MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgt0ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgt0ii 10509
Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 18-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
lt.2 𝐵 ∈ ℝ
mulgt0i.3 0 < 𝐴
mulgt0i.4 0 < 𝐵
Assertion
Ref Expression
mulgt0ii 0 < (𝐴 · 𝐵)

Proof of Theorem mulgt0ii
StepHypRef Expression
1 mulgt0i.3 . 2 0 < 𝐴
2 mulgt0i.4 . 2 0 < 𝐵
3 lt.1 . . 3 𝐴 ∈ ℝ
4 lt.2 . . 3 𝐵 ∈ ℝ
53, 4mulgt0i 10508 . 2 ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
61, 2, 5mp2an 682 1 0 < (𝐴 · 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2106   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  cr 10271  0cc0 10272   · cmul 10277   < clt 10411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-addrcl 10333  ax-mulrcl 10335  ax-rnegex 10343  ax-cnre 10345  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416
This theorem is referenced by:  ef01bndlem  15316  efif1olem2  24727  efif1olem4  24729  ang180lem1  24987  ang180lem2  24988  chebbnd1lem3  25612  chebbnd1  25613  sinaover2ne0  40989  dirkercncflem4  41232  fourierdlem24  41257  fourierswlem  41356  fouriersw  41357
  Copyright terms: Public domain W3C validator