Theorem nbgr0edglem 29442

Description: Lemma for nbgr0edg 29443 and nbgr1vtx 29444. (Contributed by AV, 15-Nov-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nbgr0edglem.v	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)

Assertion

Ref	Expression
nbgr0edglem	⊢ (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐺,𝑛   𝑒,𝐾,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑛)

Proof of Theorem nbgr0edglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	nbgrval 29422	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = {𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒})
4	3	ad2antrl 729	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) ∧ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝜑)) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = {𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒})
5		nbgr0edglem.v	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
6	5	ad2antll 730	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) ∧ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝜑)) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
7		rabeq0 4329	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
8	6, 7	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) ∧ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝜑)) → {𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒} = ∅)
9	4, 8	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) ∧ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝜑)) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
10	9	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝜑) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
11	10	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝜑 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)))
12	11	com23 86	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)))
13		df-nel 3038	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) ↔ ¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺))
14	1	nbgrnvtx0 29425	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
15	13, 14	sylbir 235	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
16	15	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
17		nbgrprc0 29420	. . 3 ⊢ (¬ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
18	17	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
19	12, 16, 18	pm2.61nii 184	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  {cpr 4570  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Vtxcvtx 29082  Edgcedg 29133   NeighbVtx cnbgr 29418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-nbgr 29419

This theorem is referenced by:  nbgr0edg  29443  nbgr1vtx  29444