![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > axmulgt0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 21 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates ax-pre-mulgt0 11225 with ordering on the extended reals.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) |
Ref | Expression |
---|---|
axmulgt0 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((0 < ๐ด โง 0 < ๐ต) โ 0 < (๐ด ยท ๐ต))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-pre-mulgt0 11225 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((0 <โ ๐ด โง 0 <โ ๐ต) โ 0 <โ (๐ด ยท ๐ต))) | |
2 | 0re 11256 | . . . 4 โข 0 โ โ | |
3 | ltxrlt 11324 | . . . 4 โข ((0 โ โ โง ๐ด โ โ) โ (0 < ๐ด โ 0 <โ ๐ด)) | |
4 | 2, 3 | mpan 688 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (0 < ๐ด โ 0 <โ ๐ด)) |
5 | ltxrlt 11324 | . . . 4 โข ((0 โ โ โง ๐ต โ โ) โ (0 < ๐ต โ 0 <โ ๐ต)) | |
6 | 2, 5 | mpan 688 | . . 3 โข (๐ต โ โ โ (0 < ๐ต โ 0 <โ ๐ต)) |
7 | 4, 6 | bi2anan9 636 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((0 < ๐ด โง 0 < ๐ต) โ (0 <โ ๐ด โง 0 <โ ๐ต))) |
8 | remulcl 11233 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) | |
9 | ltxrlt 11324 | . . 3 โข ((0 โ โ โง (๐ด ยท ๐ต) โ โ) โ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ 0 <โ (๐ด ยท ๐ต))) | |
10 | 2, 8, 9 | sylancr 585 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ 0 <โ (๐ด ยท ๐ต))) |
11 | 1, 7, 10 | 3imtr4d 293 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((0 < ๐ด โง 0 < ๐ต) โ 0 < (๐ด ยท ๐ต))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 โ wcel 2098 class class class wbr 5152 (class class class)co 7426 โcr 11147 0cc0 11148 <โ cltrr 11152 ยท cmul 11153 < clt 11288 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7748 ax-resscn 11205 ax-1cn 11206 ax-addrcl 11209 ax-mulrcl 11211 ax-rnegex 11219 ax-cnre 11221 ax-pre-mulgt0 11225 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-id 5580 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-er 8733 df-en 8973 df-dom 8974 df-sdom 8975 df-pnf 11290 df-mnf 11291 df-ltxr 11293 |
This theorem is referenced by: mulgt0 11331 mulgt0i 11386 sin02gt0 16178 sinq12gt0 26470 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |