Theorem mulgt0con2d 39911

Description: Lemma for mulgt0b2d 39912 and contrapositive of mulgt0 10741. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgt0con2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0con2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0con2d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
mulgt0con2d.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0con2d	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)

Proof of Theorem mulgt0con2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0con2d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
2		mulgt0con2d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		mulgt0con2d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3, 2	remulcld 10694	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5	3	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	2	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		mulgt0con2d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
8	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐴)
9		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
10	5, 6, 8, 9	mulgt0d 10818	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
11	10	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
12		remul01 39872	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
13	3, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
14		oveq2 7151	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
15	14	eqeq1d 2761	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 · 0) = 0))
16	13, 15	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
17	2, 4, 11, 16	mulgt0con1dlem 39909	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → 𝐵 < 0))
18	1, 17	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5025  (class class class)co 7143  ℝcr 10559  0cc0 10560   · cmul 10565   < clt 10698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-op 4522  df-uni 4792  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-id 5423  df-po 5436  df-so 5437  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-ltxr 10703  df-2 11722  df-3 11723  df-resub 39831

This theorem is referenced by:  mulgt0b2d  39912