pgpfac1lem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem pgpfac1lem3 19941

Description: Lemma for pgpfac1 19944. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pgpfac1.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s	⊢ 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z	⊢ 0 = (0_g‘𝐺)
pgpfac1.l	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
pgpfac1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss	⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤 ⊊ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑤) → ¬ (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
pgpfac1.mg	⊢ · = (._g‘𝐺)
pgpfac1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
pgpfac1.mw	⊢ (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+_g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
pgpfac1.d	⊢ 𝐷 = (𝐶(+_g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))

**Assertion**
Ref	Expression
pgpfac1lem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈))

Distinct variable groups: 𝑡, 0 𝑤,𝑡,𝐴 𝑡,𝐷,𝑤 𝑡, ⊕ ,𝑤 𝑡,𝑃,𝑤 𝑡,𝐵 𝑡,𝐺,𝑤 𝑡,𝑈,𝑤 𝑡,𝐶,𝑤 𝑡,𝑆,𝑤 𝑡,𝑊,𝑤 𝜑,𝑡,𝑤 𝑡, · ,𝑤 𝑡,𝐾,𝑤 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑤) 𝐸(𝑤,𝑡) 𝑀(𝑤,𝑡) 𝑂(𝑤,𝑡) 0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem3 Dummy variables 𝑏 𝑥 𝑦 𝑎 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgpfac1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
2		pgpfac1.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		ablgrp 19647	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
5		pgpfac1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	5	subgacs 19035	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
7		acsmre 17592	. . . . 5 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
8	4, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
9		pgpfac1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
10	5	subgss 19001	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐵)
12		pgpfac1.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝐶(+_g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))
13		pgpfac1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
14	13	eldifad 3959	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
15		pgpfac1.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
16		pgpfac1.au	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
17	11, 16	sseldd 3982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
18		pgpfac1.k	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
19	18	mrcsncl 17552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
20	8, 17, 19	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
21	15, 20	eqeltrid 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
22		pgpfac1.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
23	22	lsmub1 19519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊))
24	21, 2, 23	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊))
25		pgpfac1.ss	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝑈)
26	24, 25	sstrd 3991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑈)
27		pgpfac1.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
28		pgpfac1.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
29		pgpfac1.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0_g‘𝐺)
30		pgpfac1.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp 𝐺)
31		pgpfac1.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
32		pgpfac1.oe	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 𝐸)
33		pgpfac1.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 })
34		pgpfac1.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤 ⊊ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑤) → ¬ (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊊ 𝑤))
35		pgpfac1.mg	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (._g‘𝐺)
36		pgpfac1.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
37		pgpfac1.mw	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+_g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
38	18, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34, 13, 35, 36, 37	pgpfac1lem3a 19940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝐸 ∧ 𝑃 ∥ 𝑀))
39	38	simprd 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑀)
40		pgpprm 19455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 → 𝑃 ∈ ℙ)
41	30, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
42		prmz 16608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
44		prmnn 16607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
45	41, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
46	45	nnne0d 12258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
47		dvdsval2 16196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ))
48	43, 46, 36, 47	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ))
49	39, 48	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ)
50	17	snssd 4811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
51	8, 18, 50	mrcssidd 17565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴}))
52	51, 15	sseqtrrdi 4032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝑆)
53		snssg 4786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
54	16, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
55	52, 54	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
56	35	subgmulgcl 19013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑆)
57	21, 49, 55, 56	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑆)
58	26, 57	sseldd 3982	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑈)
59		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (+_g‘𝐺) = (+_g‘𝐺)
60	59	subgcl 19010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑈) → (𝐶(+_g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ 𝑈)
61	9, 14, 58, 60	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶(+_g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ 𝑈)
62	12, 61	eqeltrid 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
63	11, 62	sseldd 3982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
64	18	mrcsncl 17552	. . . 4 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
65	8, 63, 64	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
66	22	lsmsubg2 19721	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
67	1, 2, 65, 66	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
68		eqid 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-_g‘𝐺) = (-_g‘𝐺)
69	68, 22, 2, 65	lsmelvalm 19513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)𝑦)))
70		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))
71	5, 35, 70, 18	cycsubg2 19081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐷}) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷)))
72	4, 63, 71	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝐷}) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷)))
73	72	rexeqdv 3326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)𝑦)))
74		ovex 7438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 · 𝐷) ∈ V
75	74	rgenw 3065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝐷) ∈ V
76		oveq2 7413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑛 · 𝐷) → (𝑤(-_g‘𝐺)𝑦) = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)))
77	76	eqeq2d 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑛 · 𝐷) → (𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)𝑦) ↔ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
78	70, 77	rexrnmptw 7093	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝐷) ∈ V → (∃𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
79	75, 78	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)))
80	73, 79	bitrdi 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
81	80	rexbidv 3178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
82	69, 81	bitrd 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
83	82	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
84		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)))
85	2	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
86		simplrl 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑤 ∈ 𝑊)
87		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑛 ∈ ℤ)
88	87	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑛 ∈ ℂ)
89	45	nncnd 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
90	89	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℂ)
91	46	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ≠ 0)
92	88, 90, 91	divcan1d 11987	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) = 𝑛)
93	92	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐷) = (𝑛 · 𝐷))
94	4	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝐺 ∈ Grp)
95	13	eldifbd 3960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
96	22	lsmsubg2 19721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
97	1, 21, 2, 96	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
98	24, 57	sseldd 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
99	68	subgsubcl 19011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝐷(-_g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
100	99	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → (𝐷(-_g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
101	100	impancom 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → (𝐷(-_g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
102	97, 98, 101	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → (𝐷(-_g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
103	12	oveq1i 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐷(-_g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = ((𝐶(+_g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))(-_g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))
104	11, 14	sseldd 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
105	5	subgss 19001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
106	21, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
107	106, 57	sseldd 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝐵)
108	5, 59, 68	grppncan 18910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝐵) → ((𝐶(+_g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))(-_g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = 𝐶)
109	4, 104, 107, 108	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((𝐶(+_g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))(-_g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = 𝐶)
110	103, 109	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐷(-_g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = 𝐶)
111	110	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝐷(-_g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ↔ 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
112	102, 111	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
113	95, 112	mtod 197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
114	113	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ¬ 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
115	41	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
116		coprm 16644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑛 ↔ (𝑃 gcd 𝑛) = 1))
117	115, 87, 116	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑛 ↔ (𝑃 gcd 𝑛) = 1))
118	43	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℤ)
119		bezout 16481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)))
120	118, 87, 119	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)))
121		eqeq1 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → ((𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) ↔ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏))))
122	121	2rexbidv 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏))))
123	120, 122	syl5ibcom 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏))))
124	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
125	118	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈ ℤ)
126		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
127	125, 126	zmulcld 12668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑃 · 𝑎) ∈ ℤ)
128	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℤ)
129		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
130	128, 129	zmulcld 12668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑏) ∈ ℤ)
131	63	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ 𝐵)
132	131	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ 𝐵)
133	5, 35, 59	mulgdir 18980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑃 · 𝑎) ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) = (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+_g‘𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)))
134	124, 127, 130, 132, 133	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) = (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+_g‘𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)))
135	97	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
136	135	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
137	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈ ℂ)
138		zcn 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
139	138	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
140	137, 139	mulcomd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑃 · 𝑎) = (𝑎 · 𝑃))
141	140	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) = ((𝑎 · 𝑃) · 𝐷))
