Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mulgt0con2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgt0con2d 41329
Description: Lemma for mulgt0b2d 41330 and contrapositive of mulgt0 11288. (Contributed by SN, 26-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgt0con2d.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
mulgt0con2d.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0con2d.1 (𝜑 → 0 < 𝐴)
mulgt0con2d.2 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
Assertion
Ref Expression
mulgt0con2d (𝜑𝐵 < 0)

Proof of Theorem mulgt0con2d
StepHypRef Expression
1 mulgt0con2d.2 . 2 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
2 mulgt0con2d.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 mulgt0con2d.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
43, 2remulcld 11241 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
53adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
62adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 mulgt0con2d.1 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝐴)
87adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐴)
9 simpr 486 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
105, 6, 8, 9mulgt0d 11366 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
1110ex 414 . . 3 (𝜑 → (0 < 𝐵 → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
12 remul01 41277 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
133, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
14 oveq2 7414 . . . . 5 (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
1514eqeq1d 2735 . . . 4 (𝐵 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 · 0) = 0))
1613, 15syl5ibrcom 246 . . 3 (𝜑 → (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = 0))
172, 4, 11, 16mulgt0con1dlem 41327 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 → 𝐵 < 0))
181, 17mpd 15 1 (𝜑𝐵 < 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5148  (class class class)co 7406  cr 11106  0cc0 11107   · cmul 11112   < clt 11245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-ltxr 11250  df-2 12272  df-3 12273  df-resub 41236
This theorem is referenced by:  mulgt0b2d  41330
  Copyright terms: Public domain W3C validator