MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfac1lem3 19190
Description: Lemma for pgpfac1 19193. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z 0 = (0g𝐺)
pgpfac1.l = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au (𝜑𝐴𝑈)
pgpfac1.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
pgpfac1.mg · = (.g𝐺)
pgpfac1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
pgpfac1.mw (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
pgpfac1.d 𝐷 = (𝐶(+g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem3 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑡, 0   𝑤,𝑡,𝐴   𝑡,𝐷,𝑤   𝑡, ,𝑤   𝑡,𝑃,𝑤   𝑡,𝐵   𝑡,𝐺,𝑤   𝑡,𝑈,𝑤   𝑡,𝐶,𝑤   𝑡,𝑆,𝑤   𝑡,𝑊,𝑤   𝜑,𝑡,𝑤   𝑡, · ,𝑤   𝑡,𝐾,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐸(𝑤,𝑡)   𝑀(𝑤,𝑡)   𝑂(𝑤,𝑡)   0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem3
Dummy variables 𝑏 𝑥 𝑦 𝑎 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
2 pgpfac1.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 ablgrp 18902 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
5 pgpfac1.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
65subgacs 18304 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
7 acsmre 16914 . . . . 5 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
84, 6, 73syl 18 . . . 4 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
9 pgpfac1.u . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
105subgss 18271 . . . . . 6 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈𝐵)
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐵)
12 pgpfac1.d . . . . . 6 𝐷 = (𝐶(+g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))
13 pgpfac1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
1413eldifad 3930 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑈)
15 pgpfac1.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
16 pgpfac1.au . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑈)
1711, 16sseldd 3952 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐵)
18 pgpfac1.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
1918mrcsncl 16874 . . . . . . . . . . . 12 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
208, 17, 19syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2115, 20eqeltrid 2920 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
22 pgpfac1.l . . . . . . . . . . 11 = (LSSum‘𝐺)
2322lsmub1 18773 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 𝑊))
2421, 2, 23syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑆 𝑊))
25 pgpfac1.ss . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
2624, 25sstrd 3961 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆𝑈)
27 pgpfac1.o . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (od‘𝐺)
28 pgpfac1.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (gEx‘𝐺)
29 pgpfac1.z . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝐺)
30 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
31 pgpfac1.n . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
32 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
33 pgpfac1.i . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
34 pgpfac1.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
35 pgpfac1.mg . . . . . . . . . . . 12 · = (.g𝐺)
36 pgpfac1.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
37 pgpfac1.mw . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
3818, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34, 13, 35, 36, 37pgpfac1lem3a 19189 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃𝐸𝑃𝑀))
3938simprd 499 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝑀)
40 pgpprm 18709 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ)
4130, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
42 prmz 16008 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
44 prmnn 16007 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4541, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
4645nnne0d 11675 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ≠ 0)
47 dvdsval2 15601 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ))
4843, 46, 36, 47syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ))
4939, 48mpbid 235 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ)
5017snssd 4725 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
518, 18, 50mrcssidd 16887 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴}))
5251, 15sseqtrrdi 4002 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝑆)
53 snssg 4700 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑈 → (𝐴𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
5416, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
5552, 54mpbird 260 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑆)
5635subgmulgcl 18283 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑆)
5721, 49, 55, 56syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑆)
5826, 57sseldd 3952 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑈)
59 eqid 2824 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
6059subgcl 18280 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐶𝑈 ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑈) → (𝐶(+g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ 𝑈)
619, 14, 58, 60syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(+g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ 𝑈)
6212, 61eqeltrid 2920 . . . . 5 (𝜑𝐷𝑈)
6311, 62sseldd 3952 . . . 4 (𝜑𝐷𝐵)
6418mrcsncl 16874 . . . 4 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐷𝐵) → (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
658, 63, 64syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
6622lsmsubg2 18970 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
671, 2, 65, 66syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
68 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (-g𝐺) = (-g𝐺)
6968, 22, 2, 65lsmelvalm 18767 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) ↔ ∃𝑤𝑊𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-g𝐺)𝑦)))
70 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))
715, 35, 70, 18cycsubg2 18344 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷𝐵) → (𝐾‘{𝐷}) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷)))
724, 63, 71syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾‘{𝐷}) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷)))
7372rexeqdv 3403 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-g𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))𝑥 = (𝑤(-g𝐺)𝑦)))
74 ovex 7173 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 · 𝐷) ∈ V
7574rgenw 3144 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝐷) ∈ V
76 oveq2 7148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑛 · 𝐷) → (𝑤(-g𝐺)𝑦) = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷)))
7776eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑛 · 𝐷) → (𝑥 = (𝑤(-g𝐺)𝑦) ↔ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
7870, 77rexrnmptw 6844 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝐷) ∈ V → (∃𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))𝑥 = (𝑤(-g𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
7975, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))𝑥 = (𝑤(-g𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷)))
8073, 79syl6bb 290 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-g𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
8180rexbidv 3289 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∃𝑤𝑊𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-g𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
8269, 81bitrd 282 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) ↔ ∃𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
8382adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) ↔ ∃𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
84 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷)))
852ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
86 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑤𝑊)
87 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑛 ∈ ℤ)
8887zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑛 ∈ ℂ)
8945nncnd 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
9089ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℂ)
9146ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ≠ 0)
9288, 90, 91divcan1d 11404 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) = 𝑛)
9392oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐷) = (𝑛 · 𝐷))
944ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝐺 ∈ Grp)
9513eldifbd 3931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))
9622lsmsubg2 18970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
971, 21, 2, 96syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
9824, 57sseldd 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 𝑊))
9968subgsubcl 18281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (𝑆 𝑊) ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝐷(-g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 𝑊))
100993expia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (𝑆 𝑊)) → (((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 𝑊) → (𝐷(-g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 𝑊)))
101100impancom 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝐷 ∈ (𝑆 𝑊) → (𝐷(-g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 𝑊)))
10297, 98, 101syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝑆 𝑊) → (𝐷(-g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 𝑊)))
10312oveq1i 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷(-g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = ((𝐶(+g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))(-g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))
10411, 14sseldd 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐶𝐵)
1055subgss 18271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝐵)
10621, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑆𝐵)
107106, 57sseldd 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝐵)
1085, 59, 68grppncan 18181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶𝐵 ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝐵) → ((𝐶(+g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))(-g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = 𝐶)
1094, 104, 107, 108syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝐶(+g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))(-g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = 𝐶)
110103, 109syl5eq 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐷(-g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = 𝐶)
111110eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐷(-g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 𝑊) ↔ 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
112102, 111sylibd 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
11395, 112mtod 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ (𝑆 𝑊))
114113ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ¬ 𝐷 ∈ (𝑆 𝑊))
11541ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
116 coprm 16044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑛 ↔ (𝑃 gcd 𝑛) = 1))
117115, 87, 116syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (¬ 𝑃𝑛 ↔ (𝑃 gcd 𝑛) = 1))
11843ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℤ)
119 bezout 15880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)))
120118, 87, 119syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)))
121 eqeq1 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → ((𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) ↔ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏))))
1221212rexbidv 3292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏))))
123120, 122syl5ibcom 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏))))
12494adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
125118adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈ ℤ)
126 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
127125, 126zmulcld 12081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑃 · 𝑎) ∈ ℤ)
12887adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℤ)
129 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
130128, 129zmulcld 12081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑏) ∈ ℤ)
13163ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝐷𝐵)
132131adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐷𝐵)
1335, 35, 59mulgdir 18250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑃 · 𝑎) ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝐷𝐵)) → (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) = (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+g𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)))
134124, 127, 130, 132, 133syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) = (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+g𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)))
13597ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
136135adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
13790adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈ ℂ)
138 zcn 11974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
139138ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
140137, 139mulcomd 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑃 · 𝑎) = (𝑎 · 𝑃))
141140oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) = ((𝑎 · 𝑃) · 𝐷))
1425, 35mulgass 18255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐷𝐵)) → ((𝑎 · 𝑃) · 𝐷) = (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)))
143124, 126, 125, 132, 142syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑃) · 𝐷) = (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)))
144141, 143eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) = (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)))
14522lsmub2 18774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑊 ⊆ (𝑆 𝑊))
14621, 2, 145syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝑊 ⊆ (𝑆 𝑊))
14712oveq2i 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑃 · 𝐷) = (𝑃 · (𝐶(+g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)))
1485, 35, 59mulgdi 18938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐵 ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝐵)) → (𝑃 · (𝐶(+g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))) = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))))
1491, 43, 104, 107, 148syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → (𝑃 · (𝐶(+g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))) = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))))
150147, 149syl5eq 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))))
1515, 35mulgass 18255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) · 𝐴) = (𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)))
1524, 43, 49, 17, 151syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) · 𝐴) = (𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)))
15336zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
154153, 89, 46divcan2d 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑 → (𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) = 𝑀)
155154oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴))
156152, 155eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → (𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = (𝑀 · 𝐴))
157156oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))) = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴)))
158150, 157eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴)))
159158, 37eqeltrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) ∈ 𝑊)
160146, 159sseldd 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊))
161160ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊))
162161adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊))
16335subgmulgcl 18283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)) ∈ (𝑆 𝑊))
164136, 126, 162, 163syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)) ∈ (𝑆 𝑊))
165144, 164eqeltrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊))
16688adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
167 zcn 11974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
168167ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
169166, 168mulcomd 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑛))
170169oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) = ((𝑏 · 𝑛) · 𝐷))
1715, 35mulgass 18255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐷𝐵)) → ((𝑏 · 𝑛) · 𝐷) = (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)))
172124, 129, 128, 132, 171syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · 𝑛) · 𝐷) = (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)))
173170, 172eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) = (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)))
17484oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g𝐺)𝑥) = (𝑤(-g𝐺)(𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
1751ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝐺 ∈ Abel)
1765subgss 18271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑊𝐵)
17785, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑊𝐵)
178177, 86sseldd 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑤𝐵)
1795, 35mulgcl 18236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐷𝐵) → (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝐵)
18094, 87, 131, 179syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝐵)
1815, 68, 175, 178, 180ablnncan 18932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g𝐺)(𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) = (𝑛 · 𝐷))
182174, 181eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g𝐺)𝑥) = (𝑛 · 𝐷))
183146ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑊 ⊆ (𝑆 𝑊))
184183, 86sseldd 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑤 ∈ (𝑆 𝑊))
18524sselda 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑆 𝑊))
186185ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑥 ∈ (𝑆 𝑊))
18768subgsubcl 18281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (𝑆 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑤(-g𝐺)𝑥) ∈ (𝑆 𝑊))
188135, 184, 186, 187syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g𝐺)𝑥) ∈ (𝑆 𝑊))
189182, 188eqeltrrd 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊))
190189adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊))
19135subgmulgcl 18283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)) ∈ (𝑆 𝑊))
192136, 129, 190, 191syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)) ∈ (𝑆 𝑊))
193173, 192eqeltrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊))
19459subgcl 18280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊) ∧ ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊)) → (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+g𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)) ∈ (𝑆 𝑊))
195136, 165, 193, 194syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+g𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)) ∈ (𝑆 𝑊))
196134, 195eqeltrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊))
197 oveq1 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → (1 · 𝐷) = (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷))
198197eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → ((1 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊) ↔ (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊)))
199196, 198syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → (1 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊)))
200199rexlimdvva 3286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → (1 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊)))
201123, 200syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → (1 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊)))
2025, 35mulg1 18226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷𝐵 → (1 · 𝐷) = 𝐷)
203131, 202syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
