Theorem mulgt0con1d 42458

Description: Counterpart to mulgt0con2d 42459, though not a lemma. This is the first use of ax-pre-mulgt0 11145. One direction of mulgt0b2d 42466. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgt0con1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0con1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0con1d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
mulgt0con1d.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0con1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Proof of Theorem mulgt0con1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0con1d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
2		mulgt0con1d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		mulgt0con1d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 11204	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
8		mulgt0con1d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐵)
10	5, 6, 7, 9	mulgt0d 11329	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
11	10	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
12		remul02 42393	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = 0)
13	3, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
14		oveq1 7394	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
15	14	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (0 · 𝐵) = 0))
16	13, 15	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
17	2, 4, 11, 16	mulgt0con1dlem 42457	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → 𝐴 < 0))
18	1, 17	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068   · cmul 11073   < clt 11208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-2 12249  df-resub 42354

This theorem is referenced by:  sn-reclt0d  42469