Proof of Theorem zmulcom
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | reelznn0nn 42479 | . 2
⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨
(𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ))) | 
| 2 |  | reelznn0nn 42479 | . 2
⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨
(𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ))) | 
| 3 |  | nn0mulcom 42484 | . . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝐵 ∈
ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)) | 
| 4 |  | zmulcomlem 42485 | . . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)) | 
| 5 |  | zmulcomlem 42485 | . . . . 5
⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵)) | 
| 6 | 5 | eqcomd 2743 | . . . 4
⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)) | 
| 7 | 6 | ancoms 458 | . . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ (𝐵 ∈ ℝ
∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)) | 
| 8 |  | nnmulcom 42307 | . . . . . . . . 9
⊢ (((0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ) → ((0
−ℝ 𝐴) · (0 −ℝ
𝐵)) = ((0
−ℝ 𝐵) · (0 −ℝ
𝐴))) | 
| 9 | 8 | ad2ant2l 746 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0
−ℝ 𝐴) · (0 −ℝ
𝐵)) = ((0
−ℝ 𝐵) · (0 −ℝ
𝐴))) | 
| 10 | 9 | oveq2d 7447 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0
−ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · (0 −ℝ
𝐵))) = (0
−ℝ ((0 −ℝ 𝐵) · (0 −ℝ
𝐴)))) | 
| 11 |  | rernegcl 42401 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℝ) | 
| 12 | 11 | ad2antrr 726 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℝ) | 
| 13 |  | simprr 773 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ) | 
| 14 | 12, 13 | renegmulnnass 42483 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0
−ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ
𝐵)) = (0
−ℝ ((0 −ℝ 𝐴) · (0 −ℝ
𝐵)))) | 
| 15 |  | rernegcl 42401 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℝ) | 
| 16 | 15 | ad2antrl 728 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℝ) | 
| 17 |  | simplr 769 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) | 
| 18 | 16, 17 | renegmulnnass 42483 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0
−ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ
𝐴)) = (0
−ℝ ((0 −ℝ 𝐵) · (0 −ℝ
𝐴)))) | 
| 19 | 10, 14, 18 | 3eqtr4d 2787 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0
−ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ
𝐵)) = ((0
−ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ
𝐴))) | 
| 20 | 19 | oveq2d 7447 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0
−ℝ ((0 −ℝ (0
−ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ
𝐵))) = (0
−ℝ ((0 −ℝ (0
−ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ
𝐴)))) | 
| 21 |  | rernegcl 42401 | . . . . . . . 8
⊢ ((0
−ℝ 𝐴) ∈ ℝ → (0
−ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ) | 
| 22 | 11, 21 | syl 17 | . . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0
−ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ) | 
| 23 | 22 | ad2antrr 726 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0
−ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ) | 
| 24 | 23, 16 | remulneg2d 42444 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0
−ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ (0
−ℝ 𝐵))) = (0 −ℝ ((0
−ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ
𝐵)))) | 
| 25 |  | rernegcl 42401 | . . . . . . . 8
⊢ ((0
−ℝ 𝐵) ∈ ℝ → (0
−ℝ (0 −ℝ 𝐵)) ∈ ℝ) | 
| 26 | 15, 25 | syl 17 | . . . . . . 7
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0
−ℝ (0 −ℝ 𝐵)) ∈ ℝ) | 
| 27 | 26 | ad2antrl 728 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0
−ℝ (0 −ℝ 𝐵)) ∈ ℝ) | 
| 28 | 27, 12 | remulneg2d 42444 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0
−ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ (0
−ℝ 𝐴))) = (0 −ℝ ((0
−ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ
𝐴)))) | 
| 29 | 20, 24, 28 | 3eqtr4d 2787 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0
−ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ (0
−ℝ 𝐵))) = ((0 −ℝ (0
−ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ (0
−ℝ 𝐴)))) | 
| 30 |  | renegneg 42441 | . . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0
−ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴) | 
| 31 | 30 | ad2antrr 726 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0
−ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴) | 
| 32 |  | renegneg 42441 | . . . . . 6
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0
−ℝ (0 −ℝ 𝐵)) = 𝐵) | 
| 33 | 32 | ad2antrl 728 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0
−ℝ (0 −ℝ 𝐵)) = 𝐵) | 
| 34 | 31, 33 | oveq12d 7449 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0
−ℝ (0 −ℝ 𝐴)) · (0 −ℝ (0
−ℝ 𝐵))) = (𝐴 · 𝐵)) | 
| 35 | 33, 31 | oveq12d 7449 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0
−ℝ (0 −ℝ 𝐵)) · (0 −ℝ (0
−ℝ 𝐴))) = (𝐵 · 𝐴)) | 
| 36 | 29, 34, 35 | 3eqtr3d 2785 | . . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)) | 
| 37 | 3, 4, 7, 36 | ccase 1038 | . 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∨
(𝐴 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0
−ℝ 𝐵) ∈ ℕ))) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)) | 
| 38 | 1, 2, 37 | syl2anb 598 | 1
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)) |