Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zmulcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmulcom 42042
Description: Multiplication is commutative for integers. Proven without ax-mulcom 11210. From this result and grpcominv1 41779, we can show that rationals commute under multiplication without using ax-mulcom 11210. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
zmulcom ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))

Proof of Theorem zmulcom
StepHypRef Expression
1 reelznn0nn 42035 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†” (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•)))
2 reelznn0nn 42035 . 2 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†” (๐ต โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)))
3 nn0mulcom 42040 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
4 zmulcomlem 42041 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
5 zmulcomlem 42041 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = (๐ด ยท ๐ต))
65eqcomd 2734 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
76ancoms 457 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
8 nnmulcom 41878 . . . . . . . . 9 (((0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„• โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ต)) = ((0 โˆ’โ„ ๐ต) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด)))
98ad2ant2l 744 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ต)) = ((0 โˆ’โ„ ๐ต) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด)))
109oveq2d 7442 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โˆ’โ„ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ต))) = (0 โˆ’โ„ ((0 โˆ’โ„ ๐ต) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด))))
11 rernegcl 41957 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„)
1211ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„)
13 simprr 771 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)
1412, 13renegmulnnass 42039 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ต)) = (0 โˆ’โ„ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ต))))
15 rernegcl 41957 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„)
1615ad2antrl 726 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„)
17 simplr 767 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•)
1816, 17renegmulnnass 42039 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด)) = (0 โˆ’โ„ ((0 โˆ’โ„ ๐ต) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด))))
1910, 14, 183eqtr4d 2778 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ต)) = ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด)))
2019oveq2d 7442 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โˆ’โ„ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ต))) = (0 โˆ’โ„ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด))))
21 rernegcl 41957 . . . . . . . 8 ((0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) โˆˆ โ„)
2211, 21syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) โˆˆ โ„)
2322ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) โˆˆ โ„)
2423, 16remulneg2d 42000 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) ยท (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต))) = (0 โˆ’โ„ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ต))))
25 rernegcl 41957 . . . . . . . 8 ((0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) โˆˆ โ„)
2615, 25syl 17 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) โˆˆ โ„)
2726ad2antrl 726 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) โˆˆ โ„)
2827, 12remulneg2d 42000 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) ยท (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด))) = (0 โˆ’โ„ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) ยท (0 โˆ’โ„ ๐ด))))
2920, 24, 283eqtr4d 2778 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) ยท (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต))) = ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) ยท (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด))))
30 renegneg 41997 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) = ๐ด)
3130ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) = ๐ด)
32 renegneg 41997 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) = ๐ต)
3332ad2antrl 726 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) = ๐ต)
3431, 33oveq12d 7444 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด)) ยท (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต))) = (๐ด ยท ๐ต))
3533, 31oveq12d 7444 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ต)) ยท (0 โˆ’โ„ (0 โˆ’โ„ ๐ด))) = (๐ต ยท ๐ด))
3629, 34, 353eqtr3d 2776 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
373, 4, 7, 36ccase 1035 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐ต โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ ๐ต) โˆˆ โ„•))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
381, 2, 37syl2anb 596 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7426  โ„cr 11145  0cc0 11146   ยท cmul 11151  โ„•cn 12250  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596   โˆ’โ„ cresub 41951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-resub 41952
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator