Theorem mulgt0con1d 42591

Description: Counterpart to mulgt0con2d 42592, though not a lemma. This is the first use of ax-pre-mulgt0 11092. One direction of mulgt0b2d 42599. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgt0con1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0con1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0con1d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
mulgt0con1d.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0con1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Proof of Theorem mulgt0con1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0con1d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
2		mulgt0con1d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		mulgt0con1d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 11151	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
8		mulgt0con1d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐵)
10	5, 6, 7, 9	mulgt0d 11277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
11	10	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
12		remul02 42526	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = 0)
13	3, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
14		oveq1 7361	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
15	14	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (0 · 𝐵) = 0))
16	13, 15	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
17	2, 4, 11, 16	mulgt0con1dlem 42590	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → 𝐴 < 0))
18	1, 17	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7354  ℝcr 11014  0cc0 11015   · cmul 11020   < clt 11155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-ltxr 11160  df-2 12197  df-resub 42487

This theorem is referenced by:  sn-reclt0d  42602