MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfac1lem3 19863
Description: Lemma for pgpfac1 19866. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.s 𝑆 = (πΎβ€˜{𝐴})
pgpfac1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
pgpfac1.o 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
pgpfac1.e 𝐸 = (gExβ€˜πΊ)
pgpfac1.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
pgpfac1.l βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
pgpfac1.p (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π΄) = 𝐸)
pgpfac1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.au (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
pgpfac1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.i (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ π‘Š) = { 0 })
pgpfac1.ss (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† π‘ˆ)
pgpfac1.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑀 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀))
pgpfac1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
pgpfac1.mg Β· = (.gβ€˜πΊ)
pgpfac1.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
pgpfac1.mw (πœ‘ β†’ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)
pgpfac1.d 𝐷 = (𝐢(+gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑆 ∩ 𝑑) = { 0 } ∧ (𝑆 βŠ• 𝑑) = π‘ˆ))
Distinct variable groups:   𝑑, 0   𝑀,𝑑,𝐴   𝑑,𝐷,𝑀   𝑑, βŠ• ,𝑀   𝑑,𝑃,𝑀   𝑑,𝐡   𝑑,𝐺,𝑀   𝑑,π‘ˆ,𝑀   𝑑,𝐢,𝑀   𝑑,𝑆,𝑀   𝑑,π‘Š,𝑀   πœ‘,𝑑,𝑀   𝑑, Β· ,𝑀   𝑑,𝐾,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑀)   𝐸(𝑀,𝑑)   𝑀(𝑀,𝑑)   𝑂(𝑀,𝑑)   0 (𝑀)

Proof of Theorem pgpfac1lem3
Dummy variables 𝑏 π‘₯ 𝑦 π‘Ž 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
2 pgpfac1.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
3 ablgrp 19574 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
41, 3syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
5 pgpfac1.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
65subgacs 18970 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
7 acsmre 17539 . . . . 5 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
84, 6, 73syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
9 pgpfac1.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
105subgss 18936 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
119, 10syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
12 pgpfac1.d . . . . . 6 𝐷 = (𝐢(+gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))
13 pgpfac1.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
1413eldifad 3927 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
15 pgpfac1.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (πΎβ€˜{𝐴})
16 pgpfac1.au . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
1711, 16sseldd 3950 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
18 pgpfac1.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
1918mrcsncl 17499 . . . . . . . . . . . 12 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
208, 17, 19syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
2115, 20eqeltrid 2842 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
22 pgpfac1.l . . . . . . . . . . 11 βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
2322lsmub1 19446 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝑆 βŠ† (𝑆 βŠ• π‘Š))
2421, 2, 23syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (𝑆 βŠ• π‘Š))
25 pgpfac1.ss . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† π‘ˆ)
2624, 25sstrd 3959 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† π‘ˆ)
27 pgpfac1.o . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
28 pgpfac1.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (gExβ€˜πΊ)
29 pgpfac1.z . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜πΊ)
30 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
31 pgpfac1.n . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
32 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π΄) = 𝐸)
33 pgpfac1.i . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ π‘Š) = { 0 })
34 pgpfac1.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑀 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀))
35 pgpfac1.mg . . . . . . . . . . . 12 Β· = (.gβ€˜πΊ)
36 pgpfac1.m . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
37 pgpfac1.mw . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)
3818, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34, 13, 35, 36, 37pgpfac1lem3a 19862 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝐸 ∧ 𝑃 βˆ₯ 𝑀))
3938simprd 497 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ 𝑀)
40 pgpprm 19382 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 pGrp 𝐺 β†’ 𝑃 ∈ β„™)
4130, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
42 prmz 16558 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
44 prmnn 16557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
4541, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
4645nnne0d 12210 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 β‰  0)
47 dvdsval2 16146 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝑃 β‰  0 ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑃) ∈ β„€))
4843, 46, 36, 47syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑃) ∈ β„€))
4939, 48mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 / 𝑃) ∈ β„€)
5017snssd 4774 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† 𝐡)
518, 18, 50mrcssidd 17512 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† (πΎβ€˜{𝐴}))
5251, 15sseqtrrdi 4000 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† 𝑆)
53 snssg 4749 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ {𝐴} βŠ† 𝑆))
5416, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ {𝐴} βŠ† 𝑆))
5552, 54mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
5635subgmulgcl 18948 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (𝑀 / 𝑃) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ 𝑆)
5721, 49, 55, 56syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ 𝑆)
5826, 57sseldd 3950 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ π‘ˆ)
59 eqid 2737 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
6059subgcl 18945 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ ∧ ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐢(+gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) ∈ π‘ˆ)
619, 14, 58, 60syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢(+gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) ∈ π‘ˆ)
6212, 61eqeltrid 2842 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ π‘ˆ)
6311, 62sseldd 3950 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝐡)
6418mrcsncl 17499 . . . 4 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ 𝐷 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝐷}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
658, 63, 64syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝐷}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
6622lsmsubg2 19644 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝐷}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
671, 2, 65, 66syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
68 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
6968, 22, 2, 65lsmelvalm 19440 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘¦ ∈ (πΎβ€˜{𝐷})π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑦)))
70 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· 𝐷)) = (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· 𝐷))
715, 35, 70, 18cycsubg2 19010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝐷}) = ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· 𝐷)))
724, 63, 71syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝐷}) = ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· 𝐷)))
7372rexeqdv 3317 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (πΎβ€˜{𝐷})π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑦) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· 𝐷))π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑦)))
74 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 Β· 𝐷) ∈ V
7574rgenw 3069 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ€π‘› ∈ β„€ (𝑛 Β· 𝐷) ∈ V
76 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑛 Β· 𝐷) β†’ (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷)))
7776eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑛 Β· 𝐷) β†’ (π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑦) ↔ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))))
7870, 77rexrnmptw 7050 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘› ∈ β„€ (𝑛 Β· 𝐷) ∈ V β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· 𝐷))π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑦) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))))
7975, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘¦ ∈ ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· 𝐷))π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑦) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷)))
8073, 79bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (πΎβ€˜{𝐷})π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑦) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))))
8180rexbidv 3176 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘¦ ∈ (πΎβ€˜{𝐷})π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑦) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))))
8269, 81bitrd 279 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))))
8382adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))))
84 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷)))
852ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
86 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝑀 ∈ π‘Š)
87 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
8887zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
8945nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
9089ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
9146ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝑃 β‰  0)
9288, 90, 91divcan1d 11939 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ ((𝑛 / 𝑃) Β· 𝑃) = 𝑛)
9392oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (((𝑛 / 𝑃) Β· 𝑃) Β· 𝐷) = (𝑛 Β· 𝐷))
944ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
9513eldifbd 3928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
9622lsmsubg2 19644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
971, 21, 2, 96syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
9824, 57sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
9968subgsubcl 18946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝐷 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∧ ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (𝐷(-gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
100993expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝐷 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ (𝐷(-gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
101100impancom 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (𝐷 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ (𝐷(-gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
10297, 98, 101syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ (𝐷(-gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
10312oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷(-gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) = ((𝐢(+gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))(-gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))
10411, 14sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
1055subgss 18936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
10621, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
107106, 57sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
1085, 59, 68grppncan 18845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐢 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ 𝐡) β†’ ((𝐢(+gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))(-gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) = 𝐢)
