![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > axmulgt0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 21 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates ax-pre-mulgt0 11189 with ordering on the extended reals.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) |
Ref | Expression |
---|---|
axmulgt0 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((0 < ๐ด โง 0 < ๐ต) โ 0 < (๐ด ยท ๐ต))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-pre-mulgt0 11189 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((0 <โ ๐ด โง 0 <โ ๐ต) โ 0 <โ (๐ด ยท ๐ต))) | |
2 | 0re 11220 | . . . 4 โข 0 โ โ | |
3 | ltxrlt 11288 | . . . 4 โข ((0 โ โ โง ๐ด โ โ) โ (0 < ๐ด โ 0 <โ ๐ด)) | |
4 | 2, 3 | mpan 687 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (0 < ๐ด โ 0 <โ ๐ด)) |
5 | ltxrlt 11288 | . . . 4 โข ((0 โ โ โง ๐ต โ โ) โ (0 < ๐ต โ 0 <โ ๐ต)) | |
6 | 2, 5 | mpan 687 | . . 3 โข (๐ต โ โ โ (0 < ๐ต โ 0 <โ ๐ต)) |
7 | 4, 6 | bi2anan9 636 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((0 < ๐ด โง 0 < ๐ต) โ (0 <โ ๐ด โง 0 <โ ๐ต))) |
8 | remulcl 11197 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) | |
9 | ltxrlt 11288 | . . 3 โข ((0 โ โ โง (๐ด ยท ๐ต) โ โ) โ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ 0 <โ (๐ด ยท ๐ต))) | |
10 | 2, 8, 9 | sylancr 586 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ 0 <โ (๐ด ยท ๐ต))) |
11 | 1, 7, 10 | 3imtr4d 294 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((0 < ๐ด โง 0 < ๐ต) โ 0 < (๐ด ยท ๐ต))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โ wcel 2098 class class class wbr 5141 (class class class)co 7405 โcr 11111 0cc0 11112 <โ cltrr 11116 ยท cmul 11117 < clt 11252 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-addrcl 11173 ax-mulrcl 11175 ax-rnegex 11183 ax-cnre 11185 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-ltxr 11257 |
This theorem is referenced by: mulgt0 11295 mulgt0i 11350 sin02gt0 16142 sinq12gt0 26397 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |