![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > recgt0ii | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltplus1.1 | โข ๐ด โ โ |
recgt0i.2 | โข 0 < ๐ด |
Ref | Expression |
---|---|
recgt0ii | โข 0 < (1 / ๐ด) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-1cn 11170 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
2 | ltplus1.1 | . . . . . 6 โข ๐ด โ โ | |
3 | 2 | recni 11232 | . . . . 5 โข ๐ด โ โ |
4 | ax-1ne0 11181 | . . . . 5 โข 1 โ 0 | |
5 | recgt0i.2 | . . . . . 6 โข 0 < ๐ด | |
6 | 2, 5 | gt0ne0ii 11754 | . . . . 5 โข ๐ด โ 0 |
7 | 1, 3, 4, 6 | divne0i 11966 | . . . 4 โข (1 / ๐ด) โ 0 |
8 | 7 | nesymi 2996 | . . 3 โข ยฌ 0 = (1 / ๐ด) |
9 | 0lt1 11740 | . . . . 5 โข 0 < 1 | |
10 | 0re 11220 | . . . . . 6 โข 0 โ โ | |
11 | 1re 11218 | . . . . . 6 โข 1 โ โ | |
12 | 10, 11 | ltnsymi 11337 | . . . . 5 โข (0 < 1 โ ยฌ 1 < 0) |
13 | 9, 12 | ax-mp 5 | . . . 4 โข ยฌ 1 < 0 |
14 | 2, 6 | rereccli 11983 | . . . . . . . . 9 โข (1 / ๐ด) โ โ |
15 | 14 | renegcli 11525 | . . . . . . . 8 โข -(1 / ๐ด) โ โ |
16 | 15, 2 | mulgt0i 11350 | . . . . . . 7 โข ((0 < -(1 / ๐ด) โง 0 < ๐ด) โ 0 < (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด)) |
17 | 5, 16 | mpan2 687 | . . . . . 6 โข (0 < -(1 / ๐ด) โ 0 < (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด)) |
18 | 14 | recni 11232 | . . . . . . . 8 โข (1 / ๐ด) โ โ |
19 | 18, 3 | mulneg1i 11664 | . . . . . . 7 โข (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด) = -((1 / ๐ด) ยท ๐ด) |
20 | 3, 6 | recidi 11949 | . . . . . . . . 9 โข (๐ด ยท (1 / ๐ด)) = 1 |
21 | 3, 18, 20 | mulcomli 11227 | . . . . . . . 8 โข ((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = 1 |
22 | 21 | negeqi 11457 | . . . . . . 7 โข -((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = -1 |
23 | 19, 22 | eqtri 2758 | . . . . . 6 โข (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด) = -1 |
24 | 17, 23 | breqtrdi 5188 | . . . . 5 โข (0 < -(1 / ๐ด) โ 0 < -1) |
25 | lt0neg1 11724 | . . . . . 6 โข ((1 / ๐ด) โ โ โ ((1 / ๐ด) < 0 โ 0 < -(1 / ๐ด))) | |
26 | 14, 25 | ax-mp 5 | . . . . 5 โข ((1 / ๐ด) < 0 โ 0 < -(1 / ๐ด)) |
27 | lt0neg1 11724 | . . . . . 6 โข (1 โ โ โ (1 < 0 โ 0 < -1)) | |
28 | 11, 27 | ax-mp 5 | . . . . 5 โข (1 < 0 โ 0 < -1) |
29 | 24, 26, 28 | 3imtr4i 291 | . . . 4 โข ((1 / ๐ด) < 0 โ 1 < 0) |
30 | 13, 29 | mto 196 | . . 3 โข ยฌ (1 / ๐ด) < 0 |
31 | 8, 30 | pm3.2ni 877 | . 2 โข ยฌ (0 = (1 / ๐ด) โจ (1 / ๐ด) < 0) |
32 | axlttri 11289 | . . 3 โข ((0 โ โ โง (1 / ๐ด) โ โ) โ (0 < (1 / ๐ด) โ ยฌ (0 = (1 / ๐ด) โจ (1 / ๐ด) < 0))) | |
33 | 10, 14, 32 | mp2an 688 | . 2 โข (0 < (1 / ๐ด) โ ยฌ (0 = (1 / ๐ด) โจ (1 / ๐ด) < 0)) |
34 | 31, 33 | mpbir 230 | 1 โข 0 < (1 / ๐ด) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wb 205 โจ wo 843 = wceq 1539 โ wcel 2104 class class class wbr 5147 (class class class)co 7411 โcr 11111 0cc0 11112 1c1 11113 ยท cmul 11117 < clt 11252 -cneg 11449 / cdiv 11875 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-id 5573 df-po 5587 df-so 5588 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 |
This theorem is referenced by: halfgt0 12432 0.999... 15831 sincos2sgn 16141 rpnnen2lem3 16163 rpnnen2lem4 16164 rpnnen2lem9 16169 pcoass 24771 log2tlbnd 26686 iccioo01 36511 stoweidlem34 45048 stoweidlem59 45073 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |