![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > axmulgt0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 21 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates ax-pre-mulgt0 11135 with ordering on the extended reals.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) |
Ref | Expression |
---|---|
axmulgt0 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((0 < ๐ด โง 0 < ๐ต) โ 0 < (๐ด ยท ๐ต))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-pre-mulgt0 11135 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((0 <โ ๐ด โง 0 <โ ๐ต) โ 0 <โ (๐ด ยท ๐ต))) | |
2 | 0re 11164 | . . . 4 โข 0 โ โ | |
3 | ltxrlt 11232 | . . . 4 โข ((0 โ โ โง ๐ด โ โ) โ (0 < ๐ด โ 0 <โ ๐ด)) | |
4 | 2, 3 | mpan 689 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (0 < ๐ด โ 0 <โ ๐ด)) |
5 | ltxrlt 11232 | . . . 4 โข ((0 โ โ โง ๐ต โ โ) โ (0 < ๐ต โ 0 <โ ๐ต)) | |
6 | 2, 5 | mpan 689 | . . 3 โข (๐ต โ โ โ (0 < ๐ต โ 0 <โ ๐ต)) |
7 | 4, 6 | bi2anan9 638 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((0 < ๐ด โง 0 < ๐ต) โ (0 <โ ๐ด โง 0 <โ ๐ต))) |
8 | remulcl 11143 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) | |
9 | ltxrlt 11232 | . . 3 โข ((0 โ โ โง (๐ด ยท ๐ต) โ โ) โ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ 0 <โ (๐ด ยท ๐ต))) | |
10 | 2, 8, 9 | sylancr 588 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ 0 <โ (๐ด ยท ๐ต))) |
11 | 1, 7, 10 | 3imtr4d 294 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((0 < ๐ด โง 0 < ๐ต) โ 0 < (๐ด ยท ๐ต))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โ wcel 2107 class class class wbr 5110 (class class class)co 7362 โcr 11057 0cc0 11058 <โ cltrr 11062 ยท cmul 11063 < clt 11196 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-addrcl 11119 ax-mulrcl 11121 ax-rnegex 11129 ax-cnre 11131 ax-pre-mulgt0 11135 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-id 5536 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-er 8655 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-ltxr 11201 |
This theorem is referenced by: mulgt0 11239 mulgt0i 11294 sin02gt0 16081 sinq12gt0 25880 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |