MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbgr1vtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbgr1vtx 27628
Description: In a graph with one vertex, all neighborhoods are empty. (Contributed by AV, 15-Nov-2020.)
Assertion
Ref Expression
nbgr1vtx ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)

Proof of Theorem nbgr1vtx
Dummy variables 𝑒 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6769 . . . . . . 7 (Vtx‘𝐺) ∈ V
2 hash1snb 14062 . . . . . . 7 ((Vtx‘𝐺) ∈ V → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ↔ ∃𝑣(Vtx‘𝐺) = {𝑣}))
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ↔ ∃𝑣(Vtx‘𝐺) = {𝑣})
4 ral0 4440 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ ∅ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒
5 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . 12 ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐾 ∈ {𝑣}))
6 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 = 𝑣 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
7 sneq 4568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 = 𝑣 → {𝐾} = {𝑣})
87adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 = 𝑣 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → {𝐾} = {𝑣})
96, 8difeq12d 4054 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 = 𝑣 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ({𝑣} ∖ {𝑣}))
10 difid 4301 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑣} ∖ {𝑣}) = ∅
119, 10eqtrdi 2795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 = 𝑣 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅)
1211ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 = 𝑣 → ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅))
13 elsni 4575 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ {𝑣} → 𝐾 = 𝑣)
1412, 13syl11 33 . . . . . . . . . . . 12 ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ {𝑣} → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅))
155, 14sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅))
1615imp 406 . . . . . . . . . 10 (((Vtx‘𝐺) = {𝑣} ∧ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅)
1716raleqdv 3339 . . . . . . . . 9 (((Vtx‘𝐺) = {𝑣} ∧ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ ∀𝑛 ∈ ∅ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒))
184, 17mpbiri 257 . . . . . . . 8 (((Vtx‘𝐺) = {𝑣} ∧ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
1918ex 412 . . . . . . 7 ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒))
2019exlimiv 1934 . . . . . 6 (∃𝑣(Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒))
213, 20sylbi 216 . . . . 5 ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒))
2221impcom 407 . . . 4 ((𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
2322nbgr0vtxlem 27625 . . 3 ((𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
2423ex 412 . 2 (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
25 df-nel 3049 . . . 4 (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) ↔ ¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺))
26 eqid 2738 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2726nbgrnvtx0 27609 . . . 4 (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
2825, 27sylbir 234 . . 3 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
2928a1d 25 . 2 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
3024, 29pm2.61i 182 1 ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1539  wex 1783  wcel 2108  wnel 3048  wral 3063  wrex 3064  Vcvv 3422  cdif 3880  wss 3883  c0 4253  {csn 4558  {cpr 4560  cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803  chash 13972  Vtxcvtx 27269  Edgcedg 27320   NeighbVtx cnbgr 27602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973  df-nbgr 27603
This theorem is referenced by:  rusgr1vtx  27858
  Copyright terms: Public domain W3C validator