Theorem pgpfac1lem3 19989

Description: Lemma for pgpfac1 19992. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgpfac1.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s	⊢ 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pgpfac1.l	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
pgpfac1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss	⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤 ⊊ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑤) → ¬ (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
pgpfac1.mg	⊢ · = (.g‘𝐺)
pgpfac1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
pgpfac1.mw	⊢ (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
pgpfac1.d	⊢ 𝐷 = (𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
pgpfac1lem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑡, 0   𝑤,𝑡,𝐴   𝑡,𝐷,𝑤   𝑡, ⊕ ,𝑤   𝑡,𝑃,𝑤   𝑡,𝐵   𝑡,𝐺,𝑤   𝑡,𝑈,𝑤   𝑡,𝐶,𝑤   𝑡,𝑆,𝑤   𝑡,𝑊,𝑤   𝜑,𝑡,𝑤   𝑡, · ,𝑤   𝑡,𝐾,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐸(𝑤,𝑡)   𝑀(𝑤,𝑡)   𝑂(𝑤,𝑡)   0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem3

Dummy variables 𝑏 𝑥 𝑦 𝑎 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgpfac1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
2		pgpfac1.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		ablgrp 19695	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
5		pgpfac1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	5	subgacs 19071	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
7		acsmre 17555	. . . . 5 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
8	4, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
9		pgpfac1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
10	5	subgss 19037	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐵)
12		pgpfac1.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))
13		pgpfac1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
14	13	eldifad 3914	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
15		pgpfac1.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
16		pgpfac1.au	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
17	11, 16	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
18		pgpfac1.k	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
19	18	mrcsncl 17515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
20	8, 17, 19	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
21	15, 20	eqeltrid 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
22		pgpfac1.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
23	22	lsmub1 19567	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊))
24	21, 2, 23	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊))
25		pgpfac1.ss	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝑈)
26	24, 25	sstrd 3945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑈)
27		pgpfac1.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
28		pgpfac1.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
29		pgpfac1.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
30		pgpfac1.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp 𝐺)
31		pgpfac1.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
32		pgpfac1.oe	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 𝐸)
33		pgpfac1.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 })
34		pgpfac1.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤 ⊊ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑤) → ¬ (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊊ 𝑤))
35		pgpfac1.mg	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.g‘𝐺)
36		pgpfac1.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
37		pgpfac1.mw	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
38	18, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34, 13, 35, 36, 37	pgpfac1lem3a 19988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝐸 ∧ 𝑃 ∥ 𝑀))
39	38	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑀)
40		pgpprm 19503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 → 𝑃 ∈ ℙ)
41	30, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
42		prmz 16583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
44		prmnn 16582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
45	41, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
46	45	nnne0d 12172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
47		dvdsval2 16163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ))
48	43, 46, 36, 47	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ))
49	39, 48	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ)
50	17	snssd 4761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
51	8, 18, 50	mrcssidd 17528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴}))
52	51, 15	sseqtrrdi 3976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝑆)
53		snssg 4736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
54	16, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
55	52, 54	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
56	35	subgmulgcl 19049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑆)
57	21, 49, 55, 56	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑆)
58	26, 57	sseldd 3935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑈)
59		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
60	59	subgcl 19046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑈) → (𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ 𝑈)
61	9, 14, 58, 60	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ 𝑈)
62	12, 61	eqeltrid 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
63	11, 62	sseldd 3935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
64	18	mrcsncl 17515	. . . 4 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
65	8, 63, 64	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
66	22	lsmsubg2 19769	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
67	1, 2, 65, 66	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
68		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
69	68, 22, 2, 65	lsmelvalm 19561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦)))
70		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))
71	5, 35, 70, 18	cycsubg2 19120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐷}) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷)))
72	4, 63, 71	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝐷}) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷)))
73	72	rexeqdv 3293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦)))
74		ovex 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 · 𝐷) ∈ V
75	74	rgenw 3051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝐷) ∈ V
76		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑛 · 𝐷) → (𝑤(-g‘𝐺)𝑦) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)))
77	76	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑛 · 𝐷) → (𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦) ↔ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
78	70, 77	rexrnmptw 7028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝐷) ∈ V → (∃𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
79	75, 78	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)))
80	73, 79	bitrdi 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
81	80	rexbidv 3156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
82	69, 81	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
83	82	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
84		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)))
85	2	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
86		simplrl 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑤 ∈ 𝑊)
87		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑛 ∈ ℤ)
88	87	zcnd 12575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑛 ∈ ℂ)
89	45	nncnd 12138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
90	89	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℂ)
91	46	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ≠ 0)
92	88, 90, 91	divcan1d 11895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) = 𝑛)
93	92	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐷) = (𝑛 · 𝐷))
94	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝐺 ∈ Grp)
95	13	eldifbd 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
96	22	lsmsubg2 19769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
97	1, 21, 2, 96	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
