MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfac1lem3a 19177
Description: Lemma for pgpfac1 19181. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z 0 = (0g𝐺)
pgpfac1.l = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au (𝜑𝐴𝑈)
pgpfac1.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
pgpfac1.mg · = (.g𝐺)
pgpfac1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
pgpfac1.mw (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem3a (𝜑 → (𝑃𝐸𝑃𝑀))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,   𝑤,𝑃   𝑤,𝐺   𝑤,𝑈   𝑤,𝐶   𝑤,𝑆   𝑤,𝑊   𝜑,𝑤   𝑤, ·   𝑤,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐸(𝑤)   𝑀(𝑤)   𝑂(𝑤)   0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem3a
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
21eldifbd 3926 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))
3 pgpfac1.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
4 pgpprm 18697 . . . . . . . 8 (𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
6 pgpfac1.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
7 ablgrp 18890 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
9 pgpfac1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
10 pgpfac1.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐺)
11 pgpfac1.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (gEx‘𝐺)
1210, 11gexcl2 18693 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ)
138, 9, 12syl2anc 586 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
14 pceq0 16185 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝐸) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝐸))
155, 13, 14syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝐸) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝐸))
16 oveq2 7141 . . . . . 6 ((𝑃 pCnt 𝐸) = 0 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0))
1715, 16syl6bir 256 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑃𝐸 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0)))
1810grpbn0 18111 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
198, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
20 hashnncl 13712 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
219, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
2219, 21mpbird 259 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
235, 22pccld 16165 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
2410, 11gexdvds3 18694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (♯‘𝐵))
258, 9, 24syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∥ (♯‘𝐵))
2610pgphash 18711 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 pGrp 𝐺𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
273, 9, 26syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
2825, 27breqtrd 5068 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
29 oveq2 7141 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) → (𝑃𝑘) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
3029breq2d 5054 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) → (𝐸 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 𝐸 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))
3130rspcev 3602 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝐸 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐸 ∥ (𝑃𝑘))
3223, 28, 31syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐸 ∥ (𝑃𝑘))
33 pcprmpw2 16196 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐸 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 𝐸 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸))))
345, 13, 33syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐸 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 𝐸 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸))))
3532, 34mpbid 234 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)))
3635eqcomd 2826 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = 𝐸)
37 prmnn 15996 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
385, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
3938nncnd 11632 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
4039exp0d 13489 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃↑0) = 1)
4136, 40eqeq12d 2836 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0) ↔ 𝐸 = 1))
42 grpmnd 18089 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
438, 42syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
4410, 11gex1 18695 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd → (𝐸 = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
4543, 44syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1o))
4641, 45bitrd 281 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0) ↔ 𝐵 ≈ 1o))
4717, 46sylibd 241 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝑃𝐸𝐵 ≈ 1o))
48 pgpfac1.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
4910subgacs 18292 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
508, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
5150acsmred 16906 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
52 pgpfac1.u . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5310subgss 18259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈𝐵)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈𝐵)
55 pgpfac1.au . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑈)
5654, 55sseldd 3947 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐵)
57 pgpfac1.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
5857mrcsncl 16862 . . . . . . . . . . . 12 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
5951, 56, 58syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
6048, 59eqeltrid 2915 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
61 pgpfac1.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
62 pgpfac1.l . . . . . . . . . . 11 = (LSSum‘𝐺)
6362lsmsubg2 18958 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
646, 60, 61, 63syl3anc 1367 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
65 pgpfac1.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐺)
6665subg0cl 18266 . . . . . . . . 9 ((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆 𝑊))
6764, 66syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑0 ∈ (𝑆 𝑊))
6867snssd 4718 . . . . . . 7 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑆 𝑊))
6968adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≈ 1o) → { 0 } ⊆ (𝑆 𝑊))
701eldifad 3925 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑈)
7154, 70sseldd 3947 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝐵)
7271adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ≈ 1o) → 𝐶𝐵)
7310, 65grpidcl 18110 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
748, 73syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑0𝐵)
75 en1eqsn 8726 . . . . . . . 8 (( 0𝐵𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = { 0 })
7674, 75sylan 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ≈ 1o) → 𝐵 = { 0 })
7772, 76eleqtrd 2913 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≈ 1o) → 𝐶 ∈ { 0 })
7869, 77sseldd 3947 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ≈ 1o) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))
7978ex 415 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ≈ 1o𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
8047, 79syld 47 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑃𝐸𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
812, 80mt3d 150 . 2 (𝜑𝑃𝐸)
82 pgpfac1.oe . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
8313nncnd 11632 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
8438nnne0d 11666 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ≠ 0)
8583, 39, 84divcan1d 11395 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) = 𝐸)
8682, 85eqtr4d 2858 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) = ((𝐸 / 𝑃) · 𝑃))
