MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfac1lem3a 19855
Description: Lemma for pgpfac1 19859. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z 0 = (0g𝐺)
pgpfac1.l = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au (𝜑𝐴𝑈)
pgpfac1.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
pgpfac1.mg · = (.g𝐺)
pgpfac1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
pgpfac1.mw (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem3a (𝜑 → (𝑃𝐸𝑃𝑀))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,   𝑤,𝑃   𝑤,𝐺   𝑤,𝑈   𝑤,𝐶   𝑤,𝑆   𝑤,𝑊   𝜑,𝑤   𝑤, ·   𝑤,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐸(𝑤)   𝑀(𝑤)   𝑂(𝑤)   0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem3a
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
21eldifbd 3923 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))
3 pgpfac1.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
4 pgpprm 19375 . . . . . . . 8 (𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
6 pgpfac1.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
7 ablgrp 19567 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
9 pgpfac1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
10 pgpfac1.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐺)
11 pgpfac1.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (gEx‘𝐺)
1210, 11gexcl2 19371 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ)
138, 9, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
14 pceq0 16743 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝐸) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝐸))
155, 13, 14syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝐸) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝐸))
16 oveq2 7365 . . . . . 6 ((𝑃 pCnt 𝐸) = 0 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0))
1715, 16syl6bir 253 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑃𝐸 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0)))
1810grpbn0 18779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
198, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
20 hashnncl 14266 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
219, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
2219, 21mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
235, 22pccld 16722 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
2410, 11gexdvds3 19372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (♯‘𝐵))
258, 9, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∥ (♯‘𝐵))
2610pgphash 19389 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 pGrp 𝐺𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
273, 9, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
2825, 27breqtrd 5131 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
29 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) → (𝑃𝑘) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
3029breq2d 5117 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) → (𝐸 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 𝐸 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))
3130rspcev 3581 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝐸 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐸 ∥ (𝑃𝑘))
3223, 28, 31syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐸 ∥ (𝑃𝑘))
33 pcprmpw2 16754 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐸 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 𝐸 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸))))
345, 13, 33syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐸 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 𝐸 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸))))
3532, 34mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)))
3635eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = 𝐸)
37 prmnn 16550 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
385, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
3938nncnd 12169 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
4039exp0d 14045 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃↑0) = 1)
4136, 40eqeq12d 2752 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0) ↔ 𝐸 = 1))
428grpmndd 18760 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
4310, 11gex1 19373 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd → (𝐸 = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
4442, 43syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
4541, 44bitrd 278 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0) ↔ 𝐵 ≈ 1o))
4617, 45sylibd 238 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝑃𝐸𝐵 ≈ 1o))
47 pgpfac1.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
4810subgacs 18963 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
498, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
5049acsmred 17536 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
51 pgpfac1.u . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5210subgss 18929 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈𝐵)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈𝐵)
54 pgpfac1.au . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑈)
5553, 54sseldd 3945 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐵)
56 pgpfac1.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
5756mrcsncl 17492 . . . . . . . . . . . 12 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
5850, 55, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
5947, 58eqeltrid 2842 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
60 pgpfac1.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
61 pgpfac1.l . . . . . . . . . . 11 = (LSSum‘𝐺)
6261lsmsubg2 19637 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
636, 59, 60, 62syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
64 pgpfac1.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐺)
6564subg0cl 18936 . . . . . . . . 9 ((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆 𝑊))
6663, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑0 ∈ (𝑆 𝑊))
6766snssd 4769 . . . . . . 7 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑆 𝑊))
6867adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≈ 1o) → { 0 } ⊆ (𝑆 𝑊))
691eldifad 3922 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑈)
7053, 69sseldd 3945 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝐵)
7170adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ≈ 1o) → 𝐶𝐵)
7210, 64grpidcl 18778 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
738, 72syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑0𝐵)
74 en1eqsn 9218 . . . . . . . 8 (( 0𝐵𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = { 0 })
7573, 74sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = { 0 })
7671, 75eleqtrd 2840 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≈ 1o) → 𝐶 ∈ { 0 })
7768, 76sseldd 3945 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ≈ 1o) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))
7877ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ≈ 1o𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
7946, 78syld 47 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑃𝐸𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
