) βˆͺ {(β™―β€˜π‘†)})
9493, 70eleqtrrid 2840 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‡)))
95 fnressn 7158 . . . . . 6 ((𝑇 Fn (0..^(β™―β€˜π‘‡)) ∧ (β™―β€˜π‘†) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘‡))) β†’ (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}) = {⟨(β™―β€˜π‘†), (π‘‡β€˜(β™―β€˜π‘†))⟩})
9690, 94, 95syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}) = {⟨(β™―β€˜π‘†), (π‘‡β€˜(β™―β€˜π‘†))⟩})
971fveq1i 6892 . . . . . . . . 9 (π‘‡β€˜(β™―β€˜π‘†)) = ((𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘†))
9850nn0cnd 12536 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„‚)
9998addlidd 11417 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0 + (β™―β€˜π‘†)) = (β™―β€˜π‘†))
10099fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)β€˜(0 + (β™―β€˜π‘†))) = ((𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘†)))
10197, 100eqtr4id 2791 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜(β™―β€˜π‘†)) = ((𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)β€˜(0 + (β™―β€˜π‘†))))
102 1nn 12225 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„•
10362, 102eqeltri 2829 . . . . . . . . . . 11 (β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©) ∈ β„•
104 lbfzo0 13674 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)) ↔ (β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©) ∈ β„•)
105103, 104mpbir 230 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©))
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)))
107 ccatval3 14531 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐢 ∧ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ© ∈ Word 𝐢 ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©))) β†’ ((𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)β€˜(0 + (β™―β€˜π‘†))) = (βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©β€˜0))
1082, 58, 106, 107syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ++ βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©)β€˜(0 + (β™―β€˜π‘†))) = (βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©β€˜0))
109 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ V
110 s1fv 14562 . . . . . . . . 9 ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ V β†’ (βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©β€˜0) = (πΎβ€˜{𝑋}))
111109, 110mp1i 13 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œ(πΎβ€˜{𝑋})β€βŸ©β€˜0) = (πΎβ€˜{𝑋}))
112101, 108, 1113eqtrd 2776 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜(β™―β€˜π‘†)) = (πΎβ€˜{𝑋}))
113112opeq2d 4880 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ⟨(β™―β€˜π‘†), (π‘‡β€˜(β™―β€˜π‘†))⟩ = ⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩)
114113sneqd 4640 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {⟨(β™―β€˜π‘†), (π‘‡β€˜(β™―β€˜π‘†))⟩} = {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩})
11596, 114eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}) = {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩})
11688, 115breqtrrd 5176 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}))
117 pgpfac.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
118 dprdsubg 19896 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))) β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
11984, 118syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
120 dprdsubg 19896 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}) β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)})) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
121116, 120syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)})) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
12271, 117, 119, 121ablcntzd 19727 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}))))
123 pgpfac.i . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∩ π‘Š) = { 0 })
12483oveq2d 7427 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) = (𝐺 DProd 𝑆))
125 pgpfac.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑆) = π‘Š)
126124, 125eqtrd 2772 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) = π‘Š)
127115oveq2d 7427 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)})) = (𝐺 DProd {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}))
12887simprd 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd {⟨(β™―β€˜π‘†), (πΎβ€˜{𝑋})⟩}) = (πΎβ€˜{𝑋}))
129127, 128eqtrd 2772 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)})) = (πΎβ€˜{𝑋}))
130126, 129ineq12d 4213 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}))) = (π‘Š ∩ (πΎβ€˜{𝑋})))
131 incom 4201 . . . . 5 (π‘Š ∩ (πΎβ€˜{𝑋})) = ((πΎβ€˜{𝑋}) ∩ π‘Š)
132130, 131eqtrdi 2788 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}))) = ((πΎβ€˜{𝑋}) ∩ π‘Š))
1334, 72subg0 19014 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜π»))
1343, 133syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜π»))
135 pgpfac.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π»)
136134, 135eqtr4di 2790 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) = 0 )
137136sneqd 4640 . . . 4 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜πΊ)} = { 0 })
138123, 132, 1373eqtr4d 2782 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}))) = {(0gβ€˜πΊ)})
13948, 56, 70, 71, 72, 84, 116, 122, 138dmdprdsplit2 19918 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑇)
140 eqid 2732 . . . . 5 (LSSumβ€˜πΊ) = (LSSumβ€˜πΊ)
14148, 56, 70, 140, 139dprdsplit 19920 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑇) = ((𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}))))
142126, 129oveq12d 7429 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ (0..^(β™―β€˜π‘†))))(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑇 β†Ύ {(β™―β€˜π‘†)}))) = (π‘Š(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜{𝑋})))
143126, 119eqeltrrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
144140lsmcom 19728 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (π‘Š(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜{𝑋})) = ((πΎβ€˜{𝑋})(LSSumβ€˜πΊ)π‘Š))
145117, 143, 21, 144syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š(LSSumβ€˜πΊ)(πΎβ€˜{𝑋})) = ((πΎβ€˜{𝑋})(LSSumβ€˜πΊ)π‘Š))
146141, 142, 1453eqtrd 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑇) = ((πΎβ€˜{𝑋})(LSSumβ€˜πΊ)π‘Š))
147 pgpfac.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π»))
1487subgss 19009 . . . . . 6 (π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜π») β†’ π‘Š βŠ† (Baseβ€˜π»))
149147, 148syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† (Baseβ€˜π»))
150149, 13sseqtrrd 4023 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† π‘ˆ)
151 pgpfac.l . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜π»)
1524, 140, 151subglsm 19543 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ ∧ π‘Š βŠ† π‘ˆ) β†’ ((πΎβ€˜{𝑋})(LSSumβ€˜πΊ)π‘Š) = ((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š))
1533, 23, 150, 152syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋})(LSSumβ€˜πΊ)π‘Š) = ((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š))
154 pgpfac.s . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜{𝑋}) βŠ• π‘Š) = π‘ˆ)
155146, 153, 1543eqtrd 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑇) = π‘ˆ)
156 breq2 5152 . . . 4 (𝑠 = 𝑇 β†’ (𝐺dom DProd 𝑠 ↔ 𝐺dom DProd 𝑇))
157 oveq2 7419 . . . . 5 (𝑠 = 𝑇 β†’ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd 𝑇))
158157eqeq1d 2734 . . . 4 (𝑠 = 𝑇 β†’ ((𝐺 DProd 𝑠) = π‘ˆ ↔ (𝐺 DProd 𝑇) = π‘ˆ))
159156, 158anbi12d 631 . . 3 (𝑠 = 𝑇 β†’ ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘ˆ) ↔ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = π‘ˆ)))
160159rspcev 3612 . 2 ((𝑇 ∈ Word 𝐢 ∧ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘ˆ))
16143, 139, 155, 160syl12anc 835 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ Word 𝐢(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   ⊊ wpss 3949  βˆ…c0 4322  {csn 4628  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„•cn 12214  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  ..^cfzo 13629  β™―chash 14292  Word cword 14466   ++ cconcat 14522  βŸ¨β€œcs1 14547  β„™cprime 16610  Basecbs 17146   β†Ύs cress 17175  0gc0g 17387  Moorecmre 17528  mrClscmrc 17529  ACScacs 17531  Grpcgrp 18821  SubGrpcsubg 19002  Cntzccntz 19181  odcod 19394  gExcgex 19395   pGrp cpgp 19396  LSSumclsm 19504  Abelcabl 19651  CycGrpccyg 19747   DProd cdprd 19865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-gim 19135  df-cntz 19183  df-oppg 19212  df-od 19398  df-pgp 19400  df-lsm 19506  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-cyg 19748  df-dprd 19867
This theorem is referenced by:  pgpfaclem2  19954
  Copyright terms: Public domain W3C validator