Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | pgpfac1.g |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel) |
2 | | pgpfac1.w |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) |
3 | | ablgrp 19032 |
. . . . . 6
⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp) |
4 | 1, 3 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp) |
5 | | pgpfac1.b |
. . . . . 6
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺) |
6 | 5 | subgacs 18434 |
. . . . 5
⊢ (𝐺 ∈ Grp →
(SubGrp‘𝐺) ∈
(ACS‘𝐵)) |
7 | | acsmre 17029 |
. . . . 5
⊢
((SubGrp‘𝐺)
∈ (ACS‘𝐵) →
(SubGrp‘𝐺) ∈
(Moore‘𝐵)) |
8 | 4, 6, 7 | 3syl 18 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵)) |
9 | | pgpfac1.u |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) |
10 | 5 | subgss 18401 |
. . . . . 6
⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ 𝐵) |
11 | 9, 10 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐵) |
12 | | pgpfac1.d |
. . . . . 6
⊢ 𝐷 = (𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) |
13 | | pgpfac1.c |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊))) |
14 | 13 | eldifad 3856 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈) |
15 | | pgpfac1.s |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝑆 = (𝐾‘{𝐴}) |
16 | | pgpfac1.au |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈) |
17 | 11, 16 | sseldd 3879 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) |
18 | | pgpfac1.k |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝐾 =
(mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) |
19 | 18 | mrcsncl 16989 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((SubGrp‘𝐺)
∈ (Moore‘𝐵)
∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) |
20 | 8, 17, 19 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) |
21 | 15, 20 | eqeltrid 2838 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) |
22 | | pgpfac1.l |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ⊕ =
(LSSum‘𝐺) |
23 | 22 | lsmub1 18903 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
24 | 21, 2, 23 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
25 | | pgpfac1.ss |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝑈) |
26 | 24, 25 | sstrd 3888 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑈) |
27 | | pgpfac1.o |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑂 = (od‘𝐺) |
28 | | pgpfac1.e |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺) |
29 | | pgpfac1.z |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 0 =
(0g‘𝐺) |
30 | | pgpfac1.p |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp 𝐺) |
31 | | pgpfac1.n |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin) |
32 | | pgpfac1.oe |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 𝐸) |
33 | | pgpfac1.i |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 }) |
34 | | pgpfac1.2 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤 ⊊ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑤) → ¬ (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊊ 𝑤)) |
35 | | pgpfac1.mg |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ · =
(.g‘𝐺) |
36 | | pgpfac1.m |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ) |
37 | | pgpfac1.mw |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊) |
38 | 18, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34, 13, 35, 36, 37 | pgpfac1lem3a 19320 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝐸 ∧ 𝑃 ∥ 𝑀)) |
39 | 38 | simprd 499 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑀) |
40 | | pgpprm 18839 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 → 𝑃 ∈ ℙ) |
41 | 30, 40 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ) |
42 | | prmz 16119 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
ℤ) |
43 | 41, 42 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ) |
44 | | prmnn 16118 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
ℕ) |
45 | 41, 44 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ) |
46 | 45 | nnne0d 11769 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0) |
47 | | dvdsval2 15705 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ)) |
48 | 43, 46, 36, 47 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ)) |
49 | 39, 48 | mpbid 235 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ) |
50 | 17 | snssd 4698 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵) |
51 | 8, 18, 50 | mrcssidd 17002 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴})) |
52 | 51, 15 | sseqtrrdi 3929 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝑆) |
53 | | snssg 4674 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆)) |
54 | 16, 53 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆)) |
55 | 52, 54 | mpbird 260 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆) |
56 | 35 | subgmulgcl 18413 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑆) |
57 | 21, 49, 55, 56 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑆) |
58 | 26, 57 | sseldd 3879 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑈) |
59 | | eqid 2739 |
. . . . . . . 8
⊢
(+g‘𝐺) = (+g‘𝐺) |
60 | 59 | subgcl 18410 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑈) → (𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ 𝑈) |
61 | 9, 14, 58, 60 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ 𝑈) |
62 | 12, 61 | eqeltrid 2838 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈) |
63 | 11, 62 | sseldd 3879 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵) |
64 | 18 | mrcsncl 16989 |
. . . 4
⊢
(((SubGrp‘𝐺)
∈ (Moore‘𝐵)
∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) |
65 | 8, 63, 64 | syl2anc 587 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) |
66 | 22 | lsmsubg2 19101 |
. . 3
⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺)) |
67 | 1, 2, 65, 66 | syl3anc 1372 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺)) |
68 | | eqid 2739 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(-g‘𝐺) = (-g‘𝐺) |
69 | 68, 22, 2, 65 | lsmelvalm 18897 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦))) |
70 | | eqid 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷)) |
71 | 5, 35, 70, 18 | cycsubg2 18474 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐷}) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))) |
72 | 4, 63, 71 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝐷}) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))) |
