Theorem ntrf2 44156

Description: The interior function is a map from the powerset of the base set to itself. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrrn.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
ntrrn.i	⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ntrf2	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋)

Proof of Theorem ntrf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrrn.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		ntrrn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)
3	1, 2	ntrf 44155	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝐽)
4	1	toptopon 22830	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5		topgele 22843	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ({∅, 𝑋} ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋))
6	4, 5	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ({∅, 𝑋} ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋))
7	6	simprd 495	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋)
8	3, 7	fssd 6668	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4550  {cpr 4578  ∪ cuni 4859  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  Topctop 22806  TopOnctopon 22823  intcnt 22930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-top 22807  df-topon 22824  df-ntr 22933

This theorem is referenced by:  ntrelmap  44157