98	24, 57	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
99	68	subgsubcl 19047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝐷(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
100	99	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → (𝐷(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
101	100	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → (𝐷(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
102	97, 98, 101	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → (𝐷(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
103	12	oveq1i 7356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐷(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = ((𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))
104	11, 14	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
105	5	subgss 19037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
106	21, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
107	106, 57	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝐵)
108	5, 59, 68	grppncan 18941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝐵) → ((𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = 𝐶)
109	4, 104, 107, 108	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = 𝐶)
110	103, 109	eqtrid 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐷(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = 𝐶)
111	110	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝐷(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ↔ 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
112	102, 111	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
113	95, 112	mtod 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
114	113	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ¬ 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
115	41	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
116		coprm 16619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑛 ↔ (𝑃 gcd 𝑛) = 1))
117	115, 87, 116	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑛 ↔ (𝑃 gcd 𝑛) = 1))
118	43	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℤ)
119		bezout 16451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)))
120	118, 87, 119	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)))
121		eqeq1 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → ((𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) ↔ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏))))
122	121	2rexbidv 3197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏))))
123	120, 122	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏))))
124	94	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
125	118	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈ ℤ)
126		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
127	125, 126	zmulcld 12580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑃 · 𝑎) ∈ ℤ)
128	87	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℤ)
129		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
130	128, 129	zmulcld 12580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑏) ∈ ℤ)
131	63	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ 𝐵)
132	131	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ 𝐵)
133	5, 35, 59	mulgdir 19016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑃 · 𝑎) ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) = (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+g‘𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)))
134	124, 127, 130, 132, 133	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) = (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+g‘𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)))
135	97	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
136	135	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
137	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈ ℂ)
138		zcn 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
139	138	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
140	137, 139	mulcomd 11130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑃 · 𝑎) = (𝑎 · 𝑃))
141	140	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) = ((𝑎 · 𝑃) · 𝐷))
142	5, 35	mulgass 19021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · 𝑃) · 𝐷) = (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)))
143	124, 126, 125, 132, 142	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑃) · 𝐷) = (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)))
144	141, 143	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) = (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)))
145	22	lsmub2 19568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑊 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊))
146	21, 2, 145	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊))
147	12	oveq2i 7357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑃 · 𝐷) = (𝑃 · (𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)))
148	5, 35, 59	mulgdi 19736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝐵)) → (𝑃 · (𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))) = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))))
149	1, 43, 104, 107, 148	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))) = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))))
150	147, 149	eqtrid 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))))
151	5, 35	mulgass 19021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) · 𝐴) = (𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)))
152	4, 43, 49, 17, 151	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) · 𝐴) = (𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)))
153	36	zcnd 12575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
154	153, 89, 46	divcan2d 11896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) = 𝑀)
155	154	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴))
156	152, 155	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = (𝑀 · 𝐴))
157	156	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))) = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴)))
158	150, 157	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴)))
159	158, 37	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) ∈ 𝑊)
160	146, 159	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
161	160	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
162	161	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
163	35	subgmulgcl 19049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
164	136, 126, 162, 163	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
165	144, 164	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
166	88	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
167		zcn 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
168	167	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
169	166, 168	mulcomd 11130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑛))
170	169	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) = ((𝑏 · 𝑛) · 𝐷))
171	5, 35	mulgass 19021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → ((𝑏 · 𝑛) · 𝐷) = (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)))
172	124, 129, 128, 132, 171	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · 𝑛) · 𝐷) = (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)))
173	170, 172	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) = (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)))
174	84	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g‘𝐺)𝑥) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
175	1	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝐺 ∈ Abel)
176	5	subgss 19037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑊 ⊆ 𝐵)
177	85, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑊 ⊆ 𝐵)
178	177, 86	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑤 ∈ 𝐵)
179	5, 35	mulgcl 19001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝐵)
180	94, 87, 131, 179	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝐵)
181	5, 68, 175, 178, 180	ablnncan 19730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g‘𝐺)(𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) = (𝑛 · 𝐷))
182	174, 181	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g‘𝐺)𝑥) = (𝑛 · 𝐷))
183	146	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑊 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊))