87 nndivdvds 15596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃𝐸 ↔ (𝐸 / 𝑃) ∈ ℕ))
8813, 38, 87syl2anc 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃𝐸 ↔ (𝐸 / 𝑃) ∈ ℕ))
8981, 88mpbid 234 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / 𝑃) ∈ ℕ)
9089nnzd 12065 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ)
91 pgpfac1.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9290, 91zmulcld 12072 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ∈ ℤ)
9356snssd 4718 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
9451, 57, 93mrcssidd 16875 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴}))
9594, 48sseqtrrdi 3997 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝑆)
96 snssg 4693 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑈 → (𝐴𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
9755, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
9895, 97mpbird 259 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑆)
99 pgpfac1.mg . . . . . . . . . 10 · = (.g𝐺)
10099subgmulgcl 18271 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑆) → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝑆)
10160, 92, 98, 100syl3anc 1367 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝑆)
102 prmz 15997 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1035, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
10410, 99mulgcl 18224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐵) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
1058, 103, 71, 104syl3anc 1367 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
10610, 99mulgcl 18224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) → (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝐵)
1078, 91, 56, 106syl3anc 1367 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝐵)
108 eqid 2820 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐺) = (+g𝐺)
10910, 99, 108mulgdi 18926 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴))) = (((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶))(+g𝐺)((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴))))
1106, 90, 105, 107, 109syl13anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴))) = (((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶))(+g𝐺)((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴))))
11185oveq1d 7148 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐶) = (𝐸 · 𝐶))
11210, 99mulgass 18243 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐵)) → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐶) = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶)))
1138, 90, 103, 71, 112syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐶) = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶)))
11410, 11, 99, 65gexid 18685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶𝐵 → (𝐸 · 𝐶) = 0 )
11571, 114syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 · 𝐶) = 0 )
116111, 113, 1153eqtr3rd 2864 . . . . . . . . . . 11 (𝜑0 = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶)))
11710, 99mulgass 18243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴)))
1188, 90, 91, 56, 117syl13anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴)))
119116, 118oveq12d 7151 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( 0 (+g𝐺)(((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴)) = (((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶))(+g𝐺)((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴))))
12010subgss 18259 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝐵)
12160, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆𝐵)
122121, 101sseldd 3947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝐵)
12310, 108, 65grplid 18112 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝐺)(((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴)) = (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴))
1248, 122, 123syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( 0 (+g𝐺)(((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴)) = (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴))
125110, 119, 1243eqtr2d 2861 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴))) = (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴))
126 pgpfac1.mw . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
12799subgmulgcl 18271 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊) → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴))) ∈ 𝑊)
12861, 90, 126, 127syl3anc 1367 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴))) ∈ 𝑊)
129125, 128eqeltrrd 2912 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝑊)
130101, 129elind 4149 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ (𝑆𝑊))
131 pgpfac1.i . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
132130, 131eleqtrd 2913 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ { 0 })
133 elsni 4560 . . . . . 6 ((((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ { 0 } → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = 0 )
134132, 133syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = 0 )
135 pgpfac1.o . . . . . . 7 𝑂 = (od‘𝐺)
13610, 135, 99, 65oddvds 18654 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵 ∧ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ↔ (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = 0 ))
1378, 56, 92, 136syl3anc 1367 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝐴) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ↔ (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = 0 ))
138134, 137mpbird 259 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀))
13986, 138eqbrtrrd 5066 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀))
14089nnne0d 11666 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 / 𝑃) ≠ 0)
141 dvdscmulr 15618 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝐸 / 𝑃) ≠ 0)) → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ↔ 𝑃𝑀))
142103, 91, 90, 140, 141syl112anc 1370 . . 3 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ↔ 𝑃𝑀))
143139, 142mpbid 234 . 2 (𝜑𝑃𝑀)
14481, 143jca 514 1 (𝜑 → (𝑃𝐸𝑃𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  wral 3125  wrex 3126  cdif 3910  cin 3912  wss 3913  wpss 3914  c0 4269  {csn 4543   class class class wbr 5042  cfv 6331  (class class class)co 7133  1oc1o 8073  cen 8484  Fincfn 8487  0cc0 10515  1c1 10516   · cmul 10520   / cdiv 11275  cn 11616  0cn0 11876  cz 11960  cexp 13414  chash 13675  cdvds 15587  cprime 15993   pCnt cpc 16151  Basecbs 16462  +gcplusg 16544  0gc0g 16692  Moorecmre 16832  mrClscmrc 16833  ACScacs 16835  Mndcmnd 17890  Grpcgrp 18082  .gcmg 18203  SubGrpcsubg 18252  odcod 18631  gExcgex 18632   pGrp cpgp 18633  LSSumclsm 18738  Abelcabl 18886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-disj 5008  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-omul 8085  df-er 8267  df-ec 8269  df-qs 8273  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-dju 9308  df-card 9346  df-acn 9349  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-xnn0 11947  df-z 11961  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-mod 13222  df-seq 13354  df-exp 13415  df-fac 13619  df-bc 13648  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825  df-sum 15023  df-dvds 15588  df-gcd 15822  df-prm 15994  df-pc 16152  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-0g 16694  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-mulg 18204  df-subg 18255  df-eqg 18257  df-ga 18399  df-cntz 18426  df-od 18635  df-gex 18636  df-pgp 18637  df-lsm 18740  df-cmn 18887  df-abl 18888
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem3  19178
  Copyright terms: Public domain W3C validator