Theorem mulgt0i 11305

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 16-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
mulgt0i	⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulgt0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		axmulgt0 11247	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
4	1, 2, 3	mp2an 700	1 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2136   class class class wbr 5094  (class class class)co 7385  ℝcr 11062  0cc0 11063   · cmul 11068   < clt 11206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-addrcl 11124  ax-mulrcl 11126  ax-rnegex 11134  ax-cnre 11136  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-ltxr 11211

This theorem is referenced by:  mulgt0ii  11306  recgt0ii  12088