MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recgt0ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recgt0ii 12120
Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1 ๐ด โˆˆ โ„
recgt0i.2 0 < ๐ด
Assertion
Ref Expression
recgt0ii 0 < (1 / ๐ด)

Proof of Theorem recgt0ii
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 11168 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
2 ltplus1.1 . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„
32recni 11228 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„‚
4 ax-1ne0 11179 . . . . 5 1 โ‰  0
5 recgt0i.2 . . . . . 6 0 < ๐ด
62, 5gt0ne0ii 11750 . . . . 5 ๐ด โ‰  0
71, 3, 4, 6divne0i 11962 . . . 4 (1 / ๐ด) โ‰  0
87nesymi 2999 . . 3 ยฌ 0 = (1 / ๐ด)
9 0lt1 11736 . . . . 5 0 < 1
10 0re 11216 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„
11 1re 11214 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
1210, 11ltnsymi 11333 . . . . 5 (0 < 1 โ†’ ยฌ 1 < 0)
139, 12ax-mp 5 . . . 4 ยฌ 1 < 0
142, 6rereccli 11979 . . . . . . . . 9 (1 / ๐ด) โˆˆ โ„
1514renegcli 11521 . . . . . . . 8 -(1 / ๐ด) โˆˆ โ„
1615, 2mulgt0i 11346 . . . . . . 7 ((0 < -(1 / ๐ด) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด))
175, 16mpan2 690 . . . . . 6 (0 < -(1 / ๐ด) โ†’ 0 < (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด))
1814recni 11228 . . . . . . . 8 (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚
1918, 3mulneg1i 11660 . . . . . . 7 (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด) = -((1 / ๐ด) ยท ๐ด)
203, 6recidi 11945 . . . . . . . . 9 (๐ด ยท (1 / ๐ด)) = 1
213, 18, 20mulcomli 11223 . . . . . . . 8 ((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = 1
2221negeqi 11453 . . . . . . 7 -((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = -1
2319, 22eqtri 2761 . . . . . 6 (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด) = -1
2417, 23breqtrdi 5190 . . . . 5 (0 < -(1 / ๐ด) โ†’ 0 < -1)
25 lt0neg1 11720 . . . . . 6 ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ ((1 / ๐ด) < 0 โ†” 0 < -(1 / ๐ด)))
2614, 25ax-mp 5 . . . . 5 ((1 / ๐ด) < 0 โ†” 0 < -(1 / ๐ด))
27 lt0neg1 11720 . . . . . 6 (1 โˆˆ โ„ โ†’ (1 < 0 โ†” 0 < -1))
2811, 27ax-mp 5 . . . . 5 (1 < 0 โ†” 0 < -1)
2924, 26, 283imtr4i 292 . . . 4 ((1 / ๐ด) < 0 โ†’ 1 < 0)
3013, 29mto 196 . . 3 ยฌ (1 / ๐ด) < 0
318, 30pm3.2ni 880 . 2 ยฌ (0 = (1 / ๐ด) โˆจ (1 / ๐ด) < 0)
32 axlttri 11285 . . 3 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (1 / ๐ด) โ†” ยฌ (0 = (1 / ๐ด) โˆจ (1 / ๐ด) < 0)))
3310, 14, 32mp2an 691 . 2 (0 < (1 / ๐ด) โ†” ยฌ (0 = (1 / ๐ด) โˆจ (1 / ๐ด) < 0))
3431, 33mpbir 230 1 0 < (1 / ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†” wb 205   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   < clt 11248  -cneg 11445   / cdiv 11871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872
This theorem is referenced by:  halfgt0  12428  0.999...  15827  sincos2sgn  16137  rpnnen2lem3  16159  rpnnen2lem4  16160  rpnnen2lem9  16165  pcoass  24540  log2tlbnd  26450  iccioo01  36208  stoweidlem34  44750  stoweidlem59  44775
  Copyright terms: Public domain W3C validator