Theorem zmulcom 42507

Description: Multiplication is commutative for integers. Proven without ax-mulcom 11070. From this result and grpcominv1 42547, we can show that rationals commute under multiplication without using ax-mulcom 11070. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zmulcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem zmulcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelznn0nn 42500	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ)))
2		reelznn0nn 42500	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)))
3		nn0mulcom 42505	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
4		zmulcomlem 42506	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
5		zmulcomlem 42506	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
6	5	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
7	6	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
8		nnmulcom 42311	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ) → ((0 −ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐵) · (0 −ℝ 𝐴)))
9	8	ad2ant2l 746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐵) · (0 −ℝ 𝐴)))
10	9	oveq2d 7362	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐵))) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐵) · (0 −ℝ 𝐴))))
11		rernegcl 42410	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
12	11	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
13		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)
14	12, 13	renegmulnnass 42504	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ 𝐵)) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐵))))
15		rernegcl 42410	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
16	15	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
17		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ)
18	16, 17	renegmulnnass 42504	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ 𝐴)) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐵) · (0 −ℝ 𝐴))))
19	10, 14, 18	3eqtr4d 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ 𝐵)) = ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ 𝐴)))
20	19	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ 𝐵))) = (0 −ℝ ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ 𝐴))))
21		rernegcl 42410	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
22	11, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
23	22	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
24	23, 16	remulneg2d 42454	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵))) = (0 −ℝ ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ 𝐵))))
25		rernegcl 42410	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) ∈ ℝ)
26	15, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) ∈ ℝ)
27	26	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) ∈ ℝ)
28	27, 12	remulneg2d 42454	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = (0 −ℝ ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ 𝐴))))
29	20, 24, 28	3eqtr4d 2776	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵))) = ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))))
30		renegneg 42451	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)
31	30	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)
32		renegneg 42451	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) = 𝐵)
33	32	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) = 𝐵)
34	31, 33	oveq12d 7364	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵))) = (𝐴 · 𝐵))
35	33, 31	oveq12d 7364	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = (𝐵 · 𝐴))
36	29, 34, 35	3eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
37	3, 4, 7, 36	ccase 1037	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ))) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
38	1, 2, 37	syl2anb 598	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006   · cmul 11011  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468   −_ℝ cresub 42404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-resub 42405

This theorem is referenced by: (None)