802, 79mt3d 148 . 2 (𝜑𝑃𝐸)
81 pgpfac1.oe . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
8213nncnd 12169 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
8338nnne0d 12203 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ≠ 0)
8482, 39, 83divcan1d 11932 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) = 𝐸)
8581, 84eqtr4d 2779 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) = ((𝐸 / 𝑃) · 𝑃))
86 nndivdvds 16145 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃𝐸 ↔ (𝐸 / 𝑃) ∈ ℕ))
8713, 38, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃𝐸 ↔ (𝐸 / 𝑃) ∈ ℕ))
8880, 87mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / 𝑃) ∈ ℕ)
8988nnzd 12526 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ)
90 pgpfac1.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9189, 90zmulcld 12613 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ∈ ℤ)
9255snssd 4769 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
9350, 56, 92mrcssidd 17505 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴}))
9493, 47sseqtrrdi 3995 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝑆)
95 snssg 4744 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑈 → (𝐴𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
9654, 95syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
9794, 96mpbird 256 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑆)
98 pgpfac1.mg . . . . . . . . . 10 · = (.g𝐺)
9998subgmulgcl 18941 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑆) → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝑆)
10059, 91, 97, 99syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝑆)
101 prmz 16551 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1025, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
10310, 98mulgcl 18893 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐵) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
1048, 102, 70, 103syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
10510, 98mulgcl 18893 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) → (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝐵)
1068, 90, 55, 105syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝐵)
107 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐺) = (+g𝐺)
10810, 98, 107mulgdi 19605 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴))) = (((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶))(+g𝐺)((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴))))
1096, 89, 104, 106, 108syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴))) = (((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶))(+g𝐺)((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴))))
11084oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐶) = (𝐸 · 𝐶))
11110, 98mulgass 18913 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐵)) → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐶) = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶)))
1128, 89, 102, 70, 111syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐶) = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶)))
11310, 11, 98, 64gexid 19363 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶𝐵 → (𝐸 · 𝐶) = 0 )
11470, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 · 𝐶) = 0 )
115110, 112, 1143eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . . 11 (𝜑0 = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶)))
11610, 98mulgass 18913 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴)))
1178, 89, 90, 55, 116syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴)))
118115, 117oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( 0 (+g𝐺)(((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴)) = (((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶))(+g𝐺)((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴))))
11910subgss 18929 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝐵)
12059, 119syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆𝐵)
121120, 100sseldd 3945 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝐵)
12210, 107, 64grplid 18780 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝐺)(((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴)) = (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴))
1238, 121, 122syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( 0 (+g𝐺)(((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴)) = (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴))
124109, 118, 1233eqtr2d 2782 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴))) = (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴))
125 pgpfac1.mw . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
12698subgmulgcl 18941 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊) → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴))) ∈ 𝑊)
12760, 89, 125, 126syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴))) ∈ 𝑊)
128124, 127eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝑊)
129100, 128elind 4154 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ (𝑆𝑊))
130 pgpfac1.i . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
131129, 130eleqtrd 2840 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ { 0 })
132 elsni 4603 . . . . . 6 ((((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ { 0 } → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = 0 )
133131, 132syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = 0 )
134 pgpfac1.o . . . . . . 7 𝑂 = (od‘𝐺)
13510, 134, 98, 64oddvds 19329 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵 ∧ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ↔ (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = 0 ))
1368, 55, 91, 135syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝐴) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ↔ (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = 0 ))
137133, 136mpbird 256 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀))
13885, 137eqbrtrrd 5129 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀))
13988nnne0d 12203 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 / 𝑃) ≠ 0)
140 dvdscmulr 16167 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝐸 / 𝑃) ≠ 0)) → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ↔ 𝑃𝑀))
141102, 90, 89, 139, 140syl112anc 1374 . . 3 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ↔ 𝑃𝑀))
142138, 141mpbid 231 . 2 (𝜑𝑃𝑀)
14380, 142jca 512 1 (𝜑 → (𝑃𝐸𝑃𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  wpss 3911  c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  1oc1o 8405  cen 8880  Fincfn 8883  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cexp 13967  chash 14230  cdvds 16136  cprime 16547   pCnt cpc 16708  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  0gc0g 17321  Moorecmre 17462  mrClscmrc 17463  ACScacs 17465  Mndcmnd 18556  Grpcgrp 18748  .gcmg 18872  SubGrpcsubg 18922  odcod 19306  gExcgex 19307   pGrp cpgp 19308  LSSumclsm 19416  Abelcabl 19563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-eqg 18927  df-ga 19070  df-cntz 19097  df-od 19310  df-gex 19311  df-pgp 19312  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem3  19856
  Copyright terms: Public domain W3C validator