Theorem mulgt0i 11237

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 16-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
mulgt0i	⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulgt0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		axmulgt0 11179	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
4	1, 2, 3	mp2an 692	1 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5089  (class class class)co 7341  ℝcr 10997  0cc0 10998   · cmul 11003   < clt 11138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-addrcl 11059  ax-mulrcl 11061  ax-rnegex 11069  ax-cnre 11071  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-ltxr 11143

This theorem is referenced by:  mulgt0ii  11238  recgt0ii  12020