MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltadd2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltadd2i 10368
Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
lt.2 𝐵 ∈ ℝ
lt.3 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
ltadd2i (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2i
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 lt.2 . 2 𝐵 ∈ ℝ
3 lt.3 . 2 𝐶 ∈ ℝ
4 ltadd2 10341 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
51, 2, 3, 4mp3an 1572 1 (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6791  cr 10135   + caddc 10139   < clt 10274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-resscn 10193  ax-addrcl 10197  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-ltadd 10212
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-ov 6794  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-ltxr 10279
This theorem is referenced by:  numlt  11727  bposlem8  25230  dp2ltsuc  29926  dplti  29946  dpmul4  29955
  Copyright terms: Public domain W3C validator