MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfaclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfaclem1 20038
Description: Lemma for pgpfac 20041. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac.c 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
pgpfac.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac.a (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
pgpfac.h 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
pgpfac.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
pgpfac.o 𝑂 = (od‘𝐻)
pgpfac.e 𝐸 = (gEx‘𝐻)
pgpfac.0 0 = (0g𝐻)
pgpfac.l = (LSSum‘𝐻)
pgpfac.1 (𝜑𝐸 ≠ 1)
pgpfac.x (𝜑𝑋𝑈)
pgpfac.oe (𝜑 → (𝑂𝑋) = 𝐸)
pgpfac.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
pgpfac.i (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
pgpfac.s (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
pgpfac.2 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐶)
pgpfac.4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
pgpfac.5 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝑊)
pgpfac.t 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)
Assertion
Ref Expression
pgpfaclem1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐶   𝑠,𝑟,𝑡,𝐺   𝐾,𝑟,𝑠   𝜑,𝑡   𝐵,𝑠,𝑡   𝑈,𝑟,𝑠,𝑡   𝑊,𝑠,𝑡   𝑋,𝑟,𝑠   𝑇,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠,𝑟)   𝐵(𝑟)   𝐶(𝑟)   𝑃(𝑡,𝑠,𝑟)   (𝑡,𝑠,𝑟)   𝑆(𝑡,𝑠,𝑟)   𝑇(𝑡,𝑟)   𝐸(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐾(𝑡)   𝑂(𝑡,𝑠,𝑟)   𝑊(𝑟)   𝑋(𝑡)   0 (𝑡,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem pgpfaclem1
StepHypRef Expression
1 pgpfac.t . . 3 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)
2 pgpfac.2 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐶)
3 pgpfac.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 pgpfac.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
54subggrp 19084 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
63, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
7 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
87subgacs 19116 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)))
96, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)))
109acsmred 17636 . . . . . . 7 (𝜑 → (SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)))
11 pgpfac.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑈)
124subgbas 19085 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 = (Base‘𝐻))
133, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐻))
1411, 13eleqtrd 2831 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
15 pgpfac.k . . . . . . . 8 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
1615mrcsncl 17592 . . . . . . 7 (((SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
1710, 14, 16syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
184subsubg 19104 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
193, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
2017, 19mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
2120simpld 494 . . . 4 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
224oveq1i 7430 . . . . . . 7 (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) = ((𝐺s 𝑈) ↾s (𝐾‘{𝑋}))
2320simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
24 ressabs 17230 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) → ((𝐺s 𝑈) ↾s (𝐾‘{𝑋})) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
253, 23, 24syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺s 𝑈) ↾s (𝐾‘{𝑋})) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
2622, 25eqtrid 2780 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
277, 15cycsubgcyg2 19857 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp)
286, 14, 27syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp)
2926, 28eqeltrrd 2830 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp)
30 pgpfac.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
31 pgpprm 19548 . . . . . . 7 (𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ)
3230, 31syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
33 subgpgp 19552 . . . . . . 7 ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 pGrp (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
3430, 21, 33syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑𝑃 pGrp (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
35 brelrng 5943 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp ∧ 𝑃 pGrp (𝐺s (𝐾‘{𝑋}))) → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ ran pGrp )
3632, 29, 34, 35syl3anc 1369 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ ran pGrp )
3729, 36elind 4194 . . . 4 (𝜑 → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp ))
38 oveq2 7428 . . . . . 6 (𝑟 = (𝐾‘{𝑋}) → (𝐺s 𝑟) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
3938eleq1d 2814 . . . . 5 (𝑟 = (𝐾‘{𝑋}) → ((𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp ) ↔ (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )))
40 pgpfac.c . . . . 5 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
4139, 40elrab2 3685 . . . 4 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )))
4221, 37, 41sylanbrc 582 . . 3 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ 𝐶)
431, 2, 42cats1cld 14839 . 2 (𝜑𝑇 ∈ Word 𝐶)
44 wrdf 14502 . . . . 5 (𝑇 ∈ Word 𝐶𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐶)
4543, 44syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐶)
4640ssrab3 4078 . . . 4 𝐶 ⊆ (SubGrp‘𝐺)
47 fss 6739 . . . 4 ((𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐶𝐶 ⊆ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶(SubGrp‘𝐺))
4845, 46, 47sylancl 585 . . 3 (𝜑𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶(SubGrp‘𝐺))
49 lencl 14516 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝐶 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
502, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
5150nn0zd 12615 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
52 fzosn 13736 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) ∈ ℤ → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + 1)) = {(♯‘𝑆)})
