Theorem ntrf2 43791

Description: The interior function is a map from the powerset of the base set to itself. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrrn.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
ntrrn.i	⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ntrf2	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋)

Proof of Theorem ntrf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrrn.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		ntrrn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)
3	1, 2	ntrf 43790	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝐽)
4	1	toptopon 22910	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5		topgele 22923	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ({∅, 𝑋} ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋))
6	4, 5	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ({∅, 𝑋} ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋))
7	6	simprd 494	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋)
8	3, 7	fssd 6745	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  ∅c0 4325  𝒫 cpw 4607  {cpr 4635  ∪ cuni 4913  ⟶wf 6550  ‘cfv 6554  Topctop 22886  TopOnctopon 22903  intcnt 23012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-top 22887  df-topon 22904  df-ntr 23015

This theorem is referenced by:  ntrelmap  43792