Theorem zmulcom 42042

Description: Multiplication is commutative for integers. Proven without ax-mulcom 11210. From this result and grpcominv1 41779, we can show that rationals commute under multiplication without using ax-mulcom 11210. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zmulcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem zmulcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelznn0nn 42035	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ)))
2		reelznn0nn 42035	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)))
3		nn0mulcom 42040	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
4		zmulcomlem 42041	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
5		zmulcomlem 42041	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
6	5	eqcomd 2734	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
7	6	ancoms 457	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
8		nnmulcom 41878	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ) → ((0 −ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐵) · (0 −ℝ 𝐴)))
9	8	ad2ant2l 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐵) · (0 −ℝ 𝐴)))
10	9	oveq2d 7442	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐵))) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐵) · (0 −ℝ 𝐴))))
11		rernegcl 41957	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
12	11	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
13		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)
14	12, 13	renegmulnnass 42039	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ 𝐵)) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐵))))
15		rernegcl 41957	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
16	15	ad2antrl 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
17		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ)
18	16, 17	renegmulnnass 42039	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ 𝐴)) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐵) · (0 −ℝ 𝐴))))
19	10, 14, 18	3eqtr4d 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ 𝐵)) = ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ 𝐴)))
20	19	oveq2d 7442	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ 𝐵))) = (0 −ℝ ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ 𝐴))))
21		rernegcl 41957	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
22	11, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
23	22	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
24	23, 16	remulneg2d 42000	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵))) = (0 −ℝ ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ 𝐵))))
25		rernegcl 41957	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) ∈ ℝ)
26	15, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) ∈ ℝ)
27	26	ad2antrl 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) ∈ ℝ)
28	27, 12	remulneg2d 42000	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = (0 −ℝ ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ 𝐴))))
29	20, 24, 28	3eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵))) = ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))))
30		renegneg 41997	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)
31	30	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)
32		renegneg 41997	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) = 𝐵)
33	32	ad2antrl 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) = 𝐵)
34	31, 33	oveq12d 7444	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵))) = (𝐴 · 𝐵))
35	33, 31	oveq12d 7444	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = (𝐵 · 𝐴))
36	29, 34, 35	3eqtr3d 2776	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
37	3, 4, 7, 36	ccase 1035	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ))) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
38	1, 2, 37	syl2anb 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  0cc0 11146   · cmul 11151  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12596   −_ℝ cresub 41951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-resub 41952

This theorem is referenced by: (None)