Theorem norn 27714

Description: The range of a surreal is a subset of the surreal signs. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
norn	⊢ (𝐴 ∈ No → ran 𝐴 ⊆ {1o, 2o})

Proof of Theorem norn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27708	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		frn 6754	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → ran 𝐴 ⊆ {1o, 2o})
3	2	rexlimivw 3157	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → ran 𝐴 ⊆ {1o, 2o})
4	1, 3	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ran 𝐴 ⊆ {1o, 2o})

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  {cpr 4650  ran crn 5701  Oncon0 6395  ⟶wf 6569  1_oc1o 8515  2_oc2o 8516   No csur 27702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-no 27705

This theorem is referenced by:  elno2  27717  nofv  27720  sltres  27725  noextend  27729  noextendseq  27730  nosepssdm  27749  nodenselem8  27754  nolt02olem  27757  nosupno  27766  noinfno  27781