![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > recgt0ii | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltplus1.1 | โข ๐ด โ โ |
recgt0i.2 | โข 0 < ๐ด |
Ref | Expression |
---|---|
recgt0ii | โข 0 < (1 / ๐ด) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-1cn 11114 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
2 | ltplus1.1 | . . . . . 6 โข ๐ด โ โ | |
3 | 2 | recni 11174 | . . . . 5 โข ๐ด โ โ |
4 | ax-1ne0 11125 | . . . . 5 โข 1 โ 0 | |
5 | recgt0i.2 | . . . . . 6 โข 0 < ๐ด | |
6 | 2, 5 | gt0ne0ii 11696 | . . . . 5 โข ๐ด โ 0 |
7 | 1, 3, 4, 6 | divne0i 11908 | . . . 4 โข (1 / ๐ด) โ 0 |
8 | 7 | nesymi 2998 | . . 3 โข ยฌ 0 = (1 / ๐ด) |
9 | 0lt1 11682 | . . . . 5 โข 0 < 1 | |
10 | 0re 11162 | . . . . . 6 โข 0 โ โ | |
11 | 1re 11160 | . . . . . 6 โข 1 โ โ | |
12 | 10, 11 | ltnsymi 11279 | . . . . 5 โข (0 < 1 โ ยฌ 1 < 0) |
13 | 9, 12 | ax-mp 5 | . . . 4 โข ยฌ 1 < 0 |
14 | 2, 6 | rereccli 11925 | . . . . . . . . 9 โข (1 / ๐ด) โ โ |
15 | 14 | renegcli 11467 | . . . . . . . 8 โข -(1 / ๐ด) โ โ |
16 | 15, 2 | mulgt0i 11292 | . . . . . . 7 โข ((0 < -(1 / ๐ด) โง 0 < ๐ด) โ 0 < (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด)) |
17 | 5, 16 | mpan2 690 | . . . . . 6 โข (0 < -(1 / ๐ด) โ 0 < (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด)) |
18 | 14 | recni 11174 | . . . . . . . 8 โข (1 / ๐ด) โ โ |
19 | 18, 3 | mulneg1i 11606 | . . . . . . 7 โข (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด) = -((1 / ๐ด) ยท ๐ด) |
20 | 3, 6 | recidi 11891 | . . . . . . . . 9 โข (๐ด ยท (1 / ๐ด)) = 1 |
21 | 3, 18, 20 | mulcomli 11169 | . . . . . . . 8 โข ((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = 1 |
22 | 21 | negeqi 11399 | . . . . . . 7 โข -((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = -1 |
23 | 19, 22 | eqtri 2761 | . . . . . 6 โข (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด) = -1 |
24 | 17, 23 | breqtrdi 5147 | . . . . 5 โข (0 < -(1 / ๐ด) โ 0 < -1) |
25 | lt0neg1 11666 | . . . . . 6 โข ((1 / ๐ด) โ โ โ ((1 / ๐ด) < 0 โ 0 < -(1 / ๐ด))) | |
26 | 14, 25 | ax-mp 5 | . . . . 5 โข ((1 / ๐ด) < 0 โ 0 < -(1 / ๐ด)) |
27 | lt0neg1 11666 | . . . . . 6 โข (1 โ โ โ (1 < 0 โ 0 < -1)) | |
28 | 11, 27 | ax-mp 5 | . . . . 5 โข (1 < 0 โ 0 < -1) |
29 | 24, 26, 28 | 3imtr4i 292 | . . . 4 โข ((1 / ๐ด) < 0 โ 1 < 0) |
30 | 13, 29 | mto 196 | . . 3 โข ยฌ (1 / ๐ด) < 0 |
31 | 8, 30 | pm3.2ni 880 | . 2 โข ยฌ (0 = (1 / ๐ด) โจ (1 / ๐ด) < 0) |
32 | axlttri 11231 | . . 3 โข ((0 โ โ โง (1 / ๐ด) โ โ) โ (0 < (1 / ๐ด) โ ยฌ (0 = (1 / ๐ด) โจ (1 / ๐ด) < 0))) | |
33 | 10, 14, 32 | mp2an 691 | . 2 โข (0 < (1 / ๐ด) โ ยฌ (0 = (1 / ๐ด) โจ (1 / ๐ด) < 0)) |
34 | 31, 33 | mpbir 230 | 1 โข 0 < (1 / ๐ด) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wb 205 โจ wo 846 = wceq 1542 โ wcel 2107 class class class wbr 5106 (class class class)co 7358 โcr 11055 0cc0 11056 1c1 11057 ยท cmul 11061 < clt 11194 -cneg 11391 / cdiv 11817 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-id 5532 df-po 5546 df-so 5547 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-er 8651 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-div 11818 |
This theorem is referenced by: halfgt0 12374 0.999... 15771 sincos2sgn 16081 rpnnen2lem3 16103 rpnnen2lem4 16104 rpnnen2lem9 16109 pcoass 24403 log2tlbnd 26311 iccioo01 35844 stoweidlem34 44361 stoweidlem59 44386 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |