MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfac1lem3 20018
Description: Lemma for pgpfac1 20021. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.s 𝑆 = (πΎβ€˜{𝐴})
pgpfac1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
pgpfac1.o 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
pgpfac1.e 𝐸 = (gExβ€˜πΊ)
pgpfac1.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
pgpfac1.l βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
pgpfac1.p (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π΄) = 𝐸)
pgpfac1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.au (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
pgpfac1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.i (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ π‘Š) = { 0 })
pgpfac1.ss (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† π‘ˆ)
pgpfac1.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑀 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀))
pgpfac1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
pgpfac1.mg Β· = (.gβ€˜πΊ)
pgpfac1.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
pgpfac1.mw (πœ‘ β†’ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)
pgpfac1.d 𝐷 = (𝐢(+gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑆 ∩ 𝑑) = { 0 } ∧ (𝑆 βŠ• 𝑑) = π‘ˆ))
Distinct variable groups:   𝑑, 0   𝑀,𝑑,𝐴   𝑑,𝐷,𝑀   𝑑, βŠ• ,𝑀   𝑑,𝑃,𝑀   𝑑,𝐡   𝑑,𝐺,𝑀   𝑑,π‘ˆ,𝑀   𝑑,𝐢,𝑀   𝑑,𝑆,𝑀   𝑑,π‘Š,𝑀   πœ‘,𝑑,𝑀   𝑑, Β· ,𝑀   𝑑,𝐾,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑀)   𝐸(𝑀,𝑑)   𝑀(𝑀,𝑑)   𝑂(𝑀,𝑑)   0 (𝑀)

Proof of Theorem pgpfac1lem3
Dummy variables 𝑏 π‘₯ 𝑦 π‘Ž 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
2 pgpfac1.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
3 ablgrp 19724 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
41, 3syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
5 pgpfac1.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
65subgacs 19100 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
7 acsmre 17617 . . . . 5 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
84, 6, 73syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
9 pgpfac1.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
105subgss 19066 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
119, 10syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
12 pgpfac1.d . . . . . 6 𝐷 = (𝐢(+gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))
13 pgpfac1.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
1413eldifad 3956 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
15 pgpfac1.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (πΎβ€˜{𝐴})
16 pgpfac1.au . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
1711, 16sseldd 3979 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
18 pgpfac1.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
1918mrcsncl 17577 . . . . . . . . . . . 12 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
208, 17, 19syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
2115, 20eqeltrid 2832 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
22 pgpfac1.l . . . . . . . . . . 11 βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
2322lsmub1 19596 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝑆 βŠ† (𝑆 βŠ• π‘Š))
2421, 2, 23syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (𝑆 βŠ• π‘Š))
25 pgpfac1.ss . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† π‘ˆ)
2624, 25sstrd 3988 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† π‘ˆ)
27 pgpfac1.o . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
28 pgpfac1.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (gExβ€˜πΊ)
29 pgpfac1.z . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜πΊ)
30 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
31 pgpfac1.n . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
32 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π΄) = 𝐸)
33 pgpfac1.i . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ π‘Š) = { 0 })
34 pgpfac1.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑀 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀))
35 pgpfac1.mg . . . . . . . . . . . 12 Β· = (.gβ€˜πΊ)
36 pgpfac1.m . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
37 pgpfac1.mw . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴)) ∈ π‘Š)
3818, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34, 13, 35, 36, 37pgpfac1lem3a 20017 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝐸 ∧ 𝑃 βˆ₯ 𝑀))
3938simprd 495 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ 𝑀)
40 pgpprm 19532 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 pGrp 𝐺 β†’ 𝑃 ∈ β„™)
4130, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
42 prmz 16631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
44 prmnn 16630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
4541, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
4645nnne0d 12278 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 β‰  0)
47 dvdsval2 16219 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝑃 β‰  0 ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑃) ∈ β„€))
4843, 46, 36, 47syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑃) ∈ β„€))
4939, 48mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 / 𝑃) ∈ β„€)
5017snssd 4808 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† 𝐡)
518, 18, 50mrcssidd 17590 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† (πΎβ€˜{𝐴}))
5251, 15sseqtrrdi 4029 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† 𝑆)
53 snssg 4783 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ {𝐴} βŠ† 𝑆))
5416, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ {𝐴} βŠ† 𝑆))
5552, 54mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
5635subgmulgcl 19078 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (𝑀 / 𝑃) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ 𝑆)
5721, 49, 55, 56syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ 𝑆)
5826, 57sseldd 3979 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ π‘ˆ)
59 eqid 2727 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
