Theorem pgpfac1lem3a 20139

Description: Lemma for pgpfac1 20143. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgpfac1.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s	⊢ 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pgpfac1.l	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
pgpfac1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss	⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤 ⊊ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑤) → ¬ (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
pgpfac1.mg	⊢ · = (.g‘𝐺)
pgpfac1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
pgpfac1.mw	⊢ (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pgpfac1lem3a	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝐸 ∧ 𝑃 ∥ 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤, ⊕   𝑤,𝑃   𝑤,𝐺   𝑤,𝑈   𝑤,𝐶   𝑤,𝑆   𝑤,𝑊   𝜑,𝑤   𝑤, ·   𝑤,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐸(𝑤)   𝑀(𝑤)   𝑂(𝑤)   0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem3a

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgpfac1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
2	1	eldifbd 3920	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
3		pgpfac1.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp 𝐺)
4		pgpprm 19654	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 → 𝑃 ∈ ℙ)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
6		pgpfac1.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
7		ablgrp 19846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9		pgpfac1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
10		pgpfac1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		pgpfac1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
12	10, 11	gexcl2 19650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ)
13	8, 9, 12	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
14		pceq0 16921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝐸) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝐸))
15	5, 13, 14	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝐸) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝐸))
16		oveq2 7408	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝐸) = 0 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0))
17	15, 16	biimtrrdi 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ 𝐸 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0)))
18	10	grpbn0 19023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
19	8, 18	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
20		hashnncl 14393	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
21	9, 20	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
22	19, 21	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
23	5, 22	pccld 16900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
24	10, 11	gexdvds3 19651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (♯‘𝐵))
25	8, 9, 24	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∥ (♯‘𝐵))
26	10	pgphash 19668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
27	3, 9, 26	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
28	25, 27	breqtrd 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
29		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) → (𝑃↑𝑘) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
30	29	breq2d 5117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) → (𝐸 ∥ (𝑃↑𝑘) ↔ 𝐸 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))
31	30	rspcev 3584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐸 ∥ (𝑃↑𝑘))
32	23, 28, 31	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐸 ∥ (𝑃↑𝑘))
33		pcprmpw2 16932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐸 ∥ (𝑃↑𝑘) ↔ 𝐸 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸))))
34	5, 13, 33	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐸 ∥ (𝑃↑𝑘) ↔ 𝐸 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸))))
35	32, 34	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)))
36	35	eqcomd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = 𝐸)
37		prmnn 16722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
38	5, 37	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
39	38	nncnd 12240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
40	39	exp0d 14167	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑0) = 1)
41	36, 40	eqeq12d 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0) ↔ 𝐸 = 1))
42	8	grpmndd 19003	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
43	10, 11	gex1 19652	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐸 = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
44	42, 43	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
45	41, 44	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0) ↔ 𝐵 ≈ 1o))
46	17, 45	sylibd 242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ 𝐸 → 𝐵 ≈ 1o))
47		pgpfac1.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
48	10	subgacs 19218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
49	8, 48	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
50	49	acsmred 17702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
51		pgpfac1.u	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
52	10	subgss 19184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
53	51, 52	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐵)
54		pgpfac1.au	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
55	53, 54	sseldd 3940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
56		pgpfac1.k	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
57	56	mrcsncl 17658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
58	50, 55, 57	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
59	47, 58	eqeltrid 2869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
60		pgpfac1.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
61		pgpfac1.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
62	61	lsmsubg2 19920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
63	6, 59, 60, 62	syl3anc 1394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
64		pgpfac1.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
65	64	subg0cl 19191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
66	63, 65	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
67	66	snssd 4748	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊))
68	67	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → { 0 } ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊))
69	1	eldifad 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
70	53, 69	sseldd 3940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
71	70	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐶 ∈ 𝐵)
72	10, 64	grpidcl 19022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
73	8, 72	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
74		en1eqsn 9223	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = { 0 })
75	73, 74	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = { 0 })
76	71, 75	eleqtrd 2867	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐶 ∈ { 0 })
77	68, 76	sseldd 3940	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
78	77	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≈ 1o → 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
79	46, 78	syld 48	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ 𝐸 → 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
80	2, 79	mt3d 149	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝐸)
81		pgpfac1.oe	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 𝐸)
