Theorem zmulcom 43356

Description: Multiplication is commutative for integers. Proven without ax-mulcom 11188. From this result and grpcominv1 43396, we can show that rationals commute under multiplication without using ax-mulcom 11188. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zmulcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem zmulcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelznn0nn 43349	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ)))
2		reelznn0nn 43349	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)))
3		nn0mulcom 43354	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
4		zmulcomlem 43355	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
5		zmulcomlem 43355	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
6	5	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
7	6	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
8		nnmulcom 12318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ) → ((0 −ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐵) · (0 −ℝ 𝐴)))
9	8	ad2ant2l 759	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐵) · (0 −ℝ 𝐴)))
10	9	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐵))) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐵) · (0 −ℝ 𝐴))))
11		rernegcl 43246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
12	11	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
13		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)
14	12, 13	renegmulnnass 43353	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ 𝐵)) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐵))))
15		rernegcl 43246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
16	15	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
17		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ)
18	16, 17	renegmulnnass 43353	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ 𝐴)) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐵) · (0 −ℝ 𝐴))))
19	10, 14, 18	3eqtr4d 2805	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ 𝐵)) = ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ 𝐴)))
20	19	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ 𝐵))) = (0 −ℝ ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ 𝐴))))
21		rernegcl 43246	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
22	11, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
23	22	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
24	23, 16	remulneg2d 43290	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵))) = (0 −ℝ ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ 𝐵))))
25		rernegcl 43246	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) ∈ ℝ)
26	15, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) ∈ ℝ)
27	26	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) ∈ ℝ)
28	27, 12	remulneg2d 43290	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = (0 −ℝ ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ 𝐴))))
29	20, 24, 28	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵))) = ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))))
30		renegneg 43287	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)
31	30	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)
32		renegneg 43287	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) = 𝐵)
33	32	ad2antrl 741	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) = 𝐵)
34	31, 33	oveq12d 7431	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵))) = (𝐴 · 𝐵))
35	33, 31	oveq12d 7431	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = (𝐵 · 𝐴))
36	29, 34, 35	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
37	3, 4, 7, 36	ccase 1053	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ))) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
38	1, 2, 37	syl2anb 610	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124   · cmul 11129  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615   −_ℝ cresub 43240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-resub 43241

This theorem is used by: (None)