6059subgcl 19075 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ ∧ ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐢(+gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) ∈ π‘ˆ)
619, 14, 58, 60syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢(+gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) ∈ π‘ˆ)
6212, 61eqeltrid 2832 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ π‘ˆ)
6311, 62sseldd 3979 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝐡)
6418mrcsncl 17577 . . . 4 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ 𝐷 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝐷}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
658, 63, 64syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝐷}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
6622lsmsubg2 19798 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝐷}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
671, 2, 65, 66syl3anc 1369 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
68 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
6968, 22, 2, 65lsmelvalm 19590 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘¦ ∈ (πΎβ€˜{𝐷})π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑦)))
70 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· 𝐷)) = (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· 𝐷))
715, 35, 70, 18cycsubg2 19149 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝐷}) = ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· 𝐷)))
724, 63, 71syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝐷}) = ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· 𝐷)))
7372rexeqdv 3321 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (πΎβ€˜{𝐷})π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑦) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· 𝐷))π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑦)))
74 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 Β· 𝐷) ∈ V
7574rgenw 3060 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ€π‘› ∈ β„€ (𝑛 Β· 𝐷) ∈ V
76 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑛 Β· 𝐷) β†’ (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷)))
7776eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑛 Β· 𝐷) β†’ (π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑦) ↔ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))))
7870, 77rexrnmptw 7099 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘› ∈ β„€ (𝑛 Β· 𝐷) ∈ V β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· 𝐷))π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑦) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))))
7975, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘¦ ∈ ran (𝑛 ∈ β„€ ↦ (𝑛 Β· 𝐷))π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑦) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷)))
8073, 79bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (πΎβ€˜{𝐷})π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑦) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))))
8180rexbidv 3173 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘¦ ∈ (πΎβ€˜{𝐷})π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)𝑦) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))))
8269, 81bitrd 279 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))))
8382adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))))
84 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷)))
852ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
86 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝑀 ∈ π‘Š)
87 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
8887zcnd 12683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
8945nncnd 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
9089ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
9146ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝑃 β‰  0)
9288, 90, 91divcan1d 12007 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ ((𝑛 / 𝑃) Β· 𝑃) = 𝑛)
9392oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (((𝑛 / 𝑃) Β· 𝑃) Β· 𝐷) = (𝑛 Β· 𝐷))
944ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
9513eldifbd 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
9622lsmsubg2 19798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
971, 21, 2, 96syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
9824, 57sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
9968subgsubcl 19076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝐷 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∧ ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (𝐷(-gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
100993expia 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝐷 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ (𝐷(-gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
101100impancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (𝐷 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ (𝐷(-gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
10297, 98, 101syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ (𝐷(-gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
10312oveq1i 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷(-gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) = ((𝐢(+gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))(-gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))
10411, 14sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
1055subgss 19066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
10621, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
107106, 57sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
1085, 59, 68grppncan 18971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐢 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ 𝐡) β†’ ((𝐢(+gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))(-gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) = 𝐢)
1094, 104, 107, 108syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ ((𝐢(+gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))(-gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) = 𝐢)
110103, 109eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝐷(-gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) = 𝐢)
111110eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((𝐷(-gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) ↔ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
112102, 111sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
11395, 112mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐷 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
114113ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ Β¬ 𝐷 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
11541ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
116 coprm 16667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (Β¬ 𝑃 βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑃 gcd 𝑛) = 1))
117115, 87, 116syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (Β¬ 𝑃 βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑃 gcd 𝑛) = 1))
11843ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
119 bezout 16504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)))
120118, 87, 119syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)))
121 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 β†’ ((𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) ↔ 1 = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏))))
1221212rexbidv 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 1 = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏))))
123120, 122syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 1 = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏))))
12494adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
125118adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
126 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
127125, 126zmulcld 12688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (𝑃 Β· π‘Ž) ∈ β„€)
12887adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
129 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
130128, 129zmulcld 12688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (𝑛 Β· 𝑏) ∈ β„€)
13163ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝐷 ∈ 𝐡)
132131adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝐷 ∈ 𝐡)
1335, 35, 59mulgdir 19045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑃 Β· π‘Ž) ∈ β„€ ∧ (𝑛 Β· 𝑏) ∈ β„€ ∧ 𝐷 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) Β· 𝐷) = (((𝑃 Β· π‘Ž) Β· 𝐷)(+gβ€˜πΊ)((𝑛 Β· 𝑏) Β· 𝐷)))
134124, 127, 130, 132, 133syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) Β· 𝐷) = (((𝑃 Β· π‘Ž) Β· 𝐷)(+gβ€˜πΊ)((𝑛 Β· 𝑏) Β· 𝐷)))
13597ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
136135adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
13790adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
138 zcn 12579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘Ž ∈ β„€ β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
139138ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
140137, 139mulcomd 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (𝑃 Β· π‘Ž) = (π‘Ž Β· 𝑃))
141140oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((𝑃 Β· π‘Ž) Β· 𝐷) = ((π‘Ž Β· 𝑃) Β· 𝐷))
1425, 35mulgass 19050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝐷 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑃) Β· 𝐷) = (π‘Ž Β· (𝑃 Β· 𝐷)))
143124, 126, 125, 132, 142syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑃) Β· 𝐷) = (π‘Ž Β· (𝑃 Β· 𝐷)))
144141, 143eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((𝑃 Β· π‘Ž) Β· 𝐷) = (π‘Ž Β· (𝑃 Β· 𝐷)))
14522lsmub2 19597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ π‘Š βŠ† (𝑆 βŠ• π‘Š))
14621, 2, 145syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† (𝑆 βŠ• π‘Š))
14712oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑃 Β· 𝐷) = (𝑃 Β· (𝐢(+gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)))
1485, 35, 59mulgdi 19765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝐢 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴) ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 Β· (𝐢(+gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))) = ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑃 Β· ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))))
1491, 43, 104, 107, 148syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· (𝐢(+gβ€˜πΊ)((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))) = ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑃 Β· ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))))
150147, 149eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐷) = ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑃 Β· ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))))
1515, 35mulgass 19050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 ∈ β„€ ∧ (𝑀 / 𝑃) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑃 Β· (𝑀 / 𝑃)) Β· 𝐴) = (𝑃 Β· ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)))
1524, 43, 49, 17, 151syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ‘ β†’ ((𝑃 Β· (𝑀 / 𝑃)) Β· 𝐴) = (𝑃 Β· ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)))
15336zcnd 12683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
154153, 89, 46divcan2d 12008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· (𝑀 / 𝑃)) = 𝑀)
155154oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ‘ β†’ ((𝑃 Β· (𝑀 / 𝑃)) Β· 𝐴) = (𝑀 Β· 𝐴))
156152, 155eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴)) = (𝑀 Β· 𝐴))
157156oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (πœ‘ β†’ ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑃 Β· ((𝑀 / 𝑃) Β· 𝐴))) = ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴)))
158150, 157eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐷) = ((𝑃 Β· 𝐢)(+gβ€˜πΊ)(𝑀 Β· 𝐴)))
159158, 37eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐷) ∈ π‘Š)
160146, 159sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
161160ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑃 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
162161adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (𝑃 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