142	5, 35	mulgass 18985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · 𝑃) · 𝐷) = (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)))
143	124, 126, 125, 132, 142	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑃) · 𝐷) = (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)))
144	141, 143	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) = (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)))
145	22	lsmub2 19520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑊 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊))
146	21, 2, 145	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊))
147	12	oveq2i 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑃 · 𝐷) = (𝑃 · (𝐶(+_g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)))
148	5, 35, 59	mulgdi 19688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝐵)) → (𝑃 · (𝐶(+_g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))) = ((𝑃 · 𝐶)(+_g‘𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))))
149	1, 43, 104, 107, 148	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐶(+_g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))) = ((𝑃 · 𝐶)(+_g‘𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))))
150	147, 149	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) = ((𝑃 · 𝐶)(+_g‘𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))))
151	5, 35	mulgass 18985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) · 𝐴) = (𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)))
152	4, 43, 49, 17, 151	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) · 𝐴) = (𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)))
153	36	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
154	153, 89, 46	divcan2d 11988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) = 𝑀)
155	154	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴))
156	152, 155	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = (𝑀 · 𝐴))
157	156	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+_g‘𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))) = ((𝑃 · 𝐶)(+_g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴)))
158	150, 157	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) = ((𝑃 · 𝐶)(+_g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴)))
159	158, 37	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) ∈ 𝑊)
160	146, 159	sseldd 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
161	160	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
162	161	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
163	35	subgmulgcl 19013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
164	136, 126, 162, 163	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
165	144, 164	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
166	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
167		zcn 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
168	167	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
169	166, 168	mulcomd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑛))
170	169	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) = ((𝑏 · 𝑛) · 𝐷))
171	5, 35	mulgass 18985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → ((𝑏 · 𝑛) · 𝐷) = (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)))
172	124, 129, 128, 132, 171	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · 𝑛) · 𝐷) = (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)))
173	170, 172	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) = (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)))
174	84	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-_g‘𝐺)𝑥) = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
175	1	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝐺 ∈ Abel)
176	5	subgss 19001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑊 ⊆ 𝐵)
177	85, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑊 ⊆ 𝐵)
178	177, 86	sseldd 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑤 ∈ 𝐵)
179	5, 35	mulgcl 18965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝐵)
180	94, 87, 131, 179	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝐵)
181	5, 68, 175, 178, 180	ablnncan 19682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) = (𝑛 · 𝐷))
182	174, 181	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-_g‘𝐺)𝑥) = (𝑛 · 𝐷))
183	146	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑊 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊))
184	183, 86	sseldd 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑤 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
185	24	sselda 3981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
186	185	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
187	68	subgsubcl 19011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑤(-_g‘𝐺)𝑥) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
188	135, 184, 186, 187	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-_g‘𝐺)𝑥) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
189	182, 188	eqeltrrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
190	189	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
191	35	subgmulgcl 19013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
192	136, 129, 190, 191	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
193	173, 192	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
194	59	subgcl 19010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ∧ ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+_g‘𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
195	136, 165, 193, 194	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+_g‘𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
196	134, 195	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
197		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → (1 · 𝐷) = (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷))
198	197	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → ((1 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ↔ (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
199	196, 198	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → (1 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
200	199	rexlimdvva 3211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → (1 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
201	123, 200	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → (1 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
202	5, 35	mulg1 18955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 → (1 · 𝐷) = 𝐷)
203	131, 202	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
204	203	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((1 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ↔ 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
