Theorem recgt0ii 12060

Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
recgt0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
recgt0ii	⊢ 0 < (1 / 𝐴)

Proof of Theorem recgt0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11096	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ltplus1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	recni 11158	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
4		ax-1ne0 11107	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
5		recgt0i.2	. . . . . 6 ⊢ 0 < 𝐴
6	2, 5	gt0ne0ii 11685	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ≠ 0
7	1, 3, 4, 6	divne0i 11901	. . . 4 ⊢ (1 / 𝐴) ≠ 0
8	7	nesymi 2990	. . 3 ⊢ ¬ 0 = (1 / 𝐴)
9		0lt1 11671	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
10		0re 11146	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		1re 11144	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
12	10, 11	ltnsymi 11264	. . . . 5 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
13	9, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 1 < 0
14	2, 6	rereccli 11918	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 𝐴) ∈ ℝ
15	14	renegcli 11454	. . . . . . . 8 ⊢ -(1 / 𝐴) ∈ ℝ
16	15, 2	mulgt0i 11277	. . . . . . 7 ⊢ ((0 < -(1 / 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
17	5, 16	mpan2 692	. . . . . 6 ⊢ (0 < -(1 / 𝐴) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
18	14	recni 11158	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 𝐴) ∈ ℂ
19	18, 3	mulneg1i 11595	. . . . . . 7 ⊢ (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -((1 / 𝐴) · 𝐴)
20	3, 6	recidi 11884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1
21	3, 18, 20	mulcomli 11153	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1
22	21	negeqi 11385	. . . . . . 7 ⊢ -((1 / 𝐴) · 𝐴) = -1
23	19, 22	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -1
24	17, 23	breqtrdi 5141	. . . . 5 ⊢ (0 < -(1 / 𝐴) → 0 < -1)
25		lt0neg1 11655	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ → ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴)))
26	14, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴))
27		lt0neg1 11655	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
28	11, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < -1)
29	24, 26, 28	3imtr4i 292	. . . 4 ⊢ ((1 / 𝐴) < 0 → 1 < 0)
30	13, 29	mto 197	. . 3 ⊢ ¬ (1 / 𝐴) < 0
31	8, 30	pm3.2ni 881	. 2 ⊢ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)
32		axlttri 11216	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)))
33	10, 14, 32	mp2an 693	. 2 ⊢ (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0))
34	31, 33	mpbir 231	1 ⊢ 0 < (1 / 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   < clt 11178  -cneg 11377   / cdiv 11806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807

This theorem is referenced by:  halfgt0  12368  0.999...  15816  sincos2sgn  16131  rpnnen2lem3  16153  rpnnen2lem4  16154  rpnnen2lem9  16159  pcoass  24992  log2tlbnd  26923  iccioo01  37579  stoweidlem34  46389  stoweidlem59  46414