Theorem ntrf2 45231

Description: The interior function is a map from the powerset of the base set to itself. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrrn.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
ntrrn.i	⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ntrf2	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋)

Proof of Theorem ntrf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrrn.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		ntrrn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)
3	1, 2	ntrf 45230	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝐽)
4	1	toptopon 23242	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5		topgele 23255	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ({∅, 𝑋} ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋))
6	4, 5	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ({∅, 𝑋} ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋))
7	6	simprd 501	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋)
8	3, 7	fssd 6730	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896  ∅c0 4277  𝒫 cpw 4556  {cpr 4586  ∪ cuni 4866  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  Topctop 23218  TopOnctopon 23235  intcnt 23342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-top 23219  df-topon 23236  df-ntr 23345

This theorem is used by:  ntrelmap  45232