184	183, 86	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑤 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
185	24	sselda 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
186	185	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
187	68	subgsubcl 19047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑤(-g‘𝐺)𝑥) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
188	135, 184, 186, 187	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g‘𝐺)𝑥) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
189	182, 188	eqeltrrd 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
190	189	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
191	35	subgmulgcl 19049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
192	136, 129, 190, 191	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
193	173, 192	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
194	59	subgcl 19046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ∧ ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+g‘𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
195	136, 165, 193, 194	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+g‘𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
196	134, 195	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
197		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → (1 · 𝐷) = (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷))
198	197	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → ((1 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ↔ (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
199	196, 198	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → (1 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
200	199	rexlimdvva 3189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → (1 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
201	123, 200	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → (1 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
202	5, 35	mulg1 18991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 → (1 · 𝐷) = 𝐷)
203	131, 202	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
204	203	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((1 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ↔ 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
205	201, 204	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
206	117, 205	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑛 → 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
207	114, 206	mt3d 148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ 𝑛)
208		dvdsval2 16163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ))
209	118, 91, 87, 208	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑃 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ))
210	207, 209	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ)
211	5, 35	mulgass 19021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)))
212	94, 210, 118, 131, 211	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)))
213	93, 212	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)))
214	159	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑃 · 𝐷) ∈ 𝑊)
215	35	subgmulgcl 19049	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐷) ∈ 𝑊) → ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)) ∈ 𝑊)
216	85, 210, 214, 215	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)) ∈ 𝑊)
217	213, 216	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝑊)
218	68	subgsubcl 19047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊 ∧ (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝑊) → (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)) ∈ 𝑊)
219	85, 86, 217, 218	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)) ∈ 𝑊)
220	84, 219	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑥 ∈ 𝑊)
221	220	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)) → 𝑥 ∈ 𝑊))
222	221	rexlimdvva 3189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)) → 𝑥 ∈ 𝑊))
223	83, 222	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → 𝑥 ∈ 𝑊))
224	223	imdistanda 571	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊)))
225		elin 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))))
226		elin 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑊) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊))
227	224, 225, 226	3imtr4g 296	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑊)))
228	227	ssrdv 3940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) ⊆ (𝑆 ∩ 𝑊))
229	228, 33	sseqtrd 3971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) ⊆ { 0 })
230	29	subg0cl 19044	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)
231	21, 230	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
232	29	subg0cl 19044	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})))
233	67, 232	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})))
234	231, 233	elind 4150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))))
235	234	snssd 4761	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))))
236	229, 235	eqssd 3952	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 })
237	22	lsmass 19579	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{𝐷})) = (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))))
238	21, 2, 65, 237	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{𝐷})) = (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))))
239	62, 113	eldifd 3913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
240	18, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34	pgpfac1lem1 19986	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊))) → ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{𝐷})) = 𝑈)
241	239, 240	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{𝐷})) = 𝑈)
242	238, 241	eqtr3d 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈)
243		ineq2 4164	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → (𝑆 ∩ 𝑡) = (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))))
244	243	eqeq1d 2733	. . . 4 ⊢ (𝑡 = (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → ((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ↔ (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 }))
245		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → (𝑆 ⊕ 𝑡) = (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))))
246	245	eqeq1d 2733	. . . 4 ⊢ (𝑡 = (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → ((𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈 ↔ (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈))
247	244, 246	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑡 = (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → (((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈)))
248	247	rspcev 3577	. 2 ⊢ (((𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈)) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈))
249	67, 236, 242, 248	syl12anc 836	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   ⊊ wpss 3903  {csn 4576   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  ran crn 5617  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  ℂcc 11001  0cc0 11003  1c1 11004   + caddc 11006   · cmul 11008   / cdiv 11771  ℕcn 12122  ℤcz 12465   ∥ cdvds 16160   gcd cgcd 16402  ℙcprime 16579  Basecbs 17117  +_gcplusg 17158  0_gc0g 17340  Moorecmre 17481  mrClscmrc 17482  ACScacs 17484  Grpcgrp 18843  -_gcsg 18845  ._gcmg 18977  SubGrpcsubg 19030  odcod 19434  gExcgex 19435   pGrp cpgp 19436  LSSumclsm 19544  Abelcabl 19691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5059  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-ec 8624  df-qs 8628  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9791  df-card 9829  df-acn 9832  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-xnn0 12452  df-z 12466  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-mod 13771  df-seq 13906  df-exp 13966  df-fac 14178  df-bc 14207  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-clim 15392  df-sum 15591  df-dvds 16161  df-gcd 16403  df-prm 16580  df-pc 16746  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-0g 17342  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-mulg 18978  df-subg 19033  df-eqg 19035  df-ga 19200  df-cntz 19227  df-od 19438  df-gex 19439  df-pgp 19440  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693

This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  19990