Theorem nbgr0vtxlem 26840

Description: Lemma for nbgr0vtx 26841 and nbgr0edg 26842. (Contributed by AV, 15-Nov-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nbgr0vtxlem.v	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)

Assertion

Ref	Expression
nbgr0vtxlem	⊢ (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐺,𝑛   𝑒,𝐾,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑛)

Proof of Theorem nbgr0vtxlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	nbgrval 26821	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = {𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒})
4	3	ad2antrl 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) ∧ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝜑)) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = {𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒})
5		nbgr0vtxlem.v	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
6	5	ad2antll 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) ∧ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝜑)) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
7		rabeq0 4224	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒)
8	6, 7	sylibr 226	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) ∧ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝜑)) → {𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝐾}) ∣ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝐾, 𝑛} ⊆ 𝑒} = ∅)
9	4, 8	eqtrd 2814	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) ∧ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝜑)) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
10	9	expcom 406	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝜑) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
11	10	ex 405	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝜑 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)))
12	11	com23 86	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)))
13		df-nel 3074	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) ↔ ¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺))
14	1	nbgrnvtx0 26824	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
15	13, 14	sylbir 227	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
16	15	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
17		nbgrprc0 26819	. . 3 ⊢ (¬ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)
18	17	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅))
19	12, 16, 18	pm2.61nii 179	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 NeighbVtx 𝐾) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ∉ wnel 3073  ∀wral 3088  ∃wrex 3089  {crab 3092  Vcvv 3415   ∖ cdif 3826   ⊆ wss 3829  ∅c0 4178  {csn 4441  {cpr 4443  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  Vtxcvtx 26484  Edgcedg 26535   NeighbVtx cnbgr 26817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fv 6196  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-nbgr 26818

This theorem is referenced by:  nbgr0vtx  26841  nbgr0edg  26842  nbgr1vtx  26843