16335subgmulgcl 19078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Ž ∈ β„€ ∧ (𝑃 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (π‘Ž Β· (𝑃 Β· 𝐷)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
164136, 126, 162, 163syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘Ž Β· (𝑃 Β· 𝐷)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
165144, 164eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((𝑃 Β· π‘Ž) Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
16688adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
167 zcn 12579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑏 ∈ β„€ β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
168167ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
169166, 168mulcomd 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (𝑛 Β· 𝑏) = (𝑏 Β· 𝑛))
170169oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((𝑛 Β· 𝑏) Β· 𝐷) = ((𝑏 Β· 𝑛) Β· 𝐷))
1715, 35mulgass 19050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝐷 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑏 Β· 𝑛) Β· 𝐷) = (𝑏 Β· (𝑛 Β· 𝐷)))
172124, 129, 128, 132, 171syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((𝑏 Β· 𝑛) Β· 𝐷) = (𝑏 Β· (𝑛 Β· 𝐷)))
173170, 172eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((𝑛 Β· 𝑏) Β· 𝐷) = (𝑏 Β· (𝑛 Β· 𝐷)))
17484oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑀(-gβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))))
1751ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝐺 ∈ Abel)
1765subgss 19066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘Š βŠ† 𝐡)
17785, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ π‘Š βŠ† 𝐡)
178177, 86sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
1795, 35mulgcl 19030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝐷 ∈ 𝐡) β†’ (𝑛 Β· 𝐷) ∈ 𝐡)
18094, 87, 131, 179syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑛 Β· 𝐷) ∈ 𝐡)
1815, 68, 175, 178, 180ablnncan 19759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) = (𝑛 Β· 𝐷))
182174, 181eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑀(-gβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝑛 Β· 𝐷))
183146ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ π‘Š βŠ† (𝑆 βŠ• π‘Š))
184183, 86sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝑀 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
18524sselda 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
186185ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ π‘₯ ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
18768subgsubcl 19076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (𝑀(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
188135, 184, 186, 187syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑀(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
189182, 188eqeltrrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑛 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
190189adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (𝑛 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
19135subgmulgcl 19078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝑛 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (𝑏 Β· (𝑛 Β· 𝐷)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
192136, 129, 190, 191syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (𝑏 Β· (𝑛 Β· 𝐷)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
193173, 192eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ ((𝑛 Β· 𝑏) Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
19459subgcl 19075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ ((𝑃 Β· π‘Ž) Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∧ ((𝑛 Β· 𝑏) Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ (((𝑃 Β· π‘Ž) Β· 𝐷)(+gβ€˜πΊ)((𝑛 Β· 𝑏) Β· 𝐷)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
195136, 165, 193, 194syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (((𝑃 Β· π‘Ž) Β· 𝐷)(+gβ€˜πΊ)((𝑛 Β· 𝑏) Β· 𝐷)) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
196134, 195eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
197 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) β†’ (1 Β· 𝐷) = (((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) Β· 𝐷))
198197eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) β†’ ((1 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) ↔ (((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
199196, 198syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (1 = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) β†’ (1 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
200199rexlimdvva 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 1 = ((𝑃 Β· π‘Ž) + (𝑛 Β· 𝑏)) β†’ (1 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
201123, 200syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 β†’ (1 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
2025, 35mulg1 19020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷 ∈ 𝐡 β†’ (1 Β· 𝐷) = 𝐷)
203131, 202syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (1 Β· 𝐷) = 𝐷)
204203eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ ((1 Β· 𝐷) ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š) ↔ 𝐷 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
205201, 204sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 β†’ 𝐷 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
206117, 205sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (Β¬ 𝑃 βˆ₯ 𝑛 β†’ 𝐷 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š)))
207114, 206mt3d 148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ 𝑃 βˆ₯ 𝑛)
208 dvdsval2 16219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝑃 β‰  0 ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑃) ∈ β„€))
209118, 91, 87, 208syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑃 βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑃) ∈ β„€))
210207, 209mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑛 / 𝑃) ∈ β„€)
2115, 35mulgass 19050 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑛 / 𝑃) ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„€ ∧ 𝐷 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑛 / 𝑃) Β· 𝑃) Β· 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐷)))
