Theorem mulgt0ii 11392

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 18-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
mulgt0i.3	⊢ 0 < 𝐴
mulgt0i.4	⊢ 0 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
mulgt0ii	⊢ 0 < (𝐴 · 𝐵)

Proof of Theorem mulgt0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0i.3	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		mulgt0i.4	. 2 ⊢ 0 < 𝐵
3		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5	3, 4	mulgt0i 11391	. 2 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 5	mp2an 692	1 ⊢ 0 < (𝐴 · 𝐵)

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158   < clt 11293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-addrcl 11214  ax-mulrcl 11216  ax-rnegex 11224  ax-cnre 11226  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298

This theorem is referenced by:  ef01bndlem  16217  efif1olem2  26600  efif1olem4  26602  ang180lem1  26867  ang180lem2  26868  chebbnd1lem3  27530  chebbnd1  27531  sinaover2ne0  45824  dirkercncflem4  46062  fourierdlem24  46087  fourierswlem  46186  fouriersw  46187