Theorem mulgt0con1dlem 43211

Description: Lemma for mulgt0con1d 43212. Contraposes a positive deduction to a negative deduction. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgt0con1dlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0con1dlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0con1dlem.1	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 → 0 < 𝐵))
mulgt0con1dlem.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → 𝐵 = 0))

Assertion

Ref	Expression
mulgt0con1dlem	⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 → 𝐴 < 0))

Proof of Theorem mulgt0con1dlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0con1dlem.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		0red 11210	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3	1, 2	lttrid 11347	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 ↔ ¬ (𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵)))
4		mulgt0con1dlem.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → 𝐵 = 0))
5		mulgt0con1dlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 → 0 < 𝐵))
6	4, 5	orim12d 979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴) → (𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵)))
7	6	con3d 153	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵) → ¬ (𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴)))
8		mulgt0con1dlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8, 2	lttrid 11347	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴)))
10	7, 9	sylibrd 262	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0))
11	3, 10	sylbid 243	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 → 𝐴 < 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 860   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5108  ℝcr 11098  0cc0 11099   < clt 11242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-addrcl 11160  ax-rnegex 11170  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247

This theorem is referenced by:  mulgt0con1d  43212  mulgt0con2d  43213