Theorem mulgt0con2d 42503

Description: Lemma for mulgt0b1d 42504 and contrapositive of mulgt0 11187. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgt0con2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0con2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0con2d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
mulgt0con2d.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0con2d	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)

Proof of Theorem mulgt0con2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0con2d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
2		mulgt0con2d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		mulgt0con2d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3, 2	remulcld 11139	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		mulgt0con2d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐴)
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
10	5, 6, 8, 9	mulgt0d 11265	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
11	10	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
12		remul01 42439	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
13	3, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
14		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
15	14	eqeq1d 2733	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 · 0) = 0))
16	13, 15	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
17	2, 4, 11, 16	mulgt0con1dlem 42501	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → 𝐵 < 0))
18	1, 17	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  ℝcr 11002  0cc0 11003   · cmul 11008   < clt 11143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-ltxr 11148  df-2 12185  df-3 12186  df-resub 42398

This theorem is referenced by:  mulgt0b1d  42504