Theorem nbgr0edglem 29937

Description: Lemma for nbgr0edg 29938 and nbgr1vtx 29939. (Contributed by AV, 15-Nov-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nbgr0edglem.v	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)

Assertion

Ref	Expression
nbgr0edglem	⊢ (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐺,𝑛   𝑒,𝐾,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒, 𝑛)

Proof of Theorem nbgr0edglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	nbgrval 29917	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = {𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒})
4	3	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) ∧ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝜑)) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = {𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒})
5		nbgr0edglem.v	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
6	5	ad2antll 742	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) ∧ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝜑)) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
7		rabeq0 4338	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
8	6, 7	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) ∧ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝜑)) → {𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒} = ∅)
9	4, 8	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) ∧ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝜑)) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
10	9	expcom 419	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝜑) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
11	10	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝜑 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)))
12	11	com23 87	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)))
13		df-nel 3063	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) ↔ ¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺))
14	1	nbgrnvtx0 29920	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
15	13, 14	sylbir 238	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
16	15	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
17		nbgrprc0 29915	. . 3 ⊢ (¬ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
18	17	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
19	12, 16, 18	pm2.61nii 186	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3062  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584  {cpr 4586  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Vtxcvtx 29574  Edgcedg 29625   NeighbVtx cnbgr 29913

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-nbgr 29914

This theorem is used by:  nbgr0edg  29938  nbgr1vtx  29939