MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recgt0ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recgt0ii 12124
Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1 ๐ด โˆˆ โ„
recgt0i.2 0 < ๐ด
Assertion
Ref Expression
recgt0ii 0 < (1 / ๐ด)

Proof of Theorem recgt0ii
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 11170 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
2 ltplus1.1 . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„
32recni 11232 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„‚
4 ax-1ne0 11181 . . . . 5 1 โ‰  0
5 recgt0i.2 . . . . . 6 0 < ๐ด
62, 5gt0ne0ii 11754 . . . . 5 ๐ด โ‰  0
71, 3, 4, 6divne0i 11966 . . . 4 (1 / ๐ด) โ‰  0
87nesymi 2996 . . 3 ยฌ 0 = (1 / ๐ด)
9 0lt1 11740 . . . . 5 0 < 1
10 0re 11220 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„
11 1re 11218 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
1210, 11ltnsymi 11337 . . . . 5 (0 < 1 โ†’ ยฌ 1 < 0)
139, 12ax-mp 5 . . . 4 ยฌ 1 < 0
142, 6rereccli 11983 . . . . . . . . 9 (1 / ๐ด) โˆˆ โ„
1514renegcli 11525 . . . . . . . 8 -(1 / ๐ด) โˆˆ โ„
1615, 2mulgt0i 11350 . . . . . . 7 ((0 < -(1 / ๐ด) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด))
175, 16mpan2 687 . . . . . 6 (0 < -(1 / ๐ด) โ†’ 0 < (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด))
1814recni 11232 . . . . . . . 8 (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚
1918, 3mulneg1i 11664 . . . . . . 7 (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด) = -((1 / ๐ด) ยท ๐ด)
203, 6recidi 11949 . . . . . . . . 9 (๐ด ยท (1 / ๐ด)) = 1
213, 18, 20mulcomli 11227 . . . . . . . 8 ((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = 1
2221negeqi 11457 . . . . . . 7 -((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = -1
2319, 22eqtri 2758 . . . . . 6 (-(1 / ๐ด) ยท ๐ด) = -1
2417, 23breqtrdi 5188 . . . . 5 (0 < -(1 / ๐ด) โ†’ 0 < -1)
25 lt0neg1 11724 . . . . . 6 ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ ((1 / ๐ด) < 0 โ†” 0 < -(1 / ๐ด)))
2614, 25ax-mp 5 . . . . 5 ((1 / ๐ด) < 0 โ†” 0 < -(1 / ๐ด))
27 lt0neg1 11724 . . . . . 6 (1 โˆˆ โ„ โ†’ (1 < 0 โ†” 0 < -1))
2811, 27ax-mp 5 . . . . 5 (1 < 0 โ†” 0 < -1)
2924, 26, 283imtr4i 291 . . . 4 ((1 / ๐ด) < 0 โ†’ 1 < 0)
3013, 29mto 196 . . 3 ยฌ (1 / ๐ด) < 0
318, 30pm3.2ni 877 . 2 ยฌ (0 = (1 / ๐ด) โˆจ (1 / ๐ด) < 0)
32 axlttri 11289 . . 3 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (1 / ๐ด) โ†” ยฌ (0 = (1 / ๐ด) โˆจ (1 / ๐ด) < 0)))
3310, 14, 32mp2an 688 . 2 (0 < (1 / ๐ด) โ†” ยฌ (0 = (1 / ๐ด) โˆจ (1 / ๐ด) < 0))
3431, 33mpbir 230 1 0 < (1 / ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†” wb 205   โˆจ wo 843   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11252  -cneg 11449   / cdiv 11875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876
This theorem is referenced by:  halfgt0  12432  0.999...  15831  sincos2sgn  16141  rpnnen2lem3  16163  rpnnen2lem4  16164  rpnnen2lem9  16169  pcoass  24771  log2tlbnd  26686  iccioo01  36511  stoweidlem34  45048  stoweidlem59  45073
  Copyright terms: Public domain W3C validator