Theorem recgt0ii 12065

Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
recgt0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
recgt0ii	⊢ 0 < (1 / 𝐴)

Proof of Theorem recgt0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11102	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ltplus1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	recni 11164	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
4		ax-1ne0 11113	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
5		recgt0i.2	. . . . . 6 ⊢ 0 < 𝐴
6	2, 5	gt0ne0ii 11690	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ≠ 0
7	1, 3, 4, 6	divne0i 11906	. . . 4 ⊢ (1 / 𝐴) ≠ 0
8	7	nesymi 2982	. . 3 ⊢ ¬ 0 = (1 / 𝐴)
9		0lt1 11676	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
10		0re 11152	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		1re 11150	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
12	10, 11	ltnsymi 11269	. . . . 5 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
13	9, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 1 < 0
14	2, 6	rereccli 11923	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 𝐴) ∈ ℝ
15	14	renegcli 11459	. . . . . . . 8 ⊢ -(1 / 𝐴) ∈ ℝ
16	15, 2	mulgt0i 11282	. . . . . . 7 ⊢ ((0 < -(1 / 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
17	5, 16	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (0 < -(1 / 𝐴) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
18	14	recni 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 𝐴) ∈ ℂ
19	18, 3	mulneg1i 11600	. . . . . . 7 ⊢ (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -((1 / 𝐴) · 𝐴)
20	3, 6	recidi 11889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1
21	3, 18, 20	mulcomli 11159	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1
22	21	negeqi 11390	. . . . . . 7 ⊢ -((1 / 𝐴) · 𝐴) = -1
23	19, 22	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -1
24	17, 23	breqtrdi 5143	. . . . 5 ⊢ (0 < -(1 / 𝐴) → 0 < -1)
25		lt0neg1 11660	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ → ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴)))
26	14, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴))
27		lt0neg1 11660	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
28	11, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < -1)
29	24, 26, 28	3imtr4i 292	. . . 4 ⊢ ((1 / 𝐴) < 0 → 1 < 0)
30	13, 29	mto 197	. . 3 ⊢ ¬ (1 / 𝐴) < 0
31	8, 30	pm3.2ni 880	. 2 ⊢ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)
32		axlttri 11221	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)))
33	10, 14, 32	mp2an 692	. 2 ⊢ (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0))
34	31, 33	mpbir 231	1 ⊢ 0 < (1 / 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049   < clt 11184  -cneg 11382   / cdiv 11811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812

This theorem is referenced by:  halfgt0  12373  0.999...  15823  sincos2sgn  16138  rpnnen2lem3  16160  rpnnen2lem4  16161  rpnnen2lem9  16166  pcoass  24900  log2tlbnd  26831  iccioo01  37288  stoweidlem34  46005  stoweidlem59  46030