MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfac1lem3a 19987
Description: Lemma for pgpfac1 19991. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.s 𝑆 = (πΎβ€˜{𝐴})
pgpfac1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
pgpfac1.o 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
pgpfac1.e 𝐸 = (gExβ€˜πΊ)
pgpfac1.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
pgpfac1.l βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
pgpfac1.p (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π΄) = 𝐸)
pgpfac1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.au (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
pgpfac1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.i (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ π‘Š) = { 0 })
pgpfac1.ss (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† π‘ˆ)
pgpfac1.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑀 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀))
pgpfac1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
pgpfac1.mg Β· = (.gβ€˜πΊ)
pgpfac1.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
pgpfac1.mw (πœ‘ β†’ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem3a (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝐸 ∧ 𝑃 βˆ₯ 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐴   𝑀, βŠ•   𝑀,𝑃   𝑀,𝐺   𝑀,π‘ˆ   𝑀,𝐢   𝑀,𝑆   𝑀,π‘Š   πœ‘,𝑀   𝑀, Β·   𝑀,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑀)   𝐸(𝑀)   𝑀(𝑀)   𝑂(𝑀)   0 (𝑀)

Proof of Theorem pgpfac1lem3a
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
21eldifbd 3960 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
3 pgpfac1.p . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
4 pgpprm 19502 . . . . . . . 8 (𝑃 pGrp 𝐺 β†’ 𝑃 ∈ β„™)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
6 pgpfac1.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
7 ablgrp 19694 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
9 pgpfac1.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
10 pgpfac1.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
11 pgpfac1.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (gExβ€˜πΊ)
1210, 11gexcl2 19498 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ 𝐸 ∈ β„•)
138, 9, 12syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„•)
14 pceq0 16808 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝐸 ∈ β„•) β†’ ((𝑃 pCnt 𝐸) = 0 ↔ Β¬ 𝑃 βˆ₯ 𝐸))
155, 13, 14syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑃 pCnt 𝐸) = 0 ↔ Β¬ 𝑃 βˆ₯ 𝐸))
16 oveq2 7419 . . . . . 6 ((𝑃 pCnt 𝐸) = 0 β†’ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0))
1715, 16syl6bir 253 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑃 βˆ₯ 𝐸 β†’ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0)))
1810grpbn0 18887 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
198, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
20 hashnncl 14330 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π΅) ∈ β„• ↔ 𝐡 β‰  βˆ…))
219, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π΅) ∈ β„• ↔ 𝐡 β‰  βˆ…))
2219, 21mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) ∈ β„•)
235, 22pccld 16787 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅)) ∈ β„•0)
2410, 11gexdvds3 19499 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ 𝐸 βˆ₯ (β™―β€˜π΅))
258, 9, 24syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 βˆ₯ (β™―β€˜π΅))
2610pgphash 19516 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜π΅) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))))
273, 9, 26syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))))
2825, 27breqtrd 5173 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 βˆ₯ (𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))))
29 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅)) β†’ (π‘ƒβ†‘π‘˜) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅))))
3029breq2d 5159 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅)) β†’ (𝐸 βˆ₯ (π‘ƒβ†‘π‘˜) ↔ 𝐸 βˆ₯ (𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅)))))
3130rspcev 3611 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅)) ∈ β„•0 ∧ 𝐸 βˆ₯ (𝑃↑(𝑃 pCnt (β™―β€˜π΅)))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝐸 βˆ₯ (π‘ƒβ†‘π‘˜))
3223, 28, 31syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝐸 βˆ₯ (π‘ƒβ†‘π‘˜))
33 pcprmpw2 16819 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝐸 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝐸 βˆ₯ (π‘ƒβ†‘π‘˜) ↔ 𝐸 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸))))
345, 13, 33syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝐸 βˆ₯ (π‘ƒβ†‘π‘˜) ↔ 𝐸 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸))))
3532, 34mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)))
3635eqcomd 2736 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = 𝐸)
37 prmnn 16615 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
385, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
3938nncnd 12232 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
4039exp0d 14109 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃↑0) = 1)
4136, 40eqeq12d 2746 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0) ↔ 𝐸 = 1))
428grpmndd 18868 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
4310, 11gex1 19500 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (𝐸 = 1 ↔ 𝐡 β‰ˆ 1o))
4442, 43syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐸 = 1 ↔ 𝐡 β‰ˆ 1o))
4541, 44bitrd 278 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0) ↔ 𝐡 β‰ˆ 1o))
