MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axmulgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axmulgt0 11236
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 21 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates ax-pre-mulgt0 11135 with ordering on the extended reals.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
axmulgt0 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต)))

Proof of Theorem axmulgt0
StepHypRef Expression
1 ax-pre-mulgt0 11135 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ ๐ต) โ†’ 0 <โ„ (๐ด ยท ๐ต)))
2 0re 11164 . . . 4 0 โˆˆ โ„
3 ltxrlt 11232 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†” 0 <โ„ ๐ด))
42, 3mpan 689 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ด โ†” 0 <โ„ ๐ด))
5 ltxrlt 11232 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ต โ†” 0 <โ„ ๐ต))
62, 5mpan 689 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ต โ†” 0 <โ„ ๐ต))
74, 6bi2anan9 638 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†” (0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ ๐ต)))
8 remulcl 11143 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
9 ltxrlt 11232 . . 3 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ†” 0 <โ„ (๐ด ยท ๐ต)))
102, 8, 9sylancr 588 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ†” 0 <โ„ (๐ด ยท ๐ต)))
111, 7, 103imtr4d 294 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058   <โ„ cltrr 11062   ยท cmul 11063   < clt 11196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-addrcl 11119  ax-mulrcl 11121  ax-rnegex 11129  ax-cnre 11131  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201
This theorem is referenced by:  mulgt0  11239  mulgt0i  11294  sin02gt0  16081  sinq12gt0  25880
  Copyright terms: Public domain W3C validator