73 | 72 | rexeqdv 3318 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦))) |
74 | | ovex 7206 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑛 · 𝐷) ∈ V |
75 | 74 | rgenw 3066 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
∀𝑛 ∈
ℤ (𝑛 · 𝐷) ∈ V |
76 | | oveq2 7181 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑦 = (𝑛 · 𝐷) → (𝑤(-g‘𝐺)𝑦) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) |
77 | 76 | eqeq2d 2750 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 = (𝑛 · 𝐷) → (𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦) ↔ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)))) |
78 | 70, 77 | rexrnmptw 6874 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(∀𝑛 ∈
ℤ (𝑛 · 𝐷) ∈ V → (∃𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)))) |
79 | 75, 78 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(∃𝑦 ∈ ran
(𝑛 ∈ ℤ ↦
(𝑛 · 𝐷))𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) |
80 | 73, 79 | bitrdi 290 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)))) |
81 | 80 | rexbidv 3208 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)))) |
82 | 69, 81 | bitrd 282 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)))) |
83 | 82 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)))) |
84 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) |
85 | 2 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) |
86 | | simplrl 777 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑤 ∈ 𝑊) |
87 | | simplrr 778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑛 ∈ ℤ) |
88 | 87 | zcnd 12172 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑛 ∈ ℂ) |
89 | 45 | nncnd 11735 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ) |
90 | 89 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℂ) |
91 | 46 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ≠ 0) |
92 | 88, 90, 91 | divcan1d 11498 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) = 𝑛) |
93 | 92 | oveq1d 7188 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐷) = (𝑛 · 𝐷)) |
94 | 4 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝐺 ∈ Grp) |
95 | 13 | eldifbd 3857 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
96 | 22 | lsmsubg2 19101 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺)) |
97 | 1, 21, 2, 96 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺)) |
98 | 24, 57 | sseldd 3879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
99 | 68 | subgsubcl 18411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝐷(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
100 | 99 | 3expia 1122 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → (𝐷(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))) |
101 | 100 | impancom 455 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → (𝐷(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))) |
102 | 97, 98, 101 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → (𝐷(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))) |
103 | 12 | oveq1i 7183 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝐷(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = ((𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) |
104 | 11, 14 | sseldd 3879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵) |
105 | 5 | subgss 18401 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵) |
106 | 21, 105 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵) |
107 | 106, 57 | sseldd 3879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝐵) |
108 | 5, 59, 68 | grppncan 18311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝐵) → ((𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = 𝐶) |
109 | 4, 104, 107, 108 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → ((𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = 𝐶) |
110 | 103, 109 | syl5eq 2786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (𝐷(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = 𝐶) |
111 | 110 | eleq1d 2818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ((𝐷(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ↔ 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))) |
112 | 102, 111 | sylibd 242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))) |
113 | 95, 112 | mtod 201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
114 | 113 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ¬ 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
115 | 41 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ) |
116 | | coprm 16155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (¬
𝑃 ∥ 𝑛 ↔ (𝑃 gcd 𝑛) = 1)) |
117 | 115, 87, 116 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑛 ↔ (𝑃 gcd 𝑛) = 1)) |
118 | 43 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℤ) |
119 | | bezout 15990 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) →
∃𝑎 ∈ ℤ
∃𝑏 ∈ ℤ
(𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏))) |
120 | 118, 87, 119 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏))) |
121 | | eqeq1 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → ((𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) ↔ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)))) |
122 | 121 | 2rexbidv 3211 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)))) |
123 | 120, 122 | syl5ibcom 248 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)))) |
124 | 94 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp) |
125 | 118 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈ ℤ) |
126 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ) |
127 | 125, 126 | zmulcld 12177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑃 · 𝑎) ∈ ℤ) |
128 | 87 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℤ) |
129 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ) |
130 | 128, 129 | zmulcld 12177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑏) ∈ ℤ) |
131 | 63 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ 𝐵) |
132 | 131 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ 𝐵) |
133 | 5, 35, 59 | mulgdir 18380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑃 · 𝑎) ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) = (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+g‘𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷))) |
134 | 124, 127,