4617, 45sylibd 238 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑃 βˆ₯ 𝐸 β†’ 𝐡 β‰ˆ 1o))
47 pgpfac1.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (πΎβ€˜{𝐴})
4810subgacs 19077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
498, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
5049acsmred 17604 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
51 pgpfac1.u . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
5210subgss 19043 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
54 pgpfac1.au . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
5553, 54sseldd 3982 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
56 pgpfac1.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
5756mrcsncl 17560 . . . . . . . . . . . 12 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
5850, 55, 57syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
5947, 58eqeltrid 2835 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
60 pgpfac1.w . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
61 pgpfac1.l . . . . . . . . . . 11 βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
6261lsmsubg2 19768 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
636, 59, 60, 62syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
64 pgpfac1.z . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜πΊ)
6564subg0cl 19050 . . . . . . . . 9 ((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 0 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
6663, 65syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
6766snssd 4811 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ { 0 } βŠ† (𝑆 βŠ• π‘Š))
6867adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰ˆ 1o) β†’ { 0 } βŠ† (𝑆 βŠ• π‘Š))
691eldifad 3959 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
7053, 69sseldd 3982 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
7170adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰ˆ 1o) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
7210, 64grpidcl 18886 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐡)
738, 72syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
74 en1eqsn 9276 . . . . . . . 8 (( 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝐡 β‰ˆ 1o) β†’ 𝐡 = { 0 })
7573, 74sylan 578 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰ˆ 1o) β†’ 𝐡 = { 0 })
7671, 75eleqtrd 2833 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰ˆ 1o) β†’ 𝐢 ∈ { 0 })
7768, 76sseldd 3982 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰ˆ 1o) β†’ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
7877ex 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 β‰ˆ 1o β†’ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
7946, 78syld 47 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑃 βˆ₯ 𝐸 β†’ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
802, 79mt3d 148 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ 𝐸)
81 pgpfac1.oe . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π΄) = 𝐸)
8213nncnd 12232 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
8338nnne0d 12266 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 β‰  0)
8482, 39, 83divcan1d 11995 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑃) = 𝐸)
8581, 84eqtr4d 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π΄) = ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑃))
86 nndivdvds 16210 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„•) β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝐸 ↔ (𝐸 / 𝑃) ∈ β„•))
8713, 38, 86syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝐸 ↔ (𝐸 / 𝑃) ∈ β„•))
8880, 87mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑃) ∈ β„•)
8988nnzd 12589 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑃) ∈ β„€)
90 pgpfac1.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
9189, 90zmulcld 12676 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) ∈ β„€)
9255snssd 4811 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† 𝐡)
9350, 56, 92mrcssidd 17573 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† (πΎβ€˜{𝐴}))
9493, 47sseqtrrdi 4032 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† 𝑆)
95 snssg 4786 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ {𝐴} βŠ† 𝑆))
9654, 95syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ {𝐴} βŠ† 𝑆))
9794, 96mpbird 256 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
98 pgpfac1.mg . . . . . . . . . 10 Β· = (.gβ€˜πΊ)
9998subgmulgcl 19055 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) ∈ 𝑆)
10059, 91, 97, 99syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) ∈ 𝑆)
101 prmz 16616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
1025, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
10310, 98mulgcl 19007 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡)
1048, 102, 70, 103syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡)
10510, 98mulgcl 19007 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (𝑀 Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
1068, 90, 55, 105syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
107 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
10810, 98, 107mulgdi 19735 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ β„€ ∧ (𝑃 Β· 𝐢) ∈ 𝐡 ∧ (𝑀 Β· 𝐴) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐸 / 𝑃) Β· ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴))) = (((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐢))(+gβ€˜πΊ)((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑀 Β· 𝐴))))
