MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgt0ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgt0ii 11385
Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 18-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 ๐ด โˆˆ โ„
lt.2 ๐ต โˆˆ โ„
mulgt0i.3 0 < ๐ด
mulgt0i.4 0 < ๐ต
Assertion
Ref Expression
mulgt0ii 0 < (๐ด ยท ๐ต)

Proof of Theorem mulgt0ii
StepHypRef Expression
1 mulgt0i.3 . 2 0 < ๐ด
2 mulgt0i.4 . 2 0 < ๐ต
3 lt.1 . . 3 ๐ด โˆˆ โ„
4 lt.2 . . 3 ๐ต โˆˆ โ„
53, 4mulgt0i 11384 . 2 ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))
61, 2, 5mp2an 690 1 0 < (๐ด ยท ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  โ„cr 11145  0cc0 11146   ยท cmul 11151   < clt 11286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-addrcl 11207  ax-mulrcl 11209  ax-rnegex 11217  ax-cnre 11219  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291
This theorem is referenced by:  ef01bndlem  16168  efif1olem2  26497  efif1olem4  26499  ang180lem1  26761  ang180lem2  26762  chebbnd1lem3  27424  chebbnd1  27425  sinaover2ne0  45285  dirkercncflem4  45523  fourierdlem24  45548  fourierswlem  45647  fouriersw  45648
  Copyright terms: Public domain W3C validator