Theorem mulgt0ii 11257

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 18-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
mulgt0i.3	⊢ 0 < 𝐴
mulgt0i.4	⊢ 0 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
mulgt0ii	⊢ 0 < (𝐴 · 𝐵)

Proof of Theorem mulgt0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0i.3	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		mulgt0i.4	. 2 ⊢ 0 < 𝐵
3		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5	3, 4	mulgt0i 11256	. 2 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 5	mp2an 692	1 ⊢ 0 < (𝐴 · 𝐵)

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  0cc0 11017   · cmul 11022   < clt 11157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-addrcl 11078  ax-mulrcl 11080  ax-rnegex 11088  ax-cnre 11090  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-ltxr 11162

This theorem is referenced by:  ef01bndlem  16100  efif1olem2  26499  efif1olem4  26501  ang180lem1  26766  ang180lem2  26767  chebbnd1lem3  27429  chebbnd1  27430  sinaover2ne0  46028  dirkercncflem4  46266  fourierdlem24  46291  fourierswlem  46390  fouriersw  46391