Theorem recgt0ii 12263

Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
recgt0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
recgt0ii	⊢ 0 < (1 / 𝐴)

Proof of Theorem recgt0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11297	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ltplus1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	recni 11362	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
4		ax-1ne0 11308	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
5		recgt0i.2	. . . . . 6 ⊢ 0 < 𝐴
6	2, 5	gt0ne0ii 11892	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ≠ 0
7	1, 3, 4, 6	divne0i 12105	. . . 4 ⊢ (1 / 𝐴) ≠ 0
8	7	nesymi 3016	. . 3 ⊢ ¬ 0 = (1 / 𝐴)
9		0lt1 11878	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
10		0re 11349	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		1re 11347	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
12	10, 11	ltnsymi 11468	. . . . 5 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
13	9, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 1 < 0
14	2, 6	rereccli 12122	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 𝐴) ∈ ℝ
15	14	renegcli 11658	. . . . . . . 8 ⊢ -(1 / 𝐴) ∈ ℝ
16	15, 2	mulgt0i 11481	. . . . . . 7 ⊢ ((0 < -(1 / 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < ( -(1 / 𝐴) · 𝐴))
17	5, 16	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (0 < -(1 / 𝐴) → 0 < ( -(1 / 𝐴) · 𝐴))
18	14	recni 11362	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 𝐴) ∈ ℂ
19	18, 3	mulneg1i 11801	. . . . . . 7 ⊢ ( -(1 / 𝐴) · 𝐴) = -((1 / 𝐴) · 𝐴)
20	3, 6	recidi 12088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1
21	3, 18, 20	mulcomli 11357	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1
22	21	negeqi 11589	. . . . . . 7 ⊢ -((1 / 𝐴) · 𝐴) = -1
23	19, 22	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ( -(1 / 𝐴) · 𝐴) = -1
24	17, 23	breqtrdi 5152	. . . . 5 ⊢ (0 < -(1 / 𝐴) → 0 < -1)
25		lt0neg1 11862	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ → ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴)))
26	14, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴))
27		lt0neg1 11862	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
28	11, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < -1)
29	24, 26, 28	3imtr4i 295	. . . 4 ⊢ ((1 / 𝐴) < 0 → 1 < 0)
30	13, 29	mto 200	. . 3 ⊢ ¬ (1 / 𝐴) < 0
31	8, 30	pm3.2ni 894	. 2 ⊢ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)
32		axlttri 11420	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)))
33	10, 14, 32	mp2an 705	. 2 ⊢ (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0))
34	31, 33	mpbir 234	1 ⊢ 0 < (1 / 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244   < clt 11382   -cneg 11581   / cdiv 12013

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014

This theorem is used by:  halfgt0  12601  0.999...  16094  sincos2sgn  16406  rpnnen2lem3  16428  rpnnen2lem4  16429  rpnnen2lem9  16434  pcoass  25400  log2tlbnd  27330  iccioo01  38518  stoweidlem34  47317  stoweidlem59  47342