MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfac1lem3a 19127
Description: Lemma for pgpfac1 19131. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z 0 = (0g𝐺)
pgpfac1.l = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au (𝜑𝐴𝑈)
pgpfac1.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
pgpfac1.mg · = (.g𝐺)
pgpfac1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
pgpfac1.mw (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem3a (𝜑 → (𝑃𝐸𝑃𝑀))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,   𝑤,𝑃   𝑤,𝐺   𝑤,𝑈   𝑤,𝐶   𝑤,𝑆   𝑤,𝑊   𝜑,𝑤   𝑤, ·   𝑤,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐸(𝑤)   𝑀(𝑤)   𝑂(𝑤)   0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem3a
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
21eldifbd 3946 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))
3 pgpfac1.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
4 pgpprm 18647 . . . . . . . 8 (𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
6 pgpfac1.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
7 ablgrp 18840 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
9 pgpfac1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
10 pgpfac1.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐺)
11 pgpfac1.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (gEx‘𝐺)
1210, 11gexcl2 18643 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ)
138, 9, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
14 pceq0 16195 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝐸) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝐸))
155, 13, 14syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝐸) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝐸))
16 oveq2 7153 . . . . . 6 ((𝑃 pCnt 𝐸) = 0 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0))
1715, 16syl6bir 255 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑃𝐸 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0)))
1810grpbn0 18070 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
198, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
20 hashnncl 13715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
219, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
2219, 21mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
235, 22pccld 16175 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
2410, 11gexdvds3 18644 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (♯‘𝐵))
258, 9, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∥ (♯‘𝐵))
2610pgphash 18661 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 pGrp 𝐺𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
273, 9, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
2825, 27breqtrd 5083 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
29 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) → (𝑃𝑘) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
3029breq2d 5069 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) → (𝐸 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 𝐸 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))
3130rspcev 3620 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝐸 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐸 ∥ (𝑃𝑘))
3223, 28, 31syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐸 ∥ (𝑃𝑘))
33 pcprmpw2 16206 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐸 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 𝐸 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸))))
345, 13, 33syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐸 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 𝐸 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸))))
3532, 34mpbid 233 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)))
3635eqcomd 2824 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = 𝐸)
37 prmnn 16006 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
385, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
3938nncnd 11642 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
4039exp0d 13492 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃↑0) = 1)
4136, 40eqeq12d 2834 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0) ↔ 𝐸 = 1))
42 grpmnd 18048 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
438, 42syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
4410, 11gex1 18645 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd → (𝐸 = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
4543, 44syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
4641, 45bitrd 280 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0) ↔ 𝐵 ≈ 1o))
4717, 46sylibd 240 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝑃𝐸𝐵 ≈ 1o))
48 pgpfac1.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
4910subgacs 18251 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
508, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
5150acsmred 16915 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
52 pgpfac1.u . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5310subgss 18218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈𝐵)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈𝐵)
55 pgpfac1.au . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑈)
5654, 55sseldd 3965 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐵)
57 pgpfac1.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
5857mrcsncl 16871 . . . . . . . . . . . 12 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
5951, 56, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
6048, 59eqeltrid 2914 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
61 pgpfac1.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
62 pgpfac1.l . . . . . . . . . . 11 = (LSSum‘𝐺)
6362lsmsubg2 18908 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
646, 60, 61, 63syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
65 pgpfac1.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐺)
6665subg0cl 18225 . . . . . . . . 9 ((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆 𝑊))
6764, 66syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑0 ∈ (𝑆 𝑊))
6867snssd 4734 . . . . . . 7 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑆 𝑊))
6968adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≈ 1o) → { 0 } ⊆ (𝑆 𝑊))
701eldifad 3945 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑈)
7154, 70sseldd 3965 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝐵)
7271adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ≈ 1o) → 𝐶𝐵)
7310, 65grpidcl 18069 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
748, 73syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑0𝐵)
75 en1eqsn 8736 . . . . . . . 8 (( 0𝐵𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = { 0 })
7674, 75sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = { 0 })
7772, 76eleqtrd 2912 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≈ 1o) → 𝐶 ∈ { 0 })
7869, 77sseldd 3965 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ≈ 1o) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))
7978ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ≈ 1o𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
8047, 79syld 47 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑃𝐸𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
812, 80mt3d 150 . 2 (𝜑𝑃𝐸)
82 pgpfac1.oe . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
8313nncnd 11642 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
8438nnne0d 11675 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ≠ 0)
8583, 39, 84divcan1d 11405 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) = 𝐸)
8682, 85eqtr4d 2856 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) = ((𝐸 / 𝑃) · 𝑃))
87 nndivdvds 15604 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃𝐸 ↔ (𝐸 / 𝑃) ∈ ℕ))
8813, 38, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃𝐸 ↔ (𝐸 / 𝑃) ∈ ℕ))
8981, 88mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / 𝑃) ∈ ℕ)
9089nnzd 12074 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ)
91 pgpfac1.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9290, 91zmulcld 12081 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ∈ ℤ)
9356snssd 4734 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
9451, 57, 93mrcssidd 16884 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴}))
9594, 48sseqtrrdi 4015 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝑆)
96 snssg 4709 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑈 → (𝐴𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
9755, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
9895, 97mpbird 258 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑆)
99 pgpfac1.mg . . . . . . . . . 10 · = (.g𝐺)
10099subgmulgcl 18230 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑆) → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝑆)
10160, 92, 98, 100syl3anc 1363 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝑆)
102 prmz 16007 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1035, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
10410, 99mulgcl 18183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐵) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
1058, 103, 71, 104syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
10610, 99mulgcl 18183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) → (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝐵)
1078, 91, 56, 106syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝐵)
108 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐺) = (+g𝐺)
10910, 99, 108mulgdi 18876 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴))) = (((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶))(+g𝐺)((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴))))
1106, 90, 105, 107, 109syl13anc 1364 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴))) = (((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶))(+g𝐺)((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴))))
11185oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐶) = (𝐸 · 𝐶))
11210, 99mulgass 18202 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐵)) → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐶) = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶)))
1138, 90, 103, 71, 112syl13anc 1364 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐶) = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶)))
11410, 11, 99, 65gexid 18635 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶𝐵 → (𝐸 · 𝐶) = 0 )
11571, 114syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 · 𝐶) = 0 )
116111, 113, 1153eqtr3rd 2862 . . . . . . . . . . 11 (𝜑0 = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶)))
11710, 99mulgass 18202 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴)))
1188, 90, 91, 56, 117syl13anc 1364 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴)))
119116, 118oveq12d 7163 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( 0 (+g𝐺)(((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴)) = (((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶))(+g𝐺)((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴))))
12010subgss 18218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝐵)
12160, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆𝐵)
122121, 101sseldd 3965 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝐵)
12310, 108, 65grplid 18071 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝐺)(((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴)) = (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴))
1248, 122, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( 0 (+g𝐺)(((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴)) = (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴))
125110, 119, 1243eqtr2d 2859 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴))) = (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴))
126 pgpfac1.mw . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
12799subgmulgcl 18230 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊) → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴))) ∈ 𝑊)
12861, 90, 126, 127syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴))) ∈ 𝑊)
129125, 128eqeltrrd 2911 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝑊)
130101, 129elind 4168 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ (𝑆𝑊))
131 pgpfac1.i . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
132130, 131eleqtrd 2912 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ { 0 })
133 elsni 4574 . . . . . 6 ((((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ { 0 } → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = 0 )
134132, 133syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = 0 )
135 pgpfac1.o . . . . . . 7 𝑂 = (od‘𝐺)
13610, 135, 99, 65oddvds 18604 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵 ∧ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ↔ (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = 0 ))
1378, 56, 92, 136syl3anc 1363 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝐴) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ↔ (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = 0 ))
138134, 137mpbird 258 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀))
13986, 138eqbrtrrd 5081 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀))
14089nnne0d 11675 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 / 𝑃) ≠ 0)
141 dvdscmulr 15626 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝐸 / 𝑃) ≠ 0)) → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ↔ 𝑃𝑀))
142103, 91, 90, 140, 141syl112anc 1366 . . 3 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ↔ 𝑃𝑀))
143139, 142mpbid 233 . 2 (𝜑𝑃𝑀)
14481, 143jca 512 1 (𝜑 → (𝑃𝐸𝑃𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  cdif 3930  cin 3932  wss 3933  wpss 3934  c0 4288  {csn 4557   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  1oc1o 8084  cen 8494  Fincfn 8497  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530   / cdiv 11285  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  cexp 13417  chash 13678  cdvds 15595  cprime 16003   pCnt cpc 16161  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  Moorecmre 16841  mrClscmrc 16842  ACScacs 16844  Mndcmnd 17899  Grpcgrp 18041  .gcmg 18162  SubGrpcsubg 18211  odcod 18581  gExcgex 18582   pGrp cpgp 18583  LSSumclsm 18688  Abelcabl 18836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-pc 16162  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-eqg 18216  df-ga 18358  df-cntz 18385  df-od 18585  df-gex 18586  df-pgp 18587  df-lsm 18690  df-cmn 18837  df-abl 18838
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem3  19128
  Copyright terms: Public domain W3C validator