MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgt0ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgt0ii 11351
Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 18-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 ๐ด โˆˆ โ„
lt.2 ๐ต โˆˆ โ„
mulgt0i.3 0 < ๐ด
mulgt0i.4 0 < ๐ต
Assertion
Ref Expression
mulgt0ii 0 < (๐ด ยท ๐ต)

Proof of Theorem mulgt0ii
StepHypRef Expression
1 mulgt0i.3 . 2 0 < ๐ด
2 mulgt0i.4 . 2 0 < ๐ต
3 lt.1 . . 3 ๐ด โˆˆ โ„
4 lt.2 . . 3 ๐ต โˆˆ โ„
53, 4mulgt0i 11350 . 2 ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))
61, 2, 5mp2an 689 1 0 < (๐ด ยท ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  0cc0 11112   ยท cmul 11117   < clt 11252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-addrcl 11173  ax-mulrcl 11175  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257
This theorem is referenced by:  ef01bndlem  16134  efif1olem2  26432  efif1olem4  26434  ang180lem1  26696  ang180lem2  26697  chebbnd1lem3  27359  chebbnd1  27360  sinaover2ne0  45153  dirkercncflem4  45391  fourierdlem24  45416  fourierswlem  45515  fouriersw  45516
  Copyright terms: Public domain W3C validator