Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mulgt0con1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgt0con1d 39570
 Description: Counterpart to mulgt0con2d 39571, though not a lemma of anything. This is the first use of ax-pre-mulgt0 10607. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgt0con1d.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0con1d.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0con1d.1 (𝜑 → 0 < 𝐵)
mulgt0con1d.2 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
Assertion
Ref Expression
mulgt0con1d (𝜑𝐴 < 0)

Proof of Theorem mulgt0con1d
StepHypRef Expression
1 mulgt0con1d.2 . 2 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
2 mulgt0con1d.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 mulgt0con1d.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
42, 3remulcld 10664 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
52adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
63adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
8 mulgt0con1d.1 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝐵)
98adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐵)
105, 6, 7, 9mulgt0d 10788 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
1110ex 416 . . 3 (𝜑 → (0 < 𝐴 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
12 remul02 39530 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = 0)
133, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
14 oveq1 7146 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
1514eqeq1d 2803 . . . 4 (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (0 · 𝐵) = 0))
1613, 15syl5ibrcom 250 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
172, 4, 11, 16mulgt0con1dlem 39569 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → 𝐴 < 0))
181, 17mpd 15 1 (𝜑𝐴 < 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  ℝcr 10529  0cc0 10530   · cmul 10535   < clt 10668 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-2 11692  df-resub 39491 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator