Theorem nbgr1vtx 29415

Description: In a graph with one vertex, all neighborhoods are empty. (Contributed by AV, 15-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nbgr1vtx	⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)

Proof of Theorem nbgr1vtx

Dummy variables 𝑒 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6845	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
2		hash1snb 14343	. . . . . . 7 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ V → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ↔ ∃𝑣(Vtx‘𝐺) = {𝑣}))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ↔ ∃𝑣(Vtx‘𝐺) = {𝑣})
4		ral0 4439	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑛 ∈ ∅ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒
5		eleq2 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐾 ∈ {𝑣}))
6		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 = 𝑣 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
7		sneq 4578	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 = 𝑣 → {𝐾} = {𝑣})
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 = 𝑣 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → {𝐾} = {𝑣})
9	6, 8	difeq12d 4068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 = 𝑣 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ({𝑣} ∖ {𝑣}))
10		difid 4317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑣} ∖ {𝑣}) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 = 𝑣 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅)
12	11	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 = 𝑣 → ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅))
13		elsni 4585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑣} → 𝐾 = 𝑣)
14	12, 13	syl11 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ {𝑣} → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅))
15	5, 14	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅))
16	15	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = {𝑣} ∧ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅)
17	16	raleqdv 3296	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = {𝑣} ∧ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ ∀𝑛 ∈ ∅ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒))
18	4, 17	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = {𝑣} ∧ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
19	18	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒))
20	19	exlimiv 1932	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣(Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒))
21	3, 20	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒))
22	21	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
23	22	nbgr0edglem 29413	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
24	23	ex 412	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
25		df-nel 3038	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) ↔ ¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺))
26		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
27	26	nbgrnvtx0 29396	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
28	25, 27	sylbir 235	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
29	28	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
30	24, 29	pm2.61i 182	1 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  {cpr 4570  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  1c1 11028  ♯chash 14254  Vtxcvtx 29053  Edgcedg 29104   NeighbVtx cnbgr 29389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-fz 13425  df-hash 14255  df-nbgr 29390

This theorem is referenced by:  rusgr1vtx  29646