Theorem nbgr1vtx 29285

Description: In a graph with one vertex, all neighborhoods are empty. (Contributed by AV, 15-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nbgr1vtx	⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)

Proof of Theorem nbgr1vtx

Dummy variables 𝑒 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6871	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
2		hash1snb 14384	. . . . . . 7 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ V → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ↔ ∃𝑣(Vtx‘𝐺) = {𝑣}))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ↔ ∃𝑣(Vtx‘𝐺) = {𝑣})
4		ral0 4476	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑛 ∈ ∅ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒
5		eleq2 2817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐾 ∈ {𝑣}))
6		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 = 𝑣 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
7		sneq 4599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 = 𝑣 → {𝐾} = {𝑣})
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 = 𝑣 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → {𝐾} = {𝑣})
9	6, 8	difeq12d 4090	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 = 𝑣 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ({𝑣} ∖ {𝑣}))
10		difid 4339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑣} ∖ {𝑣}) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 = 𝑣 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅)
12	11	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 = 𝑣 → ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅))
13		elsni 4606	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑣} → 𝐾 = 𝑣)
14	12, 13	syl11 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ {𝑣} → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅))
15	5, 14	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅))
16	15	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = {𝑣} ∧ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) = ∅)
17	16	raleqdv 3299	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = {𝑣} ∧ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ ∀𝑛 ∈ ∅ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒))
18	4, 17	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = {𝑣} ∧ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
19	18	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒))
20	19	exlimiv 1930	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣(Vtx‘𝐺) = {𝑣} → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒))
21	3, 20	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒))
22	21	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
23	22	nbgr0edglem 29283	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
24	23	ex 412	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
25		df-nel 3030	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) ↔ ¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺))
26		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
27	26	nbgrnvtx0 29266	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
28	25, 27	sylbir 235	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
29	28	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
30	24, 29	pm2.61i 182	1 ⊢ ((♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3029  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  {csn 4589  {cpr 4591  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1c1 11069  ♯chash 14295  Vtxcvtx 28923  Edgcedg 28974   NeighbVtx cnbgr 29259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-hash 14296  df-nbgr 29260

This theorem is referenced by:  rusgr1vtx  29516