Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zmulcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmulcom 41889
Description: Multiplication is commutative for integers. Proven without ax-mulcom 11173. From this result and grpcominv1 41625, we can show that rationals commute under multiplication without using ax-mulcom 11173. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
zmulcom ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))

Proof of Theorem zmulcom
StepHypRef Expression
1 reelznn0nn 41882 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†” (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•)))
2 reelznn0nn 41882 . 2 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†” (๐ต โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)))
3 nn0mulcom 41887 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
4 zmulcomlem 41888 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
5 zmulcomlem 41888 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = (๐ด ยท ๐ต))
65eqcomd 2732 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
76ancoms 458 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
8 nnmulcom 41725 . . . . . . . . 9 (((0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„• โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ต)) = ((0 โˆ’โ„ ๐ต) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด)))
98ad2ant2l 743 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ต)) = ((0 โˆ’โ„ ๐ต) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด)))
109oveq2d 7420 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โˆ’โ„ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ต))) = (0 โˆ’โ„ ((0 โˆ’โ„ ๐ต) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด))))
11 rernegcl 41804 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„)
1211ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„)
13 simprr 770 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)
1412, 13renegmulnnass 41886 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ต)) = (0 โˆ’โ„ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ต))))
15 rernegcl 41804 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„)
1615ad2antrl 725 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„)
17 simplr 766 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•)
1816, 17renegmulnnass 41886 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด)) = (0 โˆ’โ„ ((0 โˆ’โ„ ๐ต) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด))))
1910, 14, 183eqtr4d 2776 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ต)) = ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด)))
2019oveq2d 7420 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โˆ’โ„ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ต))) = (0 โˆ’โ„ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด))))
21 rernegcl 41804 . . . . . . . 8 ((0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) โˆˆ โ„)
2211, 21syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) โˆˆ โ„)
2322ad2antrr 723 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) โˆˆ โ„)
2423, 16remulneg2d 41847 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) ยท (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต))) = (0 โˆ’โ„ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ต))))
25 rernegcl 41804 . . . . . . . 8 ((0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) โˆˆ โ„)
2615, 25syl 17 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) โˆˆ โ„)
2726ad2antrl 725 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) โˆˆ โ„)
2827, 12remulneg2d 41847 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) ยท (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด))) = (0 โˆ’โ„ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด))))
2920, 24, 283eqtr4d 2776 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) ยท (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต))) = ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) ยท (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด))))
30 renegneg 41844 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) = ๐ด)
3130ad2antrr 723 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) = ๐ด)
32 renegneg 41844 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) = ๐ต)
3332ad2antrl 725 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) = ๐ต)
3431, 33oveq12d 7422 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) ยท (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต))) = (๐ด ยท ๐ต))
3533, 31oveq12d 7422 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) ยท (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด))) = (๐ต ยท ๐ด))
3629, 34, 353eqtr3d 2774 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
373, 4, 7, 36ccase 1034 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐ต โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
381, 2, 37syl2anb 597 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7404  โ„cr 11108  0cc0 11109   ยท cmul 11114  โ„•cn 12213  โ„•0cn0 12473  โ„คcz 12559   โˆ’โ„ cresub 41798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-resub 41799
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator