Theorem mulgt0con1d 43800

Description: Counterpart to mulgt0con2d 43801, though not a lemma. This is the first use of ax-pre-mulgt0 11316. One direction of mulgt0b2d 43808. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgt0con1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0con1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0con1d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
mulgt0con1d.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0con1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Proof of Theorem mulgt0con1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0con1d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
2		mulgt0con1d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		mulgt0con1d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 11378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
8		mulgt0con1d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐵)
10	5, 6, 7, 9	mulgt0d 11504	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
11	10	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
12		remul02 43722	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = 0)
13	3, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
14		oveq1 7458	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
15	14	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (0 · 𝐵) = 0))
16	13, 15	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
17	2, 4, 11, 16	mulgt0con1dlem 43799	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → 𝐴 < 0))
18	1, 17	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239   · cmul 11244   < clt 11382

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-2 12445  df-resub 43683

This theorem is used by:  sn-reclt0d  43811