MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfac1lem3a 19862
Description: Lemma for pgpfac1 19866. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.s 𝑆 = (πΎβ€˜{𝐴})
pgpfac1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
pgpfac1.o 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
pgpfac1.e 𝐸 = (gExβ€˜πΊ)
pgpfac1.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
pgpfac1.l βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
pgpfac1.p (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π΄) = 𝐸)
pgpfac1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.au (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
pgpfac1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.i (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ π‘Š) = { 0 })
pgpfac1.ss (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† π‘ˆ)
pgpfac1.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑀 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀))
pgpfac1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
pgpfac1.mg Β· = (.gβ€˜πΊ)
pgpfac1.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
pgpfac1.mw (πœ‘ β†’ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem3a (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝐸 ∧ 𝑃 βˆ₯ 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐴   𝑀, βŠ•   𝑀,𝑃   𝑀,𝐺   𝑀,π‘ˆ   𝑀,𝐢   𝑀,𝑆   𝑀,π‘Š   πœ‘,𝑀   𝑀, Β·   𝑀,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑀)   𝐸(𝑀)   𝑀(𝑀)   𝑂(𝑀)   0 (𝑀)

Proof of Theorem pgpfac1lem3a
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
21eldifbd 3928 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
3 pgpfac1.p . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
4 pgpprm 19382 . . . . . . . 8 (𝑃 pGrp 𝐺 β†’ 𝑃 ∈ β„™)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
6 pgpfac1.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
7 ablgrp 19574 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
9 pgpfac1.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
10 pgpfac1.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
11 pgpfac1.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (gExβ€˜πΊ)
1210, 11gexcl2 19378 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ 𝐸 ∈ β„•)
138, 9, 12syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„•)
14 pceq0 16750 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝐸 ∈ β„•) β†’ ((𝑃 pCnt 𝐸) = 0 ↔ Β¬ 𝑃 βˆ₯ 𝐸))
155, 13, 14syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑃 pCnt 𝐸) = 0 ↔ Β¬ 𝑃 βˆ₯ 𝐸))
16 oveq2 7370 . . . . . 6 ((𝑃 pCnt 𝐸) = 0 β†’ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0))
1715, 16syl6bir 254 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑃 βˆ₯ 𝐸 β†’ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0)))
1810grpbn0 18786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
198, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
20 hashnncl 14273 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π΅) ∈ β„• ↔ 𝐡 β‰  βˆ…))
219, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π΅) ∈ β„• ↔ 𝐡 β‰  βˆ…))
2219, 21mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•)
235, 22pccld 16729 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅)) ∈ β„•0)
2410, 11gexdvds3 19379 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ 𝐸 βˆ₯ (β™―β€˜π΅))
258, 9, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 βˆ₯ (β™―β€˜π΅))
2610pgphash 19396 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜π΅) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))))
273, 9, 26syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))))
2825, 27breqtrd 5136 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 βˆ₯ (𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))))
29 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅)) β†’ (π‘ƒβ†‘π‘˜) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))))
3029breq2d 5122 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅)) β†’ (𝐸 βˆ₯ (π‘ƒβ†‘π‘˜) ↔ 𝐸 βˆ₯ (𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅)))))
3130rspcev 3584 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅)) ∈ β„•0 ∧ 𝐸 βˆ₯ (𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅)))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝐸 βˆ₯ (π‘ƒβ†‘π‘˜))
3223, 28, 31syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝐸 βˆ₯ (π‘ƒβ†‘π‘˜))
33 pcprmpw2 16761 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝐸 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝐸 βˆ₯ (π‘ƒβ†‘π‘˜) ↔ 𝐸 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸))))
345, 13, 33syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝐸 βˆ₯ (π‘ƒβ†‘π‘˜) ↔ 𝐸 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸))))
3532, 34mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)))
3635eqcomd 2743 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = 𝐸)
37 prmnn 16557 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
385, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
3938nncnd 12176 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
4039exp0d 14052 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃↑0) = 1)
4136, 40eqeq12d 2753 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0) ↔ 𝐸 = 1))
428grpmndd 18767 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
4310, 11gex1 19380 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (𝐸 = 1 ↔ 𝐡 β‰ˆ 1o))
4442, 43syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐸 = 1 ↔ 𝐡 β‰ˆ 1o))
4541, 44bitrd 279 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0) ↔ 𝐡 β‰ˆ 1o))
4617, 45sylibd 238 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑃 βˆ₯ 𝐸 β†’ 𝐡 β‰ˆ 1o))
47 pgpfac1.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (πΎβ€˜{𝐴})
4810subgacs 18970 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
498, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
5049acsmred 17543 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
51 pgpfac1.u . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
5210subgss 18936 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
54 pgpfac1.au . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
5553, 54sseldd 3950 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
56 pgpfac1.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
5756mrcsncl 17499 . . . . . . . . . . . 12 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
5850, 55, 57syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
5947, 58eqeltrid 2842 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
60 pgpfac1.w . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
61 pgpfac1.l . . . . . . . . . . 11 βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
6261lsmsubg2 19644 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
636, 59, 60, 62syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
64 pgpfac1.z . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜πΊ)
6564subg0cl 18943 . . . . . . . . 9 ((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 0 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
6663, 65syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
6766snssd 4774 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ { 0 } βŠ† (𝑆 βŠ• π‘Š))
6867adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰ˆ 1o) β†’ { 0 } βŠ† (𝑆 βŠ• π‘Š))
691eldifad 3927 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
7053, 69sseldd 3950 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
7170adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰ˆ 1o) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
7210, 64grpidcl 18785 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐡)
738, 72syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
74 en1eqsn 9225 . . . . . . . 8 (( 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝐡 β‰ˆ 1o) β†’ 𝐡 = { 0 })
7573, 74sylan 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰ˆ 1o) β†’ 𝐡 = { 0 })
7671, 75eleqtrd 2840 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰ˆ 1o) β†’ 𝐢 ∈ { 0 })
7768, 76sseldd 3950 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰ˆ 1o) β†’ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
7877ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 β‰ˆ 1o β†’ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
7946, 78syld 47 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑃 βˆ₯ 𝐸 β†’ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
802, 79mt3d 148 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ 𝐸)
81 pgpfac1.oe . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π΄) = 𝐸)
8213nncnd 12176 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
8338nnne0d 12210 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 β‰  0)
8482, 39, 83divcan1d 11939 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑃) = 𝐸)
8581, 84eqtr4d 2780 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π΄) = ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑃))
86 nndivdvds 16152 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„•) β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝐸 ↔ (𝐸 / 𝑃) ∈ β„•))
8713, 38, 86syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝐸 ↔ (𝐸 / 𝑃) ∈ β„•))
8880, 87mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑃) ∈ β„•)
8988nnzd 12533 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑃) ∈ β„€)
90 pgpfac1.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
9189, 90zmulcld 12620 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) ∈ β„€)
9255snssd 4774 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† 𝐡)
9350, 56, 92mrcssidd 17512 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† (πΎβ€˜{𝐴}))
9493, 47sseqtrrdi 4000 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† 𝑆)
95 snssg 4749 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ {𝐴} βŠ† 𝑆))
9654, 95syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ {𝐴} βŠ† 𝑆))
9794, 96mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
98 pgpfac1.mg . . . . . . . . . 10 Β· = (.gβ€˜πΊ)
9998subgmulgcl 18948 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) ∈ 𝑆)
10059, 91, 97, 99syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) ∈ 𝑆)
101 prmz 16558 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
1025, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
10310, 98mulgcl 18900 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡)
1048, 102, 70, 103syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡)
10510, 98mulgcl 18900 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (𝑀 Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
1068, 90, 55, 105syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
107 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
10810, 98, 107mulgdi 19612 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ β„€ ∧ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡 ∧ (𝑀 Β· 𝐴) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐸 / 𝑃) Β· ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴))) = (((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐢))(+gβ€˜πΊ)((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑀 Β· 𝐴))))