1096, 89, 104, 106, 108syl13anc 1370 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / 𝑃) Β· ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴))) = (((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐢))(+gβ€˜πΊ)((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑀 Β· 𝐴))))
11084oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑃) Β· 𝐢) = (𝐸 Β· 𝐢))
11110, 98mulgass 19027 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑃) Β· 𝐢) = ((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐢)))
1128, 89, 102, 70, 111syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑃) Β· 𝐢) = ((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐢)))
11310, 11, 98, 64gexid 19490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐢 ∈ 𝐡 β†’ (𝐸 Β· 𝐢) = 0 )
11470, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸 Β· 𝐢) = 0 )
115110, 112, 1143eqtr3rd 2779 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 = ((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐢)))
11610, 98mulgass 19027 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) = ((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑀 Β· 𝐴)))
1178, 89, 90, 55, 116syl13anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) = ((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑀 Β· 𝐴)))
118115, 117oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ( 0 (+gβ€˜πΊ)(((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴)) = (((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐢))(+gβ€˜πΊ)((𝐸 / 𝑃) Β· (𝑀 Β· 𝐴))))
11910subgss 19043 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
12059, 119syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
121120, 100sseldd 3982 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
12210, 107, 64grplid 18888 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (+gβ€˜πΊ)(((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴)) = (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴))
1238, 121, 122syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ( 0 (+gβ€˜πΊ)(((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴)) = (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴))
124109, 118, 1233eqtr2d 2776 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / 𝑃) Β· ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴))) = (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴))
125 pgpfac1.mw . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)
12698subgmulgcl 19055 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (𝐸 / 𝑃) ∈ β„€ ∧ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴)) ∈ π‘Š) β†’ ((𝐸 / 𝑃) Β· ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴))) ∈ π‘Š)
12760, 89, 125, 126syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / 𝑃) Β· ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴))) ∈ π‘Š)
128124, 127eqeltrrd 2832 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) ∈ π‘Š)
129100, 128elind 4193 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) ∈ (𝑆 ∩ π‘Š))
130 pgpfac1.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ π‘Š) = { 0 })
131129, 130eleqtrd 2833 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) ∈ { 0 })
132 elsni 4644 . . . . . 6 ((((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) ∈ { 0 } β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) = 0 )
133131, 132syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) = 0 )
134 pgpfac1.o . . . . . . 7 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
13510, 134, 98, 64oddvds 19456 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) ∈ β„€) β†’ ((π‘‚β€˜π΄) βˆ₯ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) ↔ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) = 0 ))
1368, 55, 91, 135syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜π΄) βˆ₯ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) ↔ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) Β· 𝐴) = 0 ))
137133, 136mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π΄) βˆ₯ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀))
13885, 137eqbrtrrd 5171 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑃) βˆ₯ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀))
13988nnne0d 12266 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 / 𝑃) β‰  0)
140 dvdscmulr 16232 . . . 4 ((𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ β„€ ∧ (𝐸 / 𝑃) β‰  0)) β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑃) βˆ₯ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) ↔ 𝑃 βˆ₯ 𝑀))
141102, 90, 89, 139, 140syl112anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑃) βˆ₯ ((𝐸 / 𝑃) Β· 𝑀) ↔ 𝑃 βˆ₯ 𝑀))
142138, 141mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ 𝑀)
14380, 142jca 510 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝐸 ∧ 𝑃 βˆ₯ 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   ⊊ wpss 3948  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  1oc1o 8461   β‰ˆ cen 8938  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β†‘cexp 14031  β™―chash 14294   βˆ₯ cdvds 16201  β„™cprime 16612   pCnt cpc 16773  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  0gc0g 17389  Moorecmre 17530  mrClscmrc 17531  ACScacs 17533  Mndcmnd 18659  Grpcgrp 18855  .gcmg 18986  SubGrpcsubg 19036  odcod 19433  gExcgex 19434   pGrp cpgp 19435  LSSumclsm 19543  Abelcabl 19690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16774  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-eqg 19041  df-ga 19195  df-cntz 19222  df-od 19437  df-gex 19438  df-pgp 19439  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem3  19988
  Copyright terms: Public domain W3C validator