Theorem mulgt0con2d 41102

Description: Lemma for mulgt0b2d 41103 and contrapositive of mulgt0 11272. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgt0con2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0con2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0con2d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
mulgt0con2d.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0con2d	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)

Proof of Theorem mulgt0con2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0con2d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
2		mulgt0con2d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		mulgt0con2d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3, 2	remulcld 11225	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		mulgt0con2d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
8	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐴)
9		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
10	5, 6, 8, 9	mulgt0d 11350	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
11	10	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
12		remul01 41050	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
13	3, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
14		oveq2 7400	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
15	14	eqeq1d 2733	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 · 0) = 0))
16	13, 15	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
17	2, 4, 11, 16	mulgt0con1dlem 41100	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → 𝐵 < 0))
18	1, 17	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5140  (class class class)co 7392  ℝcr 11090  0cc0 11091   · cmul 11096   < clt 11229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-pre-mulgt0 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-id 5566  df-po 5580  df-so 5581  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8685  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-ltxr 11234  df-2 12256  df-3 12257  df-resub 41009

This theorem is referenced by:  mulgt0b2d  41103