82	13	nncnd 12240	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
83	38	nnne0d 12277	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
84	82, 39, 83	divcan1d 11983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) = 𝐸)
85	81, 84	eqtr4d 2803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = ((𝐸 / 𝑃) · 𝑃))
86		nndivdvds 16309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ 𝐸 ↔ (𝐸 / 𝑃) ∈ ℕ))
87	13, 38, 86	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝐸 ↔ (𝐸 / 𝑃) ∈ ℕ))
88	80, 87	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝑃) ∈ ℕ)
89	88	nnzd 12608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ)
90		pgpfac1.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
91	89, 90	zmulcld 12697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ∈ ℤ)
92	55	snssd 4748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
93	50, 56, 92	mrcssidd 17671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴}))
94	93, 47	sseqtrrdi 3980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝑆)
95		snssg 4745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
96	54, 95	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
97	94, 96	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
98		pgpfac1.mg	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.g‘𝐺)
99	98	subgmulgcl 19197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝑆)
100	59, 91, 97, 99	syl3anc 1394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝑆)
101		prmz 16723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
102	5, 101	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
103	10, 98	mulgcl 19148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
104	8, 102, 70, 103	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
105	10, 98	mulgcl 19148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝐵)
106	8, 90, 55, 105	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝐵)
107		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
108	10, 98, 107	mulgdi 19887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴))) = (((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶))(+g‘𝐺)((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴))))
109	6, 89, 104, 106, 108	syl13anc 1395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴))) = (((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶))(+g‘𝐺)((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴))))
110	84	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐶) = (𝐸 · 𝐶))
111	10, 98	mulgass 19168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐶) = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶)))
112	8, 89, 102, 70, 111	syl13anc 1395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐶) = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶)))
113	10, 11, 98, 64	gexid 19642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (𝐸 · 𝐶) = 0 )
114	70, 113	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐶) = 0 )
115	110, 112, 114	3eqtr3rd 2809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶)))
116	10, 98	mulgass 19168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴)))
117	8, 89, 90, 55, 116	syl13anc 1395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴)))
118	115, 117	oveq12d 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝐺)(((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴)) = (((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶))(+g‘𝐺)((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴))))
119	10	subgss 19184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
120	59, 119	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
121	120, 100	sseldd 3940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝐵)
122	10, 107, 64	grplid 19024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺)(((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴)) = (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴))
123	8, 121, 122	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝐺)(((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴)) = (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴))
124	109, 118, 123	3eqtr2d 2806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴))) = (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴))
125		pgpfac1.mw	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
126	98	subgmulgcl 19197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊) → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴))) ∈ 𝑊)
127	60, 89, 125, 126	syl3anc 1394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴))) ∈ 𝑊)
128	124, 127	eqeltrrd 2866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝑊)
129	100, 128	elind 4155	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ (𝑆 ∩ 𝑊))
130		pgpfac1.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 })
131	129, 130	eleqtrd 2867	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ { 0 })
132		elsni 4602	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ { 0 } → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = 0 )
133	131, 132	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = 0 )
134		pgpfac1.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
135	10, 134, 98, 64	oddvds 19608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ↔ (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = 0 ))
136	8, 55, 91, 135	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ↔ (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = 0 ))
137	133, 136	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀))
138	85, 137	eqbrtrrd 5129	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀))
139	88	nnne0d 12277	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝑃) ≠ 0)
140		dvdscmulr 16332	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝐸 / 𝑃) ≠ 0)) → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ↔ 𝑃 ∥ 𝑀))
141	102, 90, 89, 139, 140	syl112anc 1397	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ↔ 𝑃 ∥ 𝑀))
142	138, 141	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑀)
143	80, 142	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝐸 ∧ 𝑃 ∥ 𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3904   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907   ⊊ wpss 3908  ∅c0 4288  {csn 4585   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1_oc1o 8434   ≈ cen 8928  Fincfn 8931  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093   / cdiv 11859  ℕcn 12224  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582  ↑cexp 14088  ♯chash 14357   ∥ cdvds 16300  ℙcprime 16719   pCnt cpc 16886  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  0_gc0g 17482  Moorecmre 17624  mrClscmrc 17625  ACScacs 17627  Mndcmnd 18782  Grpcgrp 18990  ._gcmg 19124  SubGrpcsubg 19177  odcod 19585  gExcgex 19586   pGrp cpgp 19587  LSSumclsm 19695  Abelcabl 19842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-disj 5073  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-er 8682  df-ec 8684  df-qs 8688  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-acn 9916  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089  df-fac 14301  df-bc 14330  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-sum 15728  df-dvds 16301  df-gcd 16543  df-prm 16720  df-pc 16887  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-0g 17484  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-mulg 19125  df-subg 19180  df-eqg 19182  df-ga 19351  df-cntz 19378  df-od 19589  df-gex 19590  df-pgp 19591  df-lsm 19697  df-cmn 19843  df-abl 19844

This theorem is referenced by:  pgpfac1lem3  20140