205	201, 204	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
206	117, 205	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑛 → 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
207	114, 206	mt3d 148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ 𝑛)
208		dvdsval2 16196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ))
209	118, 91, 87, 208	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑃 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ))
210	207, 209	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ)
211	5, 35	mulgass 18985	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)))
212	94, 210, 118, 131, 211	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)))
213	93, 212	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)))
214	159	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑃 · 𝐷) ∈ 𝑊)
215	35	subgmulgcl 19013	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐷) ∈ 𝑊) → ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)) ∈ 𝑊)
216	85, 210, 214, 215	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)) ∈ 𝑊)
217	213, 216	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝑊)
218	68	subgsubcl 19011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊 ∧ (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝑊) → (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)) ∈ 𝑊)
219	85, 86, 217, 218	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)) ∈ 𝑊)
220	84, 219	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑥 ∈ 𝑊)
221	220	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)) → 𝑥 ∈ 𝑊))
222	221	rexlimdvva 3211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-_g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)) → 𝑥 ∈ 𝑊))
223	83, 222	sylbid 239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → 𝑥 ∈ 𝑊))
224	223	imdistanda 572	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊)))
225		elin 3963	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))))
226		elin 3963	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑊) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊))
227	224, 225, 226	3imtr4g 295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑊)))
228	227	ssrdv 3987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) ⊆ (𝑆 ∩ 𝑊))
229	228, 33	sseqtrd 4021	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) ⊆ { 0 })
230	29	subg0cl 19008	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)
231	21, 230	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
232	29	subg0cl 19008	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})))
233	67, 232	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})))
234	231, 233	elind 4193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))))
235	234	snssd 4811	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))))
236	229, 235	eqssd 3998	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 })
237	22	lsmass 19531	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{𝐷})) = (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))))
238	21, 2, 65, 237	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{𝐷})) = (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))))
239	62, 113	eldifd 3958	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
240	18, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34	pgpfac1lem1 19938	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊))) → ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{𝐷})) = 𝑈)
241	239, 240	mpdan 685	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{𝐷})) = 𝑈)
242	238, 241	eqtr3d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈)
243		ineq2 4205	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → (𝑆 ∩ 𝑡) = (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))))
244	243	eqeq1d 2734	. . . 4 ⊢ (𝑡 = (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → ((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ↔ (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 }))
245		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → (𝑆 ⊕ 𝑡) = (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))))
246	245	eqeq1d 2734	. . . 4 ⊢ (𝑡 = (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → ((𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈 ↔ (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈))
247	244, 246	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝑡 = (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → (((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈)))
248	247	rspcev 3612	. 2 ⊢ (((𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈)) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈))
249	67, 236, 242, 248	syl12anc 835	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2940 ∀wral 3061 ∃wrex 3070 Vcvv 3474 ∖ cdif 3944 ∩ cin 3946 ⊆ wss 3947 ⊊ wpss 3948 {csn 4627 class class class wbr 5147 ↦ cmpt 5230 ran crn 5676 ‘cfv 6540 (class class class)co 7405 Fincfn 8935 ℂcc 11104 0cc0 11106 1c1 11107 + caddc 11109 · cmul 11111 / cdiv 11867 ℕcn 12208 ℤcz 12554 ∥ cdvds 16193 gcd cgcd 16431 ℙcprime 16604 Basecbs 17140 +_gcplusg 17193 0_gc0g 17381 Moorecmre 17522 mrClscmrc 17523 ACScacs 17525 Grpcgrp 18815 -_gcsg 18817 ._gcmg 18944 SubGrpcsubg 18994 odcod 19386 gExcgex 19387 pGrp cpgp 19388 LSSumclsm 19496 Abelcabl 19643

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-inf2 9632 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-iin 4999 df-disj 5113 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-se 5631 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-2o 8463 df-oadd 8466 df-omul 8467 df-er 8699 df-ec 8701 df-qs 8705 df-map 8818 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-sup 9433 df-inf 9434 df-oi 9501 df-dju 9892 df-card 9930 df-acn 9933 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-nn 12209 df-2 12271 df-3 12272 df-n0 12469 df-xnn0 12541 df-z 12555 df-uz 12819 df-q 12929 df-rp 12971 df-fz 13481 df-fzo 13624 df-fl 13753 df-mod 13831 df-seq 13963 df-exp 14024 df-fac 14230 df-bc 14259 df-hash 14287 df-cj 15042 df-re 15043 df-im 15044 df-sqrt 15178 df-abs 15179 df-clim 15428 df-sum 15629 df-dvds 16194 df-gcd 16432 df-prm 16605 df-pc 16766 df-sets 17093 df-slot 17111 df-ndx 17123 df-base 17141 df-ress 17170 df-plusg 17206 df-0g 17383 df-mre 17526 df-mrc 17527 df-acs 17529 df-mgm 18557 df-sgrp 18606 df-mnd 18622 df-submnd 18668 df-grp 18818 df-minusg 18819 df-sbg 18820 df-mulg 18945 df-subg 18997 df-eqg 18999 df-ga 19148 df-cntz 19175 df-od 19390 df-gex 19391 df-pgp 19392 df-lsm 19498 df-cmn 19644 df-abl 19645

This theorem is referenced by: pgpfac1lem4 19942

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