Theorem recgt0ii 12023

Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
recgt0i.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
recgt0ii	⊢ 0 < (1 / 𝐴)

Proof of Theorem recgt0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11059	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ltplus1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	2	recni 11121	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
4		ax-1ne0 11070	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
5		recgt0i.2	. . . . . 6 ⊢ 0 < 𝐴
6	2, 5	gt0ne0ii 11648	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ≠ 0
7	1, 3, 4, 6	divne0i 11864	. . . 4 ⊢ (1 / 𝐴) ≠ 0
8	7	nesymi 2985	. . 3 ⊢ ¬ 0 = (1 / 𝐴)
9		0lt1 11634	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
10		0re 11109	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		1re 11107	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
12	10, 11	ltnsymi 11227	. . . . 5 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
13	9, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 1 < 0
14	2, 6	rereccli 11881	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 𝐴) ∈ ℝ
15	14	renegcli 11417	. . . . . . . 8 ⊢ -(1 / 𝐴) ∈ ℝ
16	15, 2	mulgt0i 11240	. . . . . . 7 ⊢ ((0 < -(1 / 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
17	5, 16	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (0 < -(1 / 𝐴) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
18	14	recni 11121	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 𝐴) ∈ ℂ
19	18, 3	mulneg1i 11558	. . . . . . 7 ⊢ (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -((1 / 𝐴) · 𝐴)
20	3, 6	recidi 11847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1
21	3, 18, 20	mulcomli 11116	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1
22	21	negeqi 11348	. . . . . . 7 ⊢ -((1 / 𝐴) · 𝐴) = -1
23	19, 22	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -1
24	17, 23	breqtrdi 5127	. . . . 5 ⊢ (0 < -(1 / 𝐴) → 0 < -1)
25		lt0neg1 11618	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ → ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴)))
26	14, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴))
27		lt0neg1 11618	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
28	11, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < -1)
29	24, 26, 28	3imtr4i 292	. . . 4 ⊢ ((1 / 𝐴) < 0 → 1 < 0)
30	13, 29	mto 197	. . 3 ⊢ ¬ (1 / 𝐴) < 0
31	8, 30	pm3.2ni 880	. 2 ⊢ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)
32		axlttri 11179	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)))
33	10, 14, 32	mp2an 692	. 2 ⊢ (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0))
34	31, 33	mpbir 231	1 ⊢ 0 < (1 / 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  0cc0 11001  1c1 11002   · cmul 11006   < clt 11141  -cneg 11340   / cdiv 11769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770

This theorem is referenced by:  halfgt0  12331  0.999...  15783  sincos2sgn  16098  rpnnen2lem3  16120  rpnnen2lem4  16121  rpnnen2lem9  16126  pcoass  24946  log2tlbnd  26877  iccioo01  37361  stoweidlem34  46072  stoweidlem59  46097