5351, 52syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + 1)) = {(♯‘𝑆)})
5453ineq2d 4212 . . . 4 (𝜑 → ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + 1))) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ {(♯‘𝑆)}))
55 fzodisj 13699 . . . 4 ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + 1))) = ∅
5654, 55eqtr3di 2783 . . 3 (𝜑 → ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ {(♯‘𝑆)}) = ∅)
571fveq2i 6900 . . . . . . 7 (♯‘𝑇) = (♯‘(𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩))
5842s1cld 14586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩ ∈ Word 𝐶)
59 ccatlen 14558 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐶 ∧ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩ ∈ Word 𝐶) → (♯‘(𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
602, 58, 59syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
6157, 60eqtrid 2780 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑇) = ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
62 s1len 14589 . . . . . . 7 (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = 1
6362oveq2i 7431 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) = ((♯‘𝑆) + 1)
6461, 63eqtrdi 2784 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑇) = ((♯‘𝑆) + 1))
6564oveq2d 7436 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑇)) = (0..^((♯‘𝑆) + 1)))
66 nn0uz 12895 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
6750, 66eleqtrdi 2839 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
68 fzosplitsn 13773 . . . . 5 ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) → (0..^((♯‘𝑆) + 1)) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)}))
6967, 68syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0..^((♯‘𝑆) + 1)) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)}))
7065, 69eqtrd 2768 . . 3 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑇)) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)}))
71 eqid 2728 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
72 eqid 2728 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
73 pgpfac.4 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
74 cats1un 14704 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ 𝐶) → (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = (𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
752, 42, 74syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = (𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
761, 75eqtrid 2780 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
7776reseq1d 5984 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = ((𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) ↾ (0..^(♯‘𝑆))))
78 wrdfn 14511 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐶𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
792, 78syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
80 fzonel 13679 . . . . . 6 ¬ (♯‘𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝑆))
81 fsnunres 7197 . . . . . 6 ((𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)) ∧ ¬ (♯‘𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = 𝑆)
8279, 80, 81sylancl 585 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = 𝑆)
8377, 82eqtrd 2768 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = 𝑆)
8473, 83breqtrrd 5176 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))))
85 fvex 6910 . . . . . 6 (♯‘𝑆) ∈ V
86 dprdsn 19993 . . . . . 6 (((♯‘𝑆) ∈ V ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) = (𝐾‘{𝑋})))
8785, 21, 86sylancr 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) = (𝐾‘{𝑋})))
8887simpld 494 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩})
89 wrdfn 14511 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ Word 𝐶𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
9043, 89syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
91 ssun2 4173 . . . . . . . 8 {(♯‘𝑆)} ⊆ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)})
9285snss 4790 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑆) ∈ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)}) ↔ {(♯‘𝑆)} ⊆ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)}))
9391, 92mpbir 230 . . . . . . 7 (♯‘𝑆) ∈ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)})
9493, 70eleqtrrid 2836 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
95 fnressn 7167 . . . . . 6 ((𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}) = {⟨(♯‘𝑆), (𝑇‘(♯‘𝑆))⟩})
9690, 94, 95syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}) = {⟨(♯‘𝑆), (𝑇‘(♯‘𝑆))⟩})
971fveq1i 6898 . . . . . . . . 9 (𝑇‘(♯‘𝑆)) = ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(♯‘𝑆))
9850nn0cnd 12565 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
9998addlidd 11446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 + (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑆))
10099fveq2d 6901 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(♯‘𝑆)))
10197, 100eqtr4id 2787 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇‘(♯‘𝑆)) = ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))))
102 1nn 12254 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
10362, 102eqeltri 2825 . . . . . . . . . . 11 (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) ∈ ℕ
104 lbfzo0 13705 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) ↔ (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) ∈ ℕ)
105103, 104mpbir 230 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩))
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
107 ccatval3 14562 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐶 ∧ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩ ∈ Word 𝐶 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩))) → ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0))
1082, 58, 106, 107syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0))
109 fvex 6910 . . . . . . . . 9 (𝐾‘{𝑋}) ∈ V
110 s1fv 14593 . . . . . . . . 9 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ V → (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0) = (𝐾‘{𝑋}))