1094, 104, 107, 108syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ ((𝐢(+gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))(-gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) = 𝐢)
110103, 109eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝐷(-gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) = 𝐢)
111110eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((𝐷(-gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) ↔ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
112102, 111sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
11395, 112mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐷 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
114113ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ Β¬ 𝐷 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
11541ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
116 coprm 16594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (Β¬ 𝑃 βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑃 gcd 𝑛) = 1))
117115, 87, 116syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (Β¬ 𝑃 βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑃 gcd 𝑛) = 1))
11843ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
119 bezout 16431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)))
120118, 87, 119syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)))
121 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 β†’ ((𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) ↔ 1 = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏))))
1221212rexbidv 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 1 = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏))))
123120, 122syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 1 = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏))))
12494adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
125118adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
126 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
127125, 126zmulcld 12620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (𝑃 Β· π‘Ž) ∈ β„€)
12887adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
129 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
130128, 129zmulcld 12620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (𝑛 Β· 𝑏) ∈ β„€)
13163ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝐷 ∈ 𝐡)
132131adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝐷 ∈ 𝐡)
1335, 35, 59mulgdir 18915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑃 Β· π‘Ž) ∈ β„€ ∧ (𝑛 Β· 𝑏) ∈ β„€ ∧ 𝐷 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) Β· 𝐷) = (((𝑃 Β· π‘Ž) Β· 𝐷)(+gβ€˜πΊ)((𝑛 Β· 𝑏) Β· 𝐷)))
134124, 127, 130, 132, 133syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) Β· 𝐷) = (((𝑃 Β· π‘Ž) Β· 𝐷)(+gβ€˜πΊ)((𝑛 Β· 𝑏) Β· 𝐷)))
13597ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
136135adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
13790adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
138 zcn 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘Ž ∈ β„€ β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
139138ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
140137, 139mulcomd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (𝑃 Β· π‘Ž) = (π‘Ž Β· 𝑃))
141140oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((𝑃 Β· π‘Ž) Β· 𝐷) = ((π‘Ž Β· 𝑃) Β· 𝐷))
1425, 35mulgass 18920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝐷 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑃) Β· 𝐷) = (π‘Ž Β· (𝑃 Β· 𝐷)))
143124, 126, 125, 132, 142syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑃) Β· 𝐷) = (π‘Ž Β· (𝑃 Β· 𝐷)))
144141, 143eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((𝑃 Β· π‘Ž) Β· 𝐷) = (π‘Ž Β· (𝑃 Β· 𝐷)))
14522lsmub2 19447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ π‘Š βŠ† (𝑆 βŠ• π‘Š))
14621, 2, 145syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† (𝑆 βŠ• π‘Š))
14712oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑃 Β· 𝐷) = (𝑃 Β· (𝐢(+gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)))
1485, 35, 59mulgdi 19612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 Β· (𝐢(+gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))) = ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑃 Β· ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))))
1491, 43, 104, 107, 148syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· (𝐢(+gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))) = ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑃 Β· ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))))
150147, 149eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐷) = ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑃 Β· ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))))
1515, 35mulgass 18920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 ∈ β„€ ∧ (𝑀 / 𝑃) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑃 Β· (𝑀 / 𝑃)) Β· 𝐴) = (𝑃 Β· ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)))
1524, 43, 49, 17, 151syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ‘ β†’ ((𝑃 Β· (𝑀 / 𝑃)) Β· 𝐴) = (𝑃 Β· ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)))
15336zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
154153, 89, 46divcan2d 11940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· (𝑀 / 𝑃)) = 𝑀)
155154oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ‘ β†’ ((𝑃 Β· (𝑀 / 𝑃)) Β· 𝐴) = (𝑀 Β· 𝐴))
156152, 155eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) = (𝑀 Β· 𝐴))
157156oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (πœ‘ β†’ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑃 Β· ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))) = ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴)))
158150, 157eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐷) = ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴)))
159158, 37eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐷) ∈ π‘Š)
