![]() |
Mathbox for Steven Nguyen |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > mulgt0con2d | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for mulgt0b2d 41822 and contrapositive of mulgt0 11288. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulgt0con2d.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
mulgt0con2d.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
mulgt0con2d.1 | โข (๐ โ 0 < ๐ด) |
mulgt0con2d.2 | โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) < 0) |
Ref | Expression |
---|---|
mulgt0con2d | โข (๐ โ ๐ต < 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mulgt0con2d.2 | . 2 โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) < 0) | |
2 | mulgt0con2d.b | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
3 | mulgt0con2d.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
4 | 3, 2 | remulcld 11241 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) |
5 | 3 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ โง 0 < ๐ต) โ ๐ด โ โ) |
6 | 2 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ โง 0 < ๐ต) โ ๐ต โ โ) |
7 | mulgt0con2d.1 | . . . . . 6 โข (๐ โ 0 < ๐ด) | |
8 | 7 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ โง 0 < ๐ต) โ 0 < ๐ด) |
9 | simpr 484 | . . . . 5 โข ((๐ โง 0 < ๐ต) โ 0 < ๐ต) | |
10 | 5, 6, 8, 9 | mulgt0d 11366 | . . . 4 โข ((๐ โง 0 < ๐ต) โ 0 < (๐ด ยท ๐ต)) |
11 | 10 | ex 412 | . . 3 โข (๐ โ (0 < ๐ต โ 0 < (๐ด ยท ๐ต))) |
12 | remul01 41769 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (๐ด ยท 0) = 0) | |
13 | 3, 12 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด ยท 0) = 0) |
14 | oveq2 7409 | . . . . 5 โข (๐ต = 0 โ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ด ยท 0)) | |
15 | 14 | eqeq1d 2726 | . . . 4 โข (๐ต = 0 โ ((๐ด ยท ๐ต) = 0 โ (๐ด ยท 0) = 0)) |
16 | 13, 15 | syl5ibrcom 246 | . . 3 โข (๐ โ (๐ต = 0 โ (๐ด ยท ๐ต) = 0)) |
17 | 2, 4, 11, 16 | mulgt0con1dlem 41819 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ ๐ต < 0)) |
18 | 1, 17 | mpd 15 | 1 โข (๐ โ ๐ต < 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 class class class wbr 5138 (class class class)co 7401 โcr 11105 0cc0 11106 ยท cmul 11111 < clt 11245 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5289 ax-nul 5296 ax-pow 5353 ax-pr 5417 ax-un 7718 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-nul 4315 df-if 4521 df-pw 4596 df-sn 4621 df-pr 4623 df-op 4627 df-uni 4900 df-br 5139 df-opab 5201 df-mpt 5222 df-id 5564 df-po 5578 df-so 5579 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-iota 6485 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-riota 7357 df-ov 7404 df-oprab 7405 df-mpo 7406 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-ltxr 11250 df-2 12272 df-3 12273 df-resub 41728 |
This theorem is referenced by: mulgt0b2d 41822 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |