MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltadd2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltadd2i 11293
Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
lt.2 𝐵 ∈ ℝ
lt.3 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
ltadd2i (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2i
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 lt.2 . 2 𝐵 ∈ ℝ
3 lt.3 . 2 𝐶 ∈ ℝ
4 ltadd2 11266 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
51, 2, 3, 4mp3an 1462 1 (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wcel 2107   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  cr 11057   + caddc 11061   < clt 11196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-addrcl 11119  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201
This theorem is referenced by:  numlt  12650  bposlem8  26655  dp2ltsuc  31784  dplti  31803  dpmul4  31812  sn-0ne2  40904
  Copyright terms: Public domain W3C validator