Theorem nbgr1vtx 29334

Description: In a graph with one vertex, all neighborhoods are empty. (Contributed by AV, 15-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nbgr1vtx	⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)

Proof of Theorem nbgr1vtx

Dummy variables 𝑒 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6835	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
2		hash1snb 14323	. . . . . . 7 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ V → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ↔ ∃𝑣(Vtx‘𝐺) = {𝑣}))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ↔ ∃𝑣(Vtx‘𝐺) = {𝑣})
4		ral0 4463	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑛 ∈ ∅ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒
5		eleq2 2820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐾 ∈ {𝑣}))
6		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 = 𝑣 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
7		sneq 4586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 = 𝑣 → {𝐾} = {𝑣})
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 = 𝑣 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → {𝐾} = {𝑣})
9	6, 8	difeq12d 4077	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 = 𝑣 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ({𝑣} ∖ {𝑣}))
10		difid 4326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑣} ∖ {𝑣}) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 = 𝑣 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅)
12	11	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 = 𝑣 → ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅))
13		elsni 4593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑣} → 𝐾 = 𝑣)
14	12, 13	syl11 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ {𝑣} → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅))
15	5, 14	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅))
16	15	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = {𝑣} ∧ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅)
17	16	raleqdv 3292	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = {𝑣} ∧ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ ∀𝑛 ∈ ∅ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒))
18	4, 17	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = {𝑣} ∧ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
19	18	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒))
20	19	exlimiv 1931	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣(Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒))
21	3, 20	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒))
22	21	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
23	22	nbgr0edglem 29332	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
24	23	ex 412	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
25		df-nel 3033	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) ↔ ¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺))
26		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
27	26	nbgrnvtx0 29315	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
28	25, 27	sylbir 235	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
29	28	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
30	24, 29	pm2.61i 182	1 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3032  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  {csn 4576  {cpr 4578  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1c1 11004  ♯chash 14234  Vtxcvtx 28972  Edgcedg 29023   NeighbVtx cnbgr 29308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9791  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-hash 14235  df-nbgr 29309

This theorem is referenced by:  rusgr1vtx  29565