MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recgt0ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recgt0ii 12066
Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1 ๐ด โˆˆ โ„
recgt0i.2 0 < ๐ด
Assertion
Ref Expression
recgt0ii 0 < (1 / ๐ด)

Proof of Theorem recgt0ii
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 11114 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
2 ltplus1.1 . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„
32recni 11174 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„‚
4 ax-1ne0 11125 . . . . 5 1 โ‰  0
5 recgt0i.2 . . . . . 6 0 < ๐ด
62, 5gt0ne0ii 11696 . . . . 5 ๐ด โ‰  0
71, 3, 4, 6divne0i 11908 . . . 4 (1 / ๐ด) โ‰  0
87nesymi 2998 . . 3 ยฌ 0 = (1 / ๐ด)
9 0lt1 11682 . . . . 5 0 < 1
10 0re 11162 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„
11 1re 11160 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
1210, 11ltnsymi 11279 . . . . 5 (0 < 1 โ†’ ยฌ 1 < 0)
139, 12ax-mp 5 . . . 4 ยฌ 1 < 0
142, 6rereccli 11925 . . . . . . . . 9 (1 / ๐ด) โˆˆ โ„
1514renegcli 11467 . . . . . . . 8 -(1 / ๐ด) โˆˆ โ„
1615, 2mulgt0i 11292 . . . . . . 7 ((0 < -(1 / ๐ด) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด))
175, 16mpan2 690 . . . . . 6 (0 < -(1 / ๐ด) โ†’ 0 < (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด))
1814recni 11174 . . . . . . . 8 (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚
1918, 3mulneg1i 11606 . . . . . . 7 (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด) = -((1 / ๐ด) ยท ๐ด)
203, 6recidi 11891 . . . . . . . . 9 (๐ด ยท (1 / ๐ด)) = 1
213, 18, 20mulcomli 11169 . . . . . . . 8 ((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = 1
2221negeqi 11399 . . . . . . 7 -((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = -1
2319, 22eqtri 2761 . . . . . 6 (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด) = -1
2417, 23breqtrdi 5147 . . . . 5 (0 < -(1 / ๐ด) โ†’ 0 < -1)
25 lt0neg1 11666 . . . . . 6 ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ ((1 / ๐ด) < 0 โ†” 0 < -(1 / ๐ด)))
2614, 25ax-mp 5 . . . . 5 ((1 / ๐ด) < 0 โ†” 0 < -(1 / ๐ด))
27 lt0neg1 11666 . . . . . 6 (1 โˆˆ โ„ โ†’ (1 < 0 โ†” 0 < -1))
2811, 27ax-mp 5 . . . . 5 (1 < 0 โ†” 0 < -1)
2924, 26, 283imtr4i 292 . . . 4 ((1 / ๐ด) < 0 โ†’ 1 < 0)
3013, 29mto 196 . . 3 ยฌ (1 / ๐ด) < 0
318, 30pm3.2ni 880 . 2 ยฌ (0 = (1 / ๐ด) โˆจ (1 / ๐ด) < 0)
32 axlttri 11231 . . 3 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (1 / ๐ด) โ†” ยฌ (0 = (1 / ๐ด) โˆจ (1 / ๐ด) < 0)))
3310, 14, 32mp2an 691 . 2 (0 < (1 / ๐ด) โ†” ยฌ (0 = (1 / ๐ด) โˆจ (1 / ๐ด) < 0))
3431, 33mpbir 230 1 0 < (1 / ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†” wb 205   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   ยท cmul 11061   < clt 11194  -cneg 11391   / cdiv 11817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818
This theorem is referenced by:  halfgt0  12374  0.999...  15771  sincos2sgn  16081  rpnnen2lem3  16103  rpnnen2lem4  16104  rpnnen2lem9  16109  pcoass  24403  log2tlbnd  26311  iccioo01  35844  stoweidlem34  44361  stoweidlem59  44386
  Copyright terms: Public domain W3C validator