1096, 89, 104, 106, 108syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / 𝑃) Β· ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴))) = (((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐢))(+gβ€˜πΊ)((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑀 Β· 𝐴))))
11084oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑃) Β· 𝐢) = (𝐸 Β· 𝐢))
11110, 98mulgass 18920 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑃) Β· 𝐢) = ((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐢)))
1128, 89, 102, 70, 111syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑃) Β· 𝐢) = ((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐢)))
11310, 11, 98, 64gexid 19370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐢 ∈ 𝐡 β†’ (𝐸 Β· 𝐢) = 0 )
11470, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸 Β· 𝐢) = 0 )
115110, 112, 1143eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 = ((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐢)))
11610, 98mulgass 18920 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) = ((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑀 Β· 𝐴)))
1178, 89, 90, 55, 116syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) = ((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑀 Β· 𝐴)))
118115, 117oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ( 0 (+gβ€˜πΊ)(((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴)) = (((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐢))(+gβ€˜πΊ)((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑀 Β· 𝐴))))
11910subgss 18936 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
12059, 119syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
121120, 100sseldd 3950 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
12210, 107, 64grplid 18787 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (+gβ€˜πΊ)(((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴)) = (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴))
1238, 121, 122syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ( 0 (+gβ€˜πΊ)(((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴)) = (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴))
124109, 118, 1233eqtr2d 2783 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / 𝑃) Β· ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴))) = (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴))
125 pgpfac1.mw . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)
12698subgmulgcl 18948 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (𝐸 / 𝑃) ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴)) ∈ π‘Š) β†’ ((𝐸 / 𝑃) Β· ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴))) ∈ π‘Š)
12760, 89, 125, 126syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / 𝑃) Β· ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴))) ∈ π‘Š)
128124, 127eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) ∈ π‘Š)
129100, 128elind 4159 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) ∈ (𝑆 ∩ π‘Š))
130 pgpfac1.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ π‘Š) = { 0 })
131129, 130eleqtrd 2840 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) ∈ { 0 })
132 elsni 4608 . . . . . 6 ((((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) ∈ { 0 } β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) = 0 )
133131, 132syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) = 0 )
134 pgpfac1.o . . . . . . 7 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
13510, 134, 98, 64oddvds 19336 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) ∈ β„€) β†’ ((π‘‚β€˜π΄) βˆ₯ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) ↔ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) = 0 ))
1368, 55, 91, 135syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜π΄) βˆ₯ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) ↔ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) = 0 ))
137133, 136mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π΄) βˆ₯ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀))
13885, 137eqbrtrrd 5134 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑃) βˆ₯ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀))
13988nnne0d 12210 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑃) β‰  0)
140 dvdscmulr 16174 . . . 4 ((𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ β„€ ∧ (𝐸 / 𝑃) β‰  0)) β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑃) βˆ₯ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) ↔ 𝑃 βˆ₯ 𝑀))
141102, 90, 89, 139, 140syl112anc 1375 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑃) βˆ₯ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) ↔ 𝑃 βˆ₯ 𝑀))
142138, 141mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ 𝑀)
14380, 142jca 513 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝐸 ∧ 𝑃 βˆ₯ 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915   ⊊ wpss 3916  βˆ…c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1oc1o 8410   β‰ˆ cen 8887  Fincfn 8890  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β†‘cexp 13974  β™―chash 14237   βˆ₯ cdvds 16143  β„™cprime 16554   pCnt cpc 16715  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  0gc0g 17328  Moorecmre 17469  mrClscmrc 17470  ACScacs 17472  Mndcmnd 18563  Grpcgrp 18755  .gcmg 18879  SubGrpcsubg 18929  odcod 19313  gExcgex 19314   pGrp cpgp 19315  LSSumclsm 19423  Abelcabl 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-eqg 18934  df-ga 19077  df-cntz 19104  df-od 19317  df-gex 19318  df-pgp 19319  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem3  19863
  Copyright terms: Public domain W3C validator