Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zmulcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmulcom 42463
Description: Multiplication is commutative for integers. Proven without ax-mulcom 11217. From this result and grpcominv1 42495, we can show that rationals commute under multiplication without using ax-mulcom 11217. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
zmulcom ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem zmulcom
StepHypRef Expression
1 reelznn0nn 42456 . 2 (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ)))
2 reelznn0nn 42456 . 2 (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)))
3 nn0mulcom 42461 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
4 zmulcomlem 42462 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
5 zmulcomlem 42462 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
65eqcomd 2741 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
76ancoms 458 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
8 nnmulcom 42286 . . . . . . . . 9 (((0 − 𝐴) ∈ ℕ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ) → ((0 − 𝐴) · (0 − 𝐵)) = ((0 − 𝐵) · (0 − 𝐴)))
98ad2ant2l 746 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐴) · (0 − 𝐵)) = ((0 − 𝐵) · (0 − 𝐴)))
109oveq2d 7447 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − ((0 − 𝐴) · (0 − 𝐵))) = (0 − ((0 − 𝐵) · (0 − 𝐴))))
11 rernegcl 42378 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
1211ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
13 simprr 773 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − 𝐵) ∈ ℕ)
1412, 13renegmulnnass 42460 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − (0 − 𝐴)) · (0 − 𝐵)) = (0 − ((0 − 𝐴) · (0 − 𝐵))))
15 rernegcl 42378 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (0 − 𝐵) ∈ ℝ)
1615ad2antrl 728 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − 𝐵) ∈ ℝ)
17 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − 𝐴) ∈ ℕ)
1816, 17renegmulnnass 42460 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − (0 − 𝐵)) · (0 − 𝐴)) = (0 − ((0 − 𝐵) · (0 − 𝐴))))
1910, 14, 183eqtr4d 2785 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − (0 − 𝐴)) · (0 − 𝐵)) = ((0 − (0 − 𝐵)) · (0 − 𝐴)))
2019oveq2d 7447 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − ((0 − (0 − 𝐴)) · (0 − 𝐵))) = (0 − ((0 − (0 − 𝐵)) · (0 − 𝐴))))
21 rernegcl 42378 . . . . . . . 8 ((0 − 𝐴) ∈ ℝ → (0 − (0 − 𝐴)) ∈ ℝ)
2211, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − (0 − 𝐴)) ∈ ℝ)
2322ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − (0 − 𝐴)) ∈ ℝ)
2423, 16remulneg2d 42421 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − (0 − 𝐴)) · (0 − (0 − 𝐵))) = (0 − ((0 − (0 − 𝐴)) · (0 − 𝐵))))
25 rernegcl 42378 . . . . . . . 8 ((0 − 𝐵) ∈ ℝ → (0 − (0 − 𝐵)) ∈ ℝ)
2615, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (0 − (0 − 𝐵)) ∈ ℝ)
2726ad2antrl 728 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − (0 − 𝐵)) ∈ ℝ)
2827, 12remulneg2d 42421 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − (0 − 𝐵)) · (0 − (0 − 𝐴))) = (0 − ((0 − (0 − 𝐵)) · (0 − 𝐴))))
2920, 24, 283eqtr4d 2785 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − (0 − 𝐴)) · (0 − (0 − 𝐵))) = ((0 − (0 − 𝐵)) · (0 − (0 − 𝐴))))
30 renegneg 42418 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − (0 − 𝐴)) = 𝐴)
3130ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − (0 − 𝐴)) = 𝐴)
32 renegneg 42418 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (0 − (0 − 𝐵)) = 𝐵)
3332ad2antrl 728 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − (0 − 𝐵)) = 𝐵)
3431, 33oveq12d 7449 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − (0 − 𝐴)) · (0 − (0 − 𝐵))) = (𝐴 · 𝐵))
3533, 31oveq12d 7449 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − (0 − 𝐵)) · (0 − (0 − 𝐴))) = (𝐵 · 𝐴))
3629, 34, 353eqtr3d 2783 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
373, 4, 7, 36ccase 1037 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ))) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
381, 2, 37syl2anb 598 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611   cresub 42372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-resub 42373
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator