Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recgt0ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recgt0ii 11598
 Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1 𝐴 ∈ ℝ
recgt0i.2 0 < 𝐴
Assertion
Ref Expression
recgt0ii 0 < (1 / 𝐴)

Proof of Theorem recgt0ii
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10647 . . . . 5 1 ∈ ℂ
2 ltplus1.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
32recni 10707 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
4 ax-1ne0 10658 . . . . 5 1 ≠ 0
5 recgt0i.2 . . . . . 6 0 < 𝐴
62, 5gt0ne0ii 11228 . . . . 5 𝐴 ≠ 0
71, 3, 4, 6divne0i 11440 . . . 4 (1 / 𝐴) ≠ 0
87nesymi 3009 . . 3 ¬ 0 = (1 / 𝐴)
9 0lt1 11214 . . . . 5 0 < 1
10 0re 10695 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
11 1re 10693 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
1210, 11ltnsymi 10811 . . . . 5 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
139, 12ax-mp 5 . . . 4 ¬ 1 < 0
142, 6rereccli 11457 . . . . . . . . 9 (1 / 𝐴) ∈ ℝ
1514renegcli 10999 . . . . . . . 8 -(1 / 𝐴) ∈ ℝ
1615, 2mulgt0i 10824 . . . . . . 7 ((0 < -(1 / 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
175, 16mpan2 690 . . . . . 6 (0 < -(1 / 𝐴) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
1814recni 10707 . . . . . . . 8 (1 / 𝐴) ∈ ℂ
1918, 3mulneg1i 11138 . . . . . . 7 (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -((1 / 𝐴) · 𝐴)
203, 6recidi 11423 . . . . . . . . 9 (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1
213, 18, 20mulcomli 10702 . . . . . . . 8 ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1
2221negeqi 10931 . . . . . . 7 -((1 / 𝐴) · 𝐴) = -1
2319, 22eqtri 2782 . . . . . 6 (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -1
2417, 23breqtrdi 5078 . . . . 5 (0 < -(1 / 𝐴) → 0 < -1)
25 lt0neg1 11198 . . . . . 6 ((1 / 𝐴) ∈ ℝ → ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴)))
2614, 25ax-mp 5 . . . . 5 ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴))
27 lt0neg1 11198 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
2811, 27ax-mp 5 . . . . 5 (1 < 0 ↔ 0 < -1)
2924, 26, 283imtr4i 295 . . . 4 ((1 / 𝐴) < 0 → 1 < 0)
3013, 29mto 200 . . 3 ¬ (1 / 𝐴) < 0
318, 30pm3.2ni 878 . 2 ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)
32 axlttri 10764 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)))
3310, 14, 32mp2an 691 . 2 (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0))
3431, 33mpbir 234 1 0 < (1 / 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5037  (class class class)co 7157  ℝcr 10588  0cc0 10589  1c1 10590   · cmul 10594   < clt 10727  -cneg 10923   / cdiv 11349 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4803  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-id 5435  df-po 5448  df-so 5449  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-div 11350 This theorem is referenced by:  halfgt0  11904  0.999...  15299  sincos2sgn  15609  rpnnen2lem3  15631  rpnnen2lem4  15632  rpnnen2lem9  15637  pcoass  23740  log2tlbnd  25645  iccioo01  35057  stoweidlem34  43088  stoweidlem59  43113
 Copyright terms: Public domain W3C validator