Theorem mulgt0ii 11436

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 18-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
mulgt0i.3	⊢ 0 < 𝐴
mulgt0i.4	⊢ 0 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
mulgt0ii	⊢ 0 < (𝐴 · 𝐵)

Proof of Theorem mulgt0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0i.3	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		mulgt0i.4	. 2 ⊢ 0 < 𝐵
3		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5	3, 4	mulgt0i 11435	. 2 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 5	mp2an 705	1 ⊢ 0 < (𝐴 · 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193   · cmul 11198   < clt 11336

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-addrcl 11254  ax-mulrcl 11256  ax-rnegex 11264  ax-cnre 11266  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341

This theorem is used by:  ef01bndlem  16345  efif1olem2  26864  efif1olem4  26866  ang180lem1  27130  ang180lem2  27131  chebbnd1lem3  27791  chebbnd1  27792  sinaover2ne0  46847  dirkercncflem4  47085  fourierdlem24  47110  fourierswlem  47209  fouriersw  47210  goldrapos  47899