160146, 159sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
161160ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑃 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
162161adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (𝑃 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
16335subgmulgcl 18948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Ž ∈ β„€ ∧ (𝑃 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (π‘Ž Β· (𝑃 Β· 𝐷)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
164136, 126, 162, 163syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘Ž Β· (𝑃 Β· 𝐷)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
165144, 164eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((𝑃 Β· π‘Ž) Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
16688adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
167 zcn 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑏 ∈ β„€ β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
168167ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
169166, 168mulcomd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (𝑛 Β· 𝑏) = (𝑏 Β· 𝑛))
170169oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((𝑛 Β· 𝑏) Β· 𝐷) = ((𝑏 Β· 𝑛) Β· 𝐷))
1715, 35mulgass 18920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝐷 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑏 Β· 𝑛) Β· 𝐷) = (𝑏 Β· (𝑛 Β· 𝐷)))
172124, 129, 128, 132, 171syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((𝑏 Β· 𝑛) Β· 𝐷) = (𝑏 Β· (𝑛 Β· 𝐷)))
173170, 172eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((𝑛 Β· 𝑏) Β· 𝐷) = (𝑏 Β· (𝑛 Β· 𝐷)))
17484oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑀(-gβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))))
1751ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝐺 ∈ Abel)
1765subgss 18936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘Š βŠ† 𝐡)
17785, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ π‘Š βŠ† 𝐡)
178177, 86sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
1795, 35mulgcl 18900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝐷 ∈ 𝐡) β†’ (𝑛 Β· 𝐷) ∈ 𝐡)
18094, 87, 131, 179syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑛 Β· 𝐷) ∈ 𝐡)
1815, 68, 175, 178, 180ablnncan 19606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) = (𝑛 Β· 𝐷))
182174, 181eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑀(-gβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝑛 Β· 𝐷))
183146ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ π‘Š βŠ† (𝑆 βŠ• π‘Š))
184183, 86sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝑀 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
18524sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
186185ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ π‘₯ ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
18768subgsubcl 18946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (𝑀(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
188135, 184, 186, 187syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑀(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
189182, 188eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑛 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
190189adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (𝑛 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
19135subgmulgcl 18948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝑛 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (𝑏 Β· (𝑛 Β· 𝐷)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
192136, 129, 190, 191syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (𝑏 Β· (𝑛 Β· 𝐷)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
193173, 192eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((𝑛 Β· 𝑏) Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
19459subgcl 18945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ ((𝑃 Β· π‘Ž) Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∧ ((𝑛 Β· 𝑏) Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (((𝑃 Β· π‘Ž) Β· 𝐷)(+gβ€˜πΊ)((𝑛 Β· 𝑏) Β· 𝐷)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
195136, 165, 193, 194syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (((𝑃 Β· π‘Ž) Β· 𝐷)(+gβ€˜πΊ)((𝑛 Β· 𝑏) Β· 𝐷)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
196134, 195eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
197 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) β†’ (1 Β· 𝐷) = (((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) Β· 𝐷))
198197eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) β†’ ((1 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) ↔ (((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
199196, 198syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (1 = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) β†’ (1 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
200199rexlimdvva 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 1 = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) β†’ (1 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
201123, 200syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 β†’ (1 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
2025, 35mulg1 18890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷 ∈ 𝐡 β†’ (1 Β· 𝐷) = 𝐷)
203131, 202syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (1 Β· 𝐷) = 𝐷)
204203eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ ((1 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) ↔ 𝐷 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
205201, 204sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 β†’ 𝐷 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
206117, 205sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (Β¬ 𝑃 βˆ₯ 𝑛 β†’ 𝐷 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
207114, 206mt3d 148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝑃 βˆ₯ 𝑛)
208 dvdsval2 16146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝑃 β‰  0 ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑃) ∈ β„€))
209118, 91, 87, 208syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑃) ∈ β„€))
210207, 209mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑛 / 𝑃) ∈ β„€)
2115, 35mulgass 18920 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑛 / 𝑃) ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝐷 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑛 / 𝑃) Β· 𝑃) Β· 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐷)))
21294, 210, 118, 131, 211syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (((𝑛 / 𝑃) Β· 𝑃) Β· 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐷)))
21393, 212eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑛 Β· 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐷)))
214159ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑃 Β· 𝐷) ∈ π‘Š)
21535subgmulgcl 18948 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (𝑛 / 𝑃) ∈ β„€ ∧ (𝑃 Β· 𝐷) ∈ π‘Š) β†’ ((𝑛 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐷)) ∈ π‘Š)
21685, 210, 214, 215syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ ((𝑛 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐷)) ∈ π‘Š)
217213, 216eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑛 Β· 𝐷) ∈ π‘Š)
21868subgsubcl 18946 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ π‘Š ∧ (𝑛 Β· 𝐷) ∈ π‘Š) β†’ (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷)) ∈ π‘Š)
21985, 86, 217, 218syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷)) ∈ π‘Š)
22084, 219eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ π‘₯ ∈ π‘Š)
221220ex 414 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) β†’ (π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Š))
222221rexlimdvva 3206 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Š))
22383, 222sylbid 239 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) β†’ π‘₯ ∈ π‘Š))
224223imdistanda 573 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ π‘Š)))
225 elin 3931 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))))
226 elin 3931 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝑆 ∩ π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ π‘Š))
227224, 225, 2263imtr4g 296 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) β†’ π‘₯ ∈ (𝑆 ∩ π‘Š)))
228227ssrdv 3955 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) βŠ† (𝑆 ∩ π‘Š))
229228, 33sseqtrd 3989 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) βŠ† { 0 })
23029subg0cl 18943 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 0 ∈ 𝑆)
23121, 230syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝑆)
23229subg0cl 18943 . . . . . 6 ((π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 0 ∈ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})))
23367, 232syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})))
234231, 233elind 4159 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))))
235234snssd 4774 . . 3 (πœ‘ β†’ { 0 } βŠ† (𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))))
236229, 235eqssd 3966 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) = { 0 })
23722lsmass 19458 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝐷}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) = (𝑆 βŠ• (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))))
23821, 2, 65, 237syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) = (𝑆 βŠ• (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))))
23962, 113eldifd 3926 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
24018, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34pgpfac1lem1 19860 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) = π‘ˆ)
241239, 240mpdan 686 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) = π‘ˆ)
242238, 241eqtr3d 2779 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) = π‘ˆ)
243 ineq2 4171 . . . . 5 (𝑑 = (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) β†’ (𝑆 ∩ 𝑑) = (𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))))
244243eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑑 = (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) β†’ ((𝑆 ∩ 𝑑) = { 0 } ↔ (𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) = { 0 }))
245 oveq2 7370 . . . . 5 (𝑑 = (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) β†’ (𝑆 βŠ• 𝑑) = (𝑆 βŠ• (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))))
246245eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑑 = (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) β†’ ((𝑆 βŠ• 𝑑) = π‘ˆ ↔ (𝑆 βŠ• (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) = π‘ˆ))
247244, 246anbi12d 632 . . 3 (𝑑 = (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) β†’ (((𝑆 ∩ 𝑑) = { 0 } ∧ (𝑆 βŠ• 𝑑) = π‘ˆ) ↔ ((𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) = { 0 } ∧ (𝑆 βŠ• (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) = π‘ˆ)))
248247rspcev 3584 . 2 (((π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ ((𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) = { 0 } ∧ (𝑆 βŠ• (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) = π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑆 ∩ 𝑑) = { 0 } ∧ (𝑆 βŠ• 𝑑) = π‘ˆ))
24967, 236, 242, 248syl12anc 836 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑆 ∩ 𝑑) = { 0 } ∧ (𝑆 βŠ• 𝑑) = π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915   ⊊ wpss 3916  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ran crn 5639  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„€cz 12506   βˆ₯ cdvds 16143   gcd cgcd 16381  β„™cprime 16554  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  0gc0g 17328  Moorecmre 17469  mrClscmrc 17470  ACScacs 17472  Grpcgrp 18755  -gcsg 18757  .gcmg 18879  SubGrpcsubg 18929  odcod 19313  gExcgex 19314   pGrp cpgp 19315  LSSumclsm 19423  Abelcabl 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-eqg 18934  df-ga 19077  df-cntz 19104  df-od 19317  df-gex 19318  df-pgp 19319  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  19864
  Copyright terms: Public domain W3C validator