MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axmulgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axmulgt0 11287
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 21 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates ax-pre-mulgt0 11186 with ordering on the extended reals.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
axmulgt0 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต)))

Proof of Theorem axmulgt0
StepHypRef Expression
1 ax-pre-mulgt0 11186 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ ๐ต) โ†’ 0 <โ„ (๐ด ยท ๐ต)))
2 0re 11215 . . . 4 0 โˆˆ โ„
3 ltxrlt 11283 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†” 0 <โ„ ๐ด))
42, 3mpan 688 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ด โ†” 0 <โ„ ๐ด))
5 ltxrlt 11283 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ต โ†” 0 <โ„ ๐ต))
62, 5mpan 688 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ต โ†” 0 <โ„ ๐ต))
74, 6bi2anan9 637 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†” (0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ ๐ต)))
8 remulcl 11194 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
9 ltxrlt 11283 . . 3 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ†” 0 <โ„ (๐ด ยท ๐ต)))
102, 8, 9sylancr 587 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ†” 0 <โ„ (๐ด ยท ๐ต)))
111, 7, 103imtr4d 293 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  โ„cr 11108  0cc0 11109   <โ„ cltrr 11113   ยท cmul 11114   < clt 11247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-addrcl 11170  ax-mulrcl 11172  ax-rnegex 11180  ax-cnre 11182  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252
This theorem is referenced by:  mulgt0  11290  mulgt0i  11345  sin02gt0  16134  sinq12gt0  26016
  Copyright terms: Public domain W3C validator