Theorem mulgt0con1dlem 42433

Description: Lemma for mulgt0con1d 42434. Contraposes a positive deduction to a negative deduction. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgt0con1dlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0con1dlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0con1dlem.1	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 → 0 < 𝐵))
mulgt0con1dlem.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → 𝐵 = 0))

Assertion

Ref	Expression
mulgt0con1dlem	⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 → 𝐴 < 0))

Proof of Theorem mulgt0con1dlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0con1dlem.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		0red 11293	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3	1, 2	lttrid 11428	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 ↔ ¬ (𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵)))
4		mulgt0con1dlem.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → 𝐵 = 0))
5		mulgt0con1dlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 → 0 < 𝐵))
6	4, 5	orim12d 965	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴) → (𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵)))
7	6	con3d 152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵) → ¬ (𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴)))
8		mulgt0con1dlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8, 2	lttrid 11428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴)))
10	7, 9	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0))
11	3, 10	sylbid 240	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 → 𝐴 < 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ℝcr 11183  0cc0 11184   < clt 11324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-addrcl 11245  ax-rnegex 11255  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329

This theorem is referenced by:  mulgt0con1d  42434  mulgt0con2d  42435