Theorem mulgt0con1dlem 42843

Description: Lemma for mulgt0con1d 42844. Contraposes a positive deduction to a negative deduction. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgt0con1dlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0con1dlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0con1dlem.1	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 → 0 < 𝐵))
mulgt0con1dlem.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → 𝐵 = 0))

Assertion

Ref	Expression
mulgt0con1dlem	⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 → 𝐴 < 0))

Proof of Theorem mulgt0con1dlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0con1dlem.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		0red 11147	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3	1, 2	lttrid 11283	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 ↔ ¬ (𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵)))
4		mulgt0con1dlem.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → 𝐵 = 0))
5		mulgt0con1dlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 → 0 < 𝐵))
6	4, 5	orim12d 967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴) → (𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵)))
7	6	con3d 152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵) → ¬ (𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴)))
8		mulgt0con1dlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8, 2	lttrid 11283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴)))
10	7, 9	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0))
11	3, 10	sylbid 240	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 → 𝐴 < 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183

This theorem is referenced by:  mulgt0con1d  42844  mulgt0con2d  42845