111109, 110mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0) = (𝐾‘{𝑋}))
112101, 108, 1113eqtrd 2772 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇‘(♯‘𝑆)) = (𝐾‘{𝑋}))
113112opeq2d 4881 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨(♯‘𝑆), (𝑇‘(♯‘𝑆))⟩ = ⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩)
114113sneqd 4641 . . . . 5 (𝜑 → {⟨(♯‘𝑆), (𝑇‘(♯‘𝑆))⟩} = {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩})
11596, 114eqtrd 2768 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}) = {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩})
11688, 115breqtrrd 5176 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))
117 pgpfac.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
118 dprdsubg 19981 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11984, 118syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
120 dprdsubg 19981 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
121116, 120syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
12271, 117, 119, 121ablcntzd 19812 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))))
123 pgpfac.i . . . 4 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
12483oveq2d 7436 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) = (𝐺 DProd 𝑆))
125 pgpfac.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝑊)
126124, 125eqtrd 2768 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) = 𝑊)
127115oveq2d 7436 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)})) = (𝐺 DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
12887simprd 495 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) = (𝐾‘{𝑋}))
129127, 128eqtrd 2768 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)})) = (𝐾‘{𝑋}))
130126, 129ineq12d 4213 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))) = (𝑊 ∩ (𝐾‘{𝑋})))
131 incom 4201 . . . . 5 (𝑊 ∩ (𝐾‘{𝑋})) = ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊)
132130, 131eqtrdi 2784 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))) = ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊))
1334, 72subg0 19087 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) = (0g𝐻))
1343, 133syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝐺) = (0g𝐻))
135 pgpfac.0 . . . . . 6 0 = (0g𝐻)
136134, 135eqtr4di 2786 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝐺) = 0 )
137136sneqd 4641 . . . 4 (𝜑 → {(0g𝐺)} = { 0 })
138123, 132, 1373eqtr4d 2778 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))) = {(0g𝐺)})
13948, 56, 70, 71, 72, 84, 116, 122, 138dmdprdsplit2 20003 . 2 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
140 eqid 2728 . . . . 5 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
14148, 56, 70, 140, 139dprdsplit 20005 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))))
142126, 129oveq12d 7438 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))) = (𝑊(LSSum‘𝐺)(𝐾‘{𝑋})))
143126, 119eqeltrrd 2830 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
144140lsmcom 19813 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑊(LSSum‘𝐺)(𝐾‘{𝑋})) = ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊))
145117, 143, 21, 144syl3anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (𝑊(LSSum‘𝐺)(𝐾‘{𝑋})) = ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊))
146141, 142, 1453eqtrd 2772 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊))
147 pgpfac.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
1487subgss 19082 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) → 𝑊 ⊆ (Base‘𝐻))
149147, 148syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ⊆ (Base‘𝐻))
150149, 13sseqtrrd 4021 . . . 4 (𝜑𝑊𝑈)
151 pgpfac.l . . . . 5 = (LSSum‘𝐻)
1524, 140, 151subglsm 19628 . . . 4 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈𝑊𝑈) → ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊) = ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊))
1533, 23, 150, 152syl3anc 1369 . . 3 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊) = ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊))
154 pgpfac.s . . 3 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
155146, 153, 1543eqtrd 2772 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈)
156 breq2 5152 . . . 4 (𝑠 = 𝑇 → (𝐺dom DProd 𝑠𝐺dom DProd 𝑇))
157 oveq2 7428 . . . . 5 (𝑠 = 𝑇 → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd 𝑇))
158157eqeq1d 2730 . . . 4 (𝑠 = 𝑇 → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈 ↔ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈))
159156, 158anbi12d 631 . . 3 (𝑠 = 𝑇 → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈) ↔ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈)))
160159rspcev 3609 . 2 ((𝑇 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈)) → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
16143, 139, 155, 160syl12anc 836 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3429  Vcvv 3471  cun 3945  cin 3946  wss 3947  wpss 3948  c0 4323  {csn 4629  cop 4635   class class class wbr 5148  dom cdm 5678  ran crn 5679  cres 5680   Fn wfn 6543  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8964  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142  cn 12243  0cn0 12503  cz 12589  cuz 12853  ..^cfzo 13660  chash 14322  Word cword 14497   ++ cconcat 14553  ⟨“cs1 14578  cprime 16642  Basecbs 17180  s cress 17209  0gc0g 17421  Moorecmre 17562  mrClscmrc 17563  ACScacs 17565  Grpcgrp 18890  SubGrpcsubg 19075  Cntzccntz 19266  odcod 19479  gExcgex 19480   pGrp cpgp 19481  LSSumclsm 19589  Abelcabl 19736  CycGrpccyg 19832   DProd cdprd 19950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-word 14498  df-concat 14554  df-s1 14579  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-gim 19213  df-cntz 19268  df-oppg 19297  df-od 19483  df-pgp 19485  df-lsm 19591  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-cyg 19833  df-dprd 19952
This theorem is referenced by:  pgpfaclem2  20039
  Copyright terms: Public domain W3C validator