Theorem mulgt0ii 11358

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 18-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
mulgt0i.3	⊢ 0 < 𝐴
mulgt0i.4	⊢ 0 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
mulgt0ii	⊢ 0 < (𝐴 · 𝐵)

Proof of Theorem mulgt0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0i.3	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		mulgt0i.4	. 2 ⊢ 0 < 𝐵
3		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5	3, 4	mulgt0i 11357	. 2 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 5	mp2an 705	1 ⊢ 0 < (𝐴 · 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  ℝcr 11114  0cc0 11115   · cmul 11120   < clt 11258

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-addrcl 11176  ax-mulrcl 11178  ax-rnegex 11186  ax-cnre 11188  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-ltxr 11263

This theorem is used by:  ef01bndlem  16262  efif1olem2  26759  efif1olem4  26761  ang180lem1  27025  ang180lem2  27026  chebbnd1lem3  27686  chebbnd1  27687  sinaover2ne0  46640  dirkercncflem4  46878  fourierdlem24  46903  fourierswlem  47002  fouriersw  47003  goldrapos  47678