130, 132, 133 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) = (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+g‘𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷))) |
135 | 97 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺)) |
136 | 135 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺)) |
137 | 90 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈ ℂ) |
138 | | zcn 12070 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈
ℂ) |
139 | 138 | ad2antrl 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ) |
140 | 137, 139 | mulcomd 10743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑃 · 𝑎) = (𝑎 · 𝑃)) |
141 | 140 | oveq1d 7188 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) = ((𝑎 · 𝑃) · 𝐷)) |
142 | 5, 35 | mulgass 18385 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · 𝑃) · 𝐷) = (𝑎 · (𝑃 · 𝐷))) |
143 | 124, 126,
125, 132, 142 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑃) · 𝐷) = (𝑎 · (𝑃 · 𝐷))) |
144 | 141, 143 | eqtrd 2774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) = (𝑎 · (𝑃 · 𝐷))) |
145 | 22 | lsmub2 18904 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑊 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
146 | 21, 2, 145 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
147 | 12 | oveq2i 7184 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑃 · 𝐷) = (𝑃 · (𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))) |
148 | 5, 35, 59 | mulgdi 19069 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝐵)) → (𝑃 · (𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))) = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)))) |
149 | 1, 43, 104, 107, 148 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))) = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)))) |
150 | 147, 149 | syl5eq 2786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)))) |
151 | 5, 35 | mulgass 18385 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) · 𝐴) = (𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))) |
152 | 4, 43, 49, 17, 151 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) · 𝐴) = (𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))) |
153 | 36 | zcnd 12172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ) |
154 | 153, 89, 46 | divcan2d 11499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) = 𝑀) |
155 | 154 | oveq1d 7188 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴)) |
156 | 152, 155 | eqtr3d 2776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = (𝑀 · 𝐴)) |
157 | 156 | oveq2d 7189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))) = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴))) |
158 | 150, 157 | eqtrd 2774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴))) |
159 | 158, 37 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) ∈ 𝑊) |
160 | 146, 159 | sseldd 3879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
161 | 160 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
162 | 161 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
163 | 35 | subgmulgcl 18413 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
164 | 136, 126,
162, 163 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
165 | 144, 164 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
166 | 88 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℂ) |
167 | | zcn 12070 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈
ℂ) |
168 | 167 | ad2antll 729 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ) |
169 | 166, 168 | mulcomd 10743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑛)) |
170 | 169 | oveq1d 7188 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) = ((𝑏 · 𝑛) · 𝐷)) |
171 | 5, 35 | mulgass 18385 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → ((𝑏 · 𝑛) · 𝐷) = (𝑏 · (𝑛 · 𝐷))) |
172 | 124, 129,
128, 132, 171 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · 𝑛) · 𝐷) = (𝑏 · (𝑛 · 𝐷))) |
173 | 170, 172 | eqtrd 2774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) = (𝑏 · (𝑛 · 𝐷))) |
174 | 84 | oveq2d 7189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g‘𝐺)𝑥) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)))) |
175 | 1 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝐺 ∈ Abel) |
176 | 5 | subgss 18401 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑊 ⊆ 𝐵) |
177 | 85, 176 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑊 ⊆ 𝐵) |
178 | 177, 86 | sseldd 3879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑤 ∈ 𝐵) |
179 | 5, 35 | mulgcl 18366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝐵) |
180 | 94, 87, 131, 179 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝐵) |
181 | 5, 68, 175, 178, 180 | ablnncan 19063 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g‘𝐺)(𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) = (𝑛 · 𝐷)) |
182 | 174, 181 | eqtrd 2774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g‘𝐺)𝑥) = (𝑛 · 𝐷)) |
183 | 146 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑊 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
184 | 183, 86 | sseldd 3879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑤 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
185 | 24 | sselda 3878 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
186 | 185 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
187 | 68 | subgsubcl 18411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑤(-g‘𝐺)𝑥) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
188 | 135, 184,
186, 187 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g‘𝐺)𝑥) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
189 | 182, 188 | eqeltrrd 2835 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
190 | 189 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
191 | 35 | subgmulgcl 18413 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
192 | 136, 129,
190, 191 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
193 | 173, 192 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
194 | 59 | subgcl 18410 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ∧ ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+g‘𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
195 | 136, 165,
193, 194 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+g‘𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
196 | 134, 195 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) |
