Theorem zmulcom 43242

Description: Multiplication is commutative for integers. Proven without ax-mulcom 11159. From this result and grpcominv1 43282, we can show that rationals commute under multiplication without using ax-mulcom 11159. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zmulcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Proof of Theorem zmulcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelznn0nn 43235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ)))
2		reelznn0nn 43235	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)))
3		nn0mulcom 43240	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
4		zmulcomlem 43241	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
5		zmulcomlem 43241	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
6	5	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
7	6	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
8		nnmulcom 12289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ) → ((0 −ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐵) · (0 −ℝ 𝐴)))
9	8	ad2ant2l 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐵) · (0 −ℝ 𝐴)))
10	9	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐵))) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐵) · (0 −ℝ 𝐴))))
11		rernegcl 43132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
12	11	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
13		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)
14	12, 13	renegmulnnass 43239	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ 𝐵)) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · (0 −ℝ 𝐵))))
15		rernegcl 43132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
16	15	ad2antrl 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
17		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ)
18	16, 17	renegmulnnass 43239	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ 𝐴)) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 𝐵) · (0 −ℝ 𝐴))))
19	10, 14, 18	3eqtr4d 2808	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ 𝐵)) = ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ 𝐴)))
20	19	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ 𝐵))) = (0 −ℝ ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ 𝐴))))
21		rernegcl 43132	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
22	11, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
23	22	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
24	23, 16	remulneg2d 43176	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵))) = (0 −ℝ ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ 𝐵))))
25		rernegcl 43132	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) ∈ ℝ)
26	15, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) ∈ ℝ)
27	26	ad2antrl 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) ∈ ℝ)
28	27, 12	remulneg2d 43176	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = (0 −ℝ ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ 𝐴))))
29	20, 24, 28	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵))) = ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))))
30		renegneg 43173	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)
31	30	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)
32		renegneg 43173	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) = 𝐵)
33	32	ad2antrl 740	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) = 𝐵)
34	31, 33	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵))) = (𝐴 · 𝐵))
35	33, 31	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = (𝐵 · 𝐴))
36	29, 34, 35	3eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
37	3, 4, 7, 36	ccase 1053	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ))) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
38	1, 2, 37	syl2anb 609	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095   · cmul 11100  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586   −_ℝ cresub 43126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-resub 43127

This theorem is referenced by: (None)