MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recgt0ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recgt0ii 11538
Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1 𝐴 ∈ ℝ
recgt0i.2 0 < 𝐴
Assertion
Ref Expression
recgt0ii 0 < (1 / 𝐴)

Proof of Theorem recgt0ii
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10587 . . . . 5 1 ∈ ℂ
2 ltplus1.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
32recni 10647 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
4 ax-1ne0 10598 . . . . 5 1 ≠ 0
5 recgt0i.2 . . . . . 6 0 < 𝐴
62, 5gt0ne0ii 11168 . . . . 5 𝐴 ≠ 0
71, 3, 4, 6divne0i 11380 . . . 4 (1 / 𝐴) ≠ 0
87nesymi 3077 . . 3 ¬ 0 = (1 / 𝐴)
9 0lt1 11154 . . . . 5 0 < 1
10 0re 10635 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
11 1re 10633 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
1210, 11ltnsymi 10751 . . . . 5 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
139, 12ax-mp 5 . . . 4 ¬ 1 < 0
142, 6rereccli 11397 . . . . . . . . 9 (1 / 𝐴) ∈ ℝ
1514renegcli 10939 . . . . . . . 8 -(1 / 𝐴) ∈ ℝ
1615, 2mulgt0i 10764 . . . . . . 7 ((0 < -(1 / 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
175, 16mpan2 687 . . . . . 6 (0 < -(1 / 𝐴) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
1814recni 10647 . . . . . . . 8 (1 / 𝐴) ∈ ℂ
1918, 3mulneg1i 11078 . . . . . . 7 (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -((1 / 𝐴) · 𝐴)
203, 6recidi 11363 . . . . . . . . 9 (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1
213, 18, 20mulcomli 10642 . . . . . . . 8 ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1
2221negeqi 10871 . . . . . . 7 -((1 / 𝐴) · 𝐴) = -1
2319, 22eqtri 2848 . . . . . 6 (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -1
2417, 23breqtrdi 5103 . . . . 5 (0 < -(1 / 𝐴) → 0 < -1)
25 lt0neg1 11138 . . . . . 6 ((1 / 𝐴) ∈ ℝ → ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴)))
2614, 25ax-mp 5 . . . . 5 ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴))
27 lt0neg1 11138 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
2811, 27ax-mp 5 . . . . 5 (1 < 0 ↔ 0 < -1)
2924, 26, 283imtr4i 293 . . . 4 ((1 / 𝐴) < 0 → 1 < 0)
3013, 29mto 198 . . 3 ¬ (1 / 𝐴) < 0
318, 30pm3.2ni 876 . 2 ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)
32 axlttri 10704 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)))
3310, 14, 32mp2an 688 . 2 (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0))
3431, 33mpbir 232 1 0 < (1 / 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 207  wo 843   = wceq 1530  wcel 2106   class class class wbr 5062  (class class class)co 7151  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534   < clt 10667  -cneg 10863   / cdiv 11289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290
This theorem is referenced by:  halfgt0  11845  0.999...  15229  sincos2sgn  15539  rpnnen2lem3  15561  rpnnen2lem4  15562  rpnnen2lem9  15567  pcoass  23543  log2tlbnd  25437  stoweidlem34  42182  stoweidlem59  42207
  Copyright terms: Public domain W3C validator