Theorem recgt0ii 11545

Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
recgt0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
recgt0ii	⊢ 0 < (1 / 𝐴)

Proof of Theorem recgt0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 10594	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ltplus1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	recni 10654	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
4		ax-1ne0 10605	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
5		recgt0i.2	. . . . . 6 ⊢ 0 < 𝐴
6	2, 5	gt0ne0ii 11175	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ≠ 0
7	1, 3, 4, 6	divne0i 11387	. . . 4 ⊢ (1 / 𝐴) ≠ 0
8	7	nesymi 3073	. . 3 ⊢ ¬ 0 = (1 / 𝐴)
9		0lt1 11161	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
10		0re 10642	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		1re 10640	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
12	10, 11	ltnsymi 10758	. . . . 5 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
13	9, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 1 < 0
14	2, 6	rereccli 11404	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 𝐴) ∈ ℝ
15	14	renegcli 10946	. . . . . . . 8 ⊢ -(1 / 𝐴) ∈ ℝ
16	15, 2	mulgt0i 10771	. . . . . . 7 ⊢ ((0 < -(1 / 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
17	5, 16	mpan2 689	. . . . . 6 ⊢ (0 < -(1 / 𝐴) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
18	14	recni 10654	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 𝐴) ∈ ℂ
19	18, 3	mulneg1i 11085	. . . . . . 7 ⊢ (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -((1 / 𝐴) · 𝐴)
20	3, 6	recidi 11370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1
21	3, 18, 20	mulcomli 10649	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1
22	21	negeqi 10878	. . . . . . 7 ⊢ -((1 / 𝐴) · 𝐴) = -1
23	19, 22	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -1
24	17, 23	breqtrdi 5106	. . . . 5 ⊢ (0 < -(1 / 𝐴) → 0 < -1)
25		lt0neg1 11145	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ → ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴)))
26	14, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴))
27		lt0neg1 11145	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
28	11, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < -1)
29	24, 26, 28	3imtr4i 294	. . . 4 ⊢ ((1 / 𝐴) < 0 → 1 < 0)
30	13, 29	mto 199	. . 3 ⊢ ¬ (1 / 𝐴) < 0
31	8, 30	pm3.2ni 877	. 2 ⊢ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)
32		axlttri 10711	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)))
33	10, 14, 32	mp2an 690	. 2 ⊢ (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0))
34	31, 33	mpbir 233	1 ⊢ 0 < (1 / 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∨ wo 843   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5065  (class class class)co 7155  ℝcr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   · cmul 10541   < clt 10674  -cneg 10870   / cdiv 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297

This theorem is referenced by:  halfgt0  11852  0.999...  15236  sincos2sgn  15546  rpnnen2lem3  15568  rpnnen2lem4  15569  rpnnen2lem9  15574  pcoass  23627  log2tlbnd  25522  stoweidlem34  42318  stoweidlem59  42343