Theorem mulgt0con1dlem 42932

Description: Lemma for mulgt0con1d 42933. Contraposes a positive deduction to a negative deduction. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgt0con1dlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0con1dlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0con1dlem.1	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 → 0 < 𝐵))
mulgt0con1dlem.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → 𝐵 = 0))

Assertion

Ref	Expression
mulgt0con1dlem	⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 → 𝐴 < 0))

Proof of Theorem mulgt0con1dlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0con1dlem.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		0red 11142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3	1, 2	lttrid 11279	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 ↔ ¬ (𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵)))
4		mulgt0con1dlem.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → 𝐵 = 0))
5		mulgt0con1dlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 → 0 < 𝐵))
6	4, 5	orim12d 967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴) → (𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵)))
7	6	con3d 152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵) → ¬ (𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴)))
8		mulgt0con1dlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8, 2	lttrid 11279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴)))
10	7, 9	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0))
11	3, 10	sylbid 240	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 → 𝐴 < 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ℝcr 11032  0cc0 11033   < clt 11174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-addrcl 11094  ax-rnegex 11104  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179

This theorem is referenced by:  mulgt0con1d  42933  mulgt0con2d  42934