MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfaclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfaclem1 19334
Description: Lemma for pgpfac 19337. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac.c 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
pgpfac.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac.a (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
pgpfac.h 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
pgpfac.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
pgpfac.o 𝑂 = (od‘𝐻)
pgpfac.e 𝐸 = (gEx‘𝐻)
pgpfac.0 0 = (0g𝐻)
pgpfac.l = (LSSum‘𝐻)
pgpfac.1 (𝜑𝐸 ≠ 1)
pgpfac.x (𝜑𝑋𝑈)
pgpfac.oe (𝜑 → (𝑂𝑋) = 𝐸)
pgpfac.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
pgpfac.i (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
pgpfac.s (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
pgpfac.2 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐶)
pgpfac.4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
pgpfac.5 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝑊)
pgpfac.t 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)
Assertion
Ref Expression
pgpfaclem1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐶   𝑠,𝑟,𝑡,𝐺   𝐾,𝑟,𝑠   𝜑,𝑡   𝐵,𝑠,𝑡   𝑈,𝑟,𝑠,𝑡   𝑊,𝑠,𝑡   𝑋,𝑟,𝑠   𝑇,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠,𝑟)   𝐵(𝑟)   𝐶(𝑟)   𝑃(𝑡,𝑠,𝑟)   (𝑡,𝑠,𝑟)   𝑆(𝑡,𝑠,𝑟)   𝑇(𝑡,𝑟)   𝐸(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐾(𝑡)   𝑂(𝑡,𝑠,𝑟)   𝑊(𝑟)   𝑋(𝑡)   0 (𝑡,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem pgpfaclem1
StepHypRef Expression
1 pgpfac.t . . 3 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)
2 pgpfac.2 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐶)
3 pgpfac.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 pgpfac.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
54subggrp 18412 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
63, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
7 eqid 2739 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
87subgacs 18443 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)))
96, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)))
109acsmred 17042 . . . . . . 7 (𝜑 → (SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)))
11 pgpfac.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑈)
124subgbas 18413 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 = (Base‘𝐻))
133, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐻))
1411, 13eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
15 pgpfac.k . . . . . . . 8 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
1615mrcsncl 16998 . . . . . . 7 (((SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
1710, 14, 16syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
184subsubg 18432 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
193, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
2017, 19mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
2120simpld 498 . . . 4 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
224oveq1i 7192 . . . . . . 7 (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) = ((𝐺s 𝑈) ↾s (𝐾‘{𝑋}))
2320simprd 499 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
24 ressabs 16678 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) → ((𝐺s 𝑈) ↾s (𝐾‘{𝑋})) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
253, 23, 24syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺s 𝑈) ↾s (𝐾‘{𝑋})) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
2622, 25syl5eq 2786 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
277, 15cycsubgcyg2 19153 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp)
286, 14, 27syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp)
2926, 28eqeltrrd 2835 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp)
30 pgpfac.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
31 pgpprm 18848 . . . . . . 7 (𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ)
3230, 31syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
33 subgpgp 18852 . . . . . . 7 ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 pGrp (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
3430, 21, 33syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑𝑃 pGrp (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
35 brelrng 5794 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp ∧ 𝑃 pGrp (𝐺s (𝐾‘{𝑋}))) → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ ran pGrp )
3632, 29, 34, 35syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ ran pGrp )
3729, 36elind 4094 . . . 4 (𝜑 → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp ))
38 oveq2 7190 . . . . . 6 (𝑟 = (𝐾‘{𝑋}) → (𝐺s 𝑟) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
3938eleq1d 2818 . . . . 5 (𝑟 = (𝐾‘{𝑋}) → ((𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp ) ↔ (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )))
40 pgpfac.c . . . . 5 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
4139, 40elrab2 3596 . . . 4 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )))
4221, 37, 41sylanbrc 586 . . 3 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ 𝐶)
431, 2, 42cats1cld 14318 . 2 (𝜑𝑇 ∈ Word 𝐶)
44 wrdf 13972 . . . . 5 (𝑇 ∈ Word 𝐶𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐶)
4543, 44syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐶)
4640ssrab3 3981 . . . 4 𝐶 ⊆ (SubGrp‘𝐺)
47 fss 6531 . . . 4 ((𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐶𝐶 ⊆ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶(SubGrp‘𝐺))
4845, 46, 47sylancl 589 . . 3 (𝜑𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶(SubGrp‘𝐺))
49 lencl 13986 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝐶 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
502, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
5150nn0zd 12178 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
52 fzosn 13211 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) ∈ ℤ → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + 1)) = {(♯‘𝑆)})
5351, 52syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + 1)) = {(♯‘𝑆)})
5453ineq2d 4113 . . . 4 (𝜑 → ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + 1))) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ {(♯‘𝑆)}))
55 fzodisj 13174 . . . 4 ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + 1))) = ∅
5654, 55eqtr3di 2789 . . 3 (𝜑 → ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ {(♯‘𝑆)}) = ∅)
571fveq2i 6689 . . . . . . 7 (♯‘𝑇) = (♯‘(𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩))
5842s1cld 14058 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩ ∈ Word 𝐶)
59 ccatlen 14028 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐶 ∧ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩ ∈ Word 𝐶) → (♯‘(𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
602, 58, 59syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
6157, 60syl5eq 2786 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑇) = ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
62 s1len 14061 . . . . . . 7 (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = 1
6362oveq2i 7193 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) + (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) = ((♯‘𝑆) + 1)
6461, 63eqtrdi 2790 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑇) = ((♯‘𝑆) + 1))
6564oveq2d 7198 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑇)) = (0..^((♯‘𝑆) + 1)))
66 nn0uz 12374 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
6750, 66eleqtrdi 2844 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
68 fzosplitsn 13248 . . . . 5 ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) → (0..^((♯‘𝑆) + 1)) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)}))
6967, 68syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0..^((♯‘𝑆) + 1)) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)}))
7065, 69eqtrd 2774 . . 3 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑇)) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)}))
71 eqid 2739 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
72 eqid 2739 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
73 pgpfac.4 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
74 cats1un 14184 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ 𝐶) → (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = (𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
752, 42, 74syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = (𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
761, 75syl5eq 2786 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
7776reseq1d 5834 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = ((𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) ↾ (0..^(♯‘𝑆))))
78 wrdfn 13981 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐶𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
792, 78syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
80 fzonel 13154 . . . . . 6 ¬ (♯‘𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝑆))
81 fsnunres 6972 . . . . . 6 ((𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)) ∧ ¬ (♯‘𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = 𝑆)
8279, 80, 81sylancl 589 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 ∪ {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = 𝑆)
8377, 82eqtrd 2774 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = 𝑆)
8473, 83breqtrrd 5068 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))))
85 fvex 6699 . . . . . 6 (♯‘𝑆) ∈ V
86 dprdsn 19289 . . . . . 6 (((♯‘𝑆) ∈ V ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) = (𝐾‘{𝑋})))
8785, 21, 86sylancr 590 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) = (𝐾‘{𝑋})))
8887simpld 498 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩})
89 wrdfn 13981 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ Word 𝐶𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
9043, 89syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
91 ssun2 4073 . . . . . . . 8 {(♯‘𝑆)} ⊆ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)})
9285snss 4684 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑆) ∈ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)}) ↔ {(♯‘𝑆)} ⊆ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)}))
9391, 92mpbir 234 . . . . . . 7 (♯‘𝑆) ∈ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ {(♯‘𝑆)})
9493, 70eleqtrrid 2841 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
95 fnressn 6942 . . . . . 6 ((𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}) = {⟨(♯‘𝑆), (𝑇‘(♯‘𝑆))⟩})
9690, 94, 95syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}) = {⟨(♯‘𝑆), (𝑇‘(♯‘𝑆))⟩})
971fveq1i 6687 . . . . . . . . 9 (𝑇‘(♯‘𝑆)) = ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(♯‘𝑆))
9850nn0cnd 12050 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
9998addid2d 10931 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 + (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑆))
10099fveq2d 6690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(♯‘𝑆)))
10197, 100eqtr4id 2793 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇‘(♯‘𝑆)) = ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))))
102 1nn 11739 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
10362, 102eqeltri 2830 . . . . . . . . . . 11 (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) ∈ ℕ
104 lbfzo0 13180 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) ↔ (♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) ∈ ℕ)
105103, 104mpbir 234 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩))
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
107 ccatval3 14034 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐶 ∧ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩ ∈ Word 𝐶 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩))) → ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0))
1082, 58, 106, 107syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0))
109 fvex 6699 . . . . . . . . 9 (𝐾‘{𝑋}) ∈ V
110 s1fv 14065 . . . . . . . . 9 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ V → (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0) = (𝐾‘{𝑋}))
111109, 110mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0) = (𝐾‘{𝑋}))
112101, 108, 1113eqtrd 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇‘(♯‘𝑆)) = (𝐾‘{𝑋}))
113112opeq2d 4778 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨(♯‘𝑆), (𝑇‘(♯‘𝑆))⟩ = ⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩)
114113sneqd 4538 . . . . 5 (𝜑 → {⟨(♯‘𝑆), (𝑇‘(♯‘𝑆))⟩} = {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩})
11596, 114eqtrd 2774 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}) = {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩})
11688, 115breqtrrd 5068 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))
117 pgpfac.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
118 dprdsubg 19277 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11984, 118syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
120 dprdsubg 19277 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
121116, 120syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
12271, 117, 119, 121ablcntzd 19108 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))))
123 pgpfac.i . . . 4 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
12483oveq2d 7198 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) = (𝐺 DProd 𝑆))
125 pgpfac.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝑊)
126124, 125eqtrd 2774 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) = 𝑊)
127115oveq2d 7198 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)})) = (𝐺 DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
12887simprd 499 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨(♯‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) = (𝐾‘{𝑋}))
129127, 128eqtrd 2774 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)})) = (𝐾‘{𝑋}))
130126, 129ineq12d 4114 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))) = (𝑊 ∩ (𝐾‘{𝑋})))
131 incom 4101 . . . . 5 (𝑊 ∩ (𝐾‘{𝑋})) = ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊)
132130, 131eqtrdi 2790 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))) = ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊))
1334, 72subg0 18415 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) = (0g𝐻))
1343, 133syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝐺) = (0g𝐻))
135 pgpfac.0 . . . . . 6 0 = (0g𝐻)
136134, 135eqtr4di 2792 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝐺) = 0 )
137136sneqd 4538 . . . 4 (𝜑 → {(0g𝐺)} = { 0 })
138123, 132, 1373eqtr4d 2784 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))) = {(0g𝐺)})
13948, 56, 70, 71, 72, 84, 116, 122, 138dmdprdsplit2 19299 . 2 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
140 eqid 2739 . . . . 5 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
14148, 56, 70, 140, 139dprdsplit 19301 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))))
142126, 129oveq12d 7200 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(♯‘𝑆))))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(♯‘𝑆)}))) = (𝑊(LSSum‘𝐺)(𝐾‘{𝑋})))
143126, 119eqeltrrd 2835 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
144140lsmcom 19109 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑊(LSSum‘𝐺)(𝐾‘{𝑋})) = ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊))
145117, 143, 21, 144syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (𝑊(LSSum‘𝐺)(𝐾‘{𝑋})) = ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊))
146141, 142, 1453eqtrd 2778 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊))
147 pgpfac.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
1487subgss 18410 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) → 𝑊 ⊆ (Base‘𝐻))
149147, 148syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ⊆ (Base‘𝐻))
150149, 13sseqtrrd 3928 . . . 4 (𝜑𝑊𝑈)
151 pgpfac.l . . . . 5 = (LSSum‘𝐻)
1524, 140, 151subglsm 18929 . . . 4 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈𝑊𝑈) → ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊) = ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊))
1533, 23, 150, 152syl3anc 1372 . . 3 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊) = ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊))
154 pgpfac.s . . 3 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
155146, 153, 1543eqtrd 2778 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈)
156 breq2 5044 . . . 4 (𝑠 = 𝑇 → (𝐺dom DProd 𝑠𝐺dom DProd 𝑇))
157 oveq2 7190 . . . . 5 (𝑠 = 𝑇 → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd 𝑇))
158157eqeq1d 2741 . . . 4 (𝑠 = 𝑇 → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈 ↔ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈))
159156, 158anbi12d 634 . . 3 (𝑠 = 𝑇 → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈) ↔ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈)))
160159rspcev 3529 . 2 ((𝑇 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈)) → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
16143, 139, 155, 160syl12anc 836 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  wral 3054  wrex 3055  {crab 3058  Vcvv 3400  cun 3851  cin 3852  wss 3853  wpss 3854  c0 4221  {csn 4526  cop 4532   class class class wbr 5040  dom cdm 5535  ran crn 5536  cres 5537   Fn wfn 6344  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7182  Fincfn 8567  0cc0 10627  1c1 10628   + caddc 10630  cn 11728  0cn0 11988  cz 12074  cuz 12336  ..^cfzo 13136  chash 13794  Word cword 13967   ++ cconcat 14023  ⟨“cs1 14050  cprime 16124  Basecbs 16598  s cress 16599  0gc0g 16828  Moorecmre 16968  mrClscmrc 16969  ACScacs 16971  Grpcgrp 18231  SubGrpcsubg 18403  Cntzccntz 18575  odcod 18782  gExcgex 18783   pGrp cpgp 18784  LSSumclsm 18889  Abelcabl 19037  CycGrpccyg 19127   DProd cdprd 19246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-of 7437  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-supp 7869  df-tpos 7933  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-er 8332  df-map 8451  df-ixp 8520  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-fsupp 8919  df-sup 8991  df-inf 8992  df-oi 9059  df-card 9453  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-2 11791  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-seq 13473  df-hash 13795  df-word 13968  df-concat 14024  df-s1 14051  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-sets 16605  df-ress 16606  df-plusg 16693  df-0g 16830  df-gsum 16831  df-mre 16972  df-mrc 16973  df-acs 16975  df-mgm 17980  df-sgrp 18029  df-mnd 18040  df-mhm 18084  df-submnd 18085  df-grp 18234  df-minusg 18235  df-sbg 18236  df-mulg 18355  df-subg 18406  df-ghm 18486  df-gim 18529  df-cntz 18577  df-oppg 18604  df-od 18786  df-pgp 18788  df-lsm 18891  df-cmn 19038  df-abl 19039  df-cyg 19128  df-dprd 19248
This theorem is referenced by:  pgpfaclem2  19335
  Copyright terms: Public domain W3C validator