204203eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((1 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊) ↔ 𝐷 ∈ (𝑆 𝑊)))
205201, 204sylibd 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → 𝐷 ∈ (𝑆 𝑊)))
206117, 205sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (¬ 𝑃𝑛𝐷 ∈ (𝑆 𝑊)))
207114, 206mt3d 150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃𝑛)
208 dvdsval2 15601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑃𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ))
209118, 91, 87, 208syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑃𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ))
210207, 209mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ)
2115, 35mulgass 18255 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐷𝐵)) → (((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)))
21294, 210, 118, 131, 211syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)))
21393, 212eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)))
214159ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑃 · 𝐷) ∈ 𝑊)
21535subgmulgcl 18283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐷) ∈ 𝑊) → ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)) ∈ 𝑊)
21685, 210, 214, 215syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)) ∈ 𝑊)
217213, 216eqeltrd 2916 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝑊)
21868subgsubcl 18281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑤𝑊 ∧ (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝑊) → (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷)) ∈ 𝑊)
21985, 86, 217, 218syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷)) ∈ 𝑊)
22084, 219eqeltrd 2916 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑥𝑊)
221220ex 416 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) → (𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷)) → 𝑥𝑊))
222221rexlimdvva 3286 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → (∃𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷)) → 𝑥𝑊))
22383, 222sylbid 243 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) → 𝑥𝑊))
224223imdistanda 575 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝑆𝑥 ∈ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) → (𝑥𝑆𝑥𝑊)))
225 elin 3934 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) ↔ (𝑥𝑆𝑥 ∈ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))))
226 elin 3934 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑆𝑊) ↔ (𝑥𝑆𝑥𝑊))
227224, 225, 2263imtr4g 299 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) → 𝑥 ∈ (𝑆𝑊)))
228227ssrdv 3957 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) ⊆ (𝑆𝑊))
229228, 33sseqtrd 3991 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) ⊆ { 0 })
23029subg0cl 18278 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝑆)
23121, 230syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝑆)
23229subg0cl 18278 . . . . . 6 ((𝑊 (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑊 (𝐾‘{𝐷})))
23367, 232syl 17 . . . . 5 (𝜑0 ∈ (𝑊 (𝐾‘{𝐷})))
234231, 233elind 4154 . . . 4 (𝜑0 ∈ (𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))))
235234snssd 4725 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))))
236229, 235eqssd 3968 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 })
23722lsmass 18786 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐷})) = (𝑆 (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))))
23821, 2, 65, 237syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐷})) = (𝑆 (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))))
23962, 113eldifd 3929 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
24018, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34pgpfac1lem1 19187 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐷})) = 𝑈)
241239, 240mpdan 686 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐷})) = 𝑈)
242238, 241eqtr3d 2861 . 2 (𝜑 → (𝑆 (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈)
243 ineq2 4166 . . . . 5 (𝑡 = (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) → (𝑆𝑡) = (𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))))
244243eqeq1d 2826 . . . 4 (𝑡 = (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) → ((𝑆𝑡) = { 0 } ↔ (𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 }))
245 oveq2 7148 . . . . 5 (𝑡 = (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) → (𝑆 𝑡) = (𝑆 (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))))
246245eqeq1d 2826 . . . 4 (𝑡 = (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) → ((𝑆 𝑡) = 𝑈 ↔ (𝑆 (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈))
247244, 246anbi12d 633 . . 3 (𝑡 = (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) → (((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑈) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 } ∧ (𝑆 (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈)))
248247rspcev 3608 . 2 (((𝑊 (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 } ∧ (𝑆 (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈)) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑈))
24967, 236, 242, 248syl12anc 835 1 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  wral 3132  wrex 3133  Vcvv 3479  cdif 3915  cin 3917  wss 3918  wpss 3919  {csn 4548   class class class wbr 5049  cmpt 5129  ran crn 5539  cfv 6338  (class class class)co 7140  Fincfn 8494  cc 10522  0cc0 10524  1c1 10525   + caddc 10527   · cmul 10529   / cdiv 11284  cn 11625  cz 11969  cdvds 15598   gcd cgcd 15832  cprime 16004  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  0gc0g 16704  Moorecmre 16844  mrClscmrc 16845  ACScacs 16847  Grpcgrp 18094  -gcsg 18096  .gcmg 18215  SubGrpcsubg 18264  odcod 18643  gExcgex 18644   pGrp cpgp 18645  LSSumclsm 18750  Abelcabl 18898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-inf2 9090  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-iin 4905  df-disj 5015  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-se 5498  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-isom 6347  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-omul 8092  df-er 8274  df-ec 8276  df-qs 8280  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-dju 9316  df-card 9354  df-acn 9357  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-sum 15034  df-dvds 15599  df-gcd 15833  df-prm 16005  df-pc 16163  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-0g 16706  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-eqg 18269  df-ga 18411  df-cntz 18438  df-od 18647  df-gex 18648  df-pgp 18649  df-lsm 18752  df-cmn 18899  df-abl 18900
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  19191
  Copyright terms: Public domain W3C validator