197 | | oveq1 7180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (1 =
((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → (1 · 𝐷) = (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷)) |
198 | 197 | eleq1d 2818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (1 =
((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → ((1 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ↔ (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))) |
199 | 196, 198 | syl5ibrcom 250 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → (1 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))) |
200 | 199 | rexlimdvva 3205 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → (1 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))) |
201 | 123, 200 | syld 47 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → (1 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))) |
202 | 5, 35 | mulg1 18356 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 → (1 · 𝐷) = 𝐷) |
203 | 131, 202 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (1 · 𝐷) = 𝐷) |
204 | 203 | eleq1d 2818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((1 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ↔ 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))) |
205 | 201, 204 | sylibd 242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))) |
206 | 117, 205 | sylbid 243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑛 → 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))) |
207 | 114, 206 | mt3d 150 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ 𝑛) |
208 | | dvdsval2 15705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ)) |
209 | 118, 91, 87, 208 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑃 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ)) |
210 | 207, 209 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ) |
211 | 5, 35 | mulgass 18385 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷))) |
212 | 94, 210, 118, 131, 211 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷))) |
213 | 93, 212 | eqtr3d 2776 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷))) |
214 | 159 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑃 · 𝐷) ∈ 𝑊) |
215 | 35 | subgmulgcl 18413 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐷) ∈ 𝑊) → ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)) ∈ 𝑊) |
216 | 85, 210, 214, 215 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)) ∈ 𝑊) |
217 | 213, 216 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝑊) |
218 | 68 | subgsubcl 18411 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊 ∧ (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝑊) → (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)) ∈ 𝑊) |
219 | 85, 86, 217, 218 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)) ∈ 𝑊) |
220 | 84, 219 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑥 ∈ 𝑊) |
221 | 220 | ex 416 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)) → 𝑥 ∈ 𝑊)) |
222 | 221 | rexlimdvva 3205 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)) → 𝑥 ∈ 𝑊)) |
223 | 83, 222 | sylbid 243 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → 𝑥 ∈ 𝑊)) |
224 | 223 | imdistanda 575 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊))) |
225 | | elin 3860 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})))) |
226 | | elin 3860 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑊) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊)) |
227 | 224, 225,
226 | 3imtr4g 299 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑊))) |
228 | 227 | ssrdv 3884 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) ⊆ (𝑆 ∩ 𝑊)) |
229 | 228, 33 | sseqtrd 3918 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) ⊆ { 0 }) |
230 | 29 | subg0cl 18408 |
. . . . . 6
⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆) |
231 | 21, 230 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆) |
232 | 29 | subg0cl 18408 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) |
233 | 67, 232 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) |
234 | 231, 233 | elind 4085 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})))) |
235 | 234 | snssd 4698 |
. . 3
⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})))) |
236 | 229, 235 | eqssd 3895 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 }) |
237 | 22 | lsmass 18916 |
. . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{𝐷})) = (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})))) |
238 | 21, 2, 65, 237 | syl3anc 1372 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{𝐷})) = (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})))) |
239 | 62, 113 | eldifd 3855 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊))) |
240 | 18, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34 | pgpfac1lem1 19318 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊))) → ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{𝐷})) = 𝑈) |
241 | 239, 240 | mpdan 687 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{𝐷})) = 𝑈) |
242 | 238, 241 | eqtr3d 2776 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈) |
243 | | ineq2 4098 |
. . . . 5
⊢ (𝑡 = (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → (𝑆 ∩ 𝑡) = (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})))) |
244 | 243 | eqeq1d 2741 |
. . . 4
⊢ (𝑡 = (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → ((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ↔ (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 })) |
245 | | oveq2 7181 |
. . . . 5
⊢ (𝑡 = (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → (𝑆 ⊕ 𝑡) = (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})))) |
246 | 245 | eqeq1d 2741 |
. . . 4
⊢ (𝑡 = (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → ((𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈 ↔ (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈)) |
247 | 244, 246 | anbi12d 634 |
. . 3
⊢ (𝑡 = (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → (((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈))) |
248 | 247 | rspcev 3527 |
. 2
⊢ (((𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈)) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈)) |
249 | 67, 236, 242, 248 | syl12anc 836 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈)) |