21294, 210, 118, 131, 211syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (((𝑛 / 𝑃) Β· 𝑃) Β· 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐷)))
21393, 212eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑛 Β· 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐷)))
214159ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑃 Β· 𝐷) ∈ π‘Š)
21535subgmulgcl 19078 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (𝑛 / 𝑃) ∈ β„€ ∧ (𝑃 Β· 𝐷) ∈ π‘Š) β†’ ((𝑛 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐷)) ∈ π‘Š)
21685, 210, 214, 215syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ ((𝑛 / 𝑃) Β· (𝑃 Β· 𝐷)) ∈ π‘Š)
217213, 216eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑛 Β· 𝐷) ∈ π‘Š)
21868subgsubcl 19076 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ π‘Š ∧ (𝑛 Β· 𝐷) ∈ π‘Š) β†’ (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷)) ∈ π‘Š)
21985, 86, 217, 218syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷)) ∈ π‘Š)
22084, 219eqeltrd 2828 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) ∧ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷))) β†’ π‘₯ ∈ π‘Š)
221220ex 412 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑛 ∈ β„€)) β†’ (π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Š))
222221rexlimdvva 3206 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ π‘Š βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = (𝑀(-gβ€˜πΊ)(𝑛 Β· 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Š))
22383, 222sylbid 239 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) β†’ π‘₯ ∈ π‘Š))
224223imdistanda 571 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ π‘Š)))
225 elin 3960 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))))
226 elin 3960 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝑆 ∩ π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ π‘Š))
227224, 225, 2263imtr4g 296 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) β†’ π‘₯ ∈ (𝑆 ∩ π‘Š)))
228227ssrdv 3984 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) βŠ† (𝑆 ∩ π‘Š))
229228, 33sseqtrd 4018 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) βŠ† { 0 })
23029subg0cl 19073 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 0 ∈ 𝑆)
23121, 230syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝑆)
23229subg0cl 19073 . . . . . 6 ((π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 0 ∈ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})))
23367, 232syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})))
234231, 233elind 4190 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))))
235234snssd 4808 . . 3 (πœ‘ β†’ { 0 } βŠ† (𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))))
236229, 235eqssd 3995 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) = { 0 })
23722lsmass 19608 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝐷}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) = (𝑆 βŠ• (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))))
23821, 2, 65, 237syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) = (𝑆 βŠ• (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))))
23962, 113eldifd 3955 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)))
24018, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34pgpfac1lem1 20015 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) = π‘ˆ)
241239, 240mpdan 686 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) = π‘ˆ)
242238, 241eqtr3d 2769 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) = π‘ˆ)
243 ineq2 4202 . . . . 5 (𝑑 = (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) β†’ (𝑆 ∩ 𝑑) = (𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))))
244243eqeq1d 2729 . . . 4 (𝑑 = (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) β†’ ((𝑆 ∩ 𝑑) = { 0 } ↔ (𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) = { 0 }))
245 oveq2 7422 . . . . 5 (𝑑 = (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) β†’ (𝑆 βŠ• 𝑑) = (𝑆 βŠ• (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))))
246245eqeq1d 2729 . . . 4 (𝑑 = (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) β†’ ((𝑆 βŠ• 𝑑) = π‘ˆ ↔ (𝑆 βŠ• (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) = π‘ˆ))
247244, 246anbi12d 630 . . 3 (𝑑 = (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) β†’ (((𝑆 ∩ 𝑑) = { 0 } ∧ (𝑆 βŠ• 𝑑) = π‘ˆ) ↔ ((𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) = { 0 } ∧ (𝑆 βŠ• (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) = π‘ˆ)))
248247rspcev 3607 . 2 (((π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷})) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ ((𝑆 ∩ (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) = { 0 } ∧ (𝑆 βŠ• (π‘Š βŠ• (πΎβ€˜{𝐷}))) = π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑆 ∩ 𝑑) = { 0 } ∧ (𝑆 βŠ• 𝑑) = π‘ˆ))
24967, 236, 242, 248syl12anc 836 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑆 ∩ 𝑑) = { 0 } ∧ (𝑆 βŠ• 𝑑) = π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944   ⊊ wpss 3945  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ran crn 5673  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  β„‚cc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   Β· cmul 11129   / cdiv 11887  β„•cn 12228  β„€cz 12574   βˆ₯ cdvds 16216   gcd cgcd 16454  β„™cprime 16627  Basecbs 17165  +gcplusg 17218  0gc0g 17406  Moorecmre 17547  mrClscmrc 17548  ACScacs 17550  Grpcgrp 18875  -gcsg 18877  .gcmg 19007  SubGrpcsubg 19059  odcod 19463  gExcgex 19464   pGrp cpgp 19465  LSSumclsm 19573  Abelcabl 19720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-ec 8718  df-qs 8722  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-bc 14280  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-sum 15651  df-dvds 16217  df-gcd 16455  df-prm 16628  df-pc 16791  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-0g 17408  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-eqg 19064  df-ga 19225  df-cntz 19252  df-od 19467  df-gex 19468  df-pgp 19469  df-lsm 19575  df-cmn 19721  df-abl 19722
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  20019
  Copyright terms: Public domain W3C validator