Theorem nbgr1vtx 29617

Description: In a graph with one vertex, all neighborhoods are empty. (Contributed by AV, 15-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nbgr1vtx	⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)

Proof of Theorem nbgr1vtx

Dummy variables 𝑒 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6884	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
2		hash1snb 14446	. . . . . . 7 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ V → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ↔ ∃𝑣(Vtx‘𝐺) = {𝑣}))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ↔ ∃𝑣(Vtx‘𝐺) = {𝑣})
4		ral0 4455	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑛 ∈ ∅ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒
5		eleq2 2854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐾 ∈ {𝑣}))
6		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 = 𝑣 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
7		sneq 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 = 𝑣 → {𝐾} = {𝑣})
8	7	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 = 𝑣 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → {𝐾} = {𝑣})
9	6, 8	difeq12d 4084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 = 𝑣 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ({𝑣} ∖ {𝑣}))
10		difid 4332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑣} ∖ {𝑣}) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 = 𝑣 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅)
12	11	ex 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 = 𝑣 → ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅))
13		elsni 4602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑣} → 𝐾 = 𝑣)
14	12, 13	syl11 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ {𝑣} → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅))
15	5, 14	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅))
16	15	imp 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = {𝑣} ∧ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅)
17	16	raleqdv 3323	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = {𝑣} ∧ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ ∀𝑛 ∈ ∅ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒))
18	4, 17	mpbiri 261	. . . . . . . 8 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = {𝑣} ∧ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
19	18	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒))
20	19	exlimiv 1953	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣(Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒))
21	3, 20	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒))
22	21	impcom 412	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
23	22	nbgr0edglem 29615	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
24	23	ex 417	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
25		df-nel 3065	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) ↔ ¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺))
26		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
27	26	nbgrnvtx0 29598	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
28	25, 27	sylbir 238	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
29	28	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
30	24, 29	pm2.61i 184	1 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3064  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  {csn 4585  {cpr 4587  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1c1 11089  ♯chash 14357  Vtxcvtx 29255  Edgcedg 29306   NeighbVtx cnbgr 29591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-hash 14358  df-nbgr 29592

This theorem is referenced by:  rusgr1vtx  29847