Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrf2 43548
Description: The interior function is a map from the powerset of the base set to itself. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrrn.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
ntrrn.i 𝐼 = (intβ€˜π½)
Assertion
Ref Expression
ntrf2 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐼:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋)

Proof of Theorem ntrf2
StepHypRef Expression
1 ntrrn.x . . 3 𝑋 = βˆͺ 𝐽
2 ntrrn.i . . 3 𝐼 = (intβ€˜π½)
31, 2ntrf 43547 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐼:𝒫 π‘‹βŸΆπ½)
41toptopon 22812 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5 topgele 22825 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ ({βˆ…, 𝑋} βŠ† 𝐽 ∧ 𝐽 βŠ† 𝒫 𝑋))
64, 5sylbi 216 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ ({βˆ…, 𝑋} βŠ† 𝐽 ∧ 𝐽 βŠ† 𝒫 𝑋))
76simprd 495 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 βŠ† 𝒫 𝑋)
83, 7fssd 6734 1 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐼:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3945  βˆ…c0 4318  π’« cpw 4598  {cpr 4626  βˆͺ cuni 4903  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  Topctop 22788  TopOnctopon 22805  intcnt 22914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-top 22789  df-topon 22806  df-ntr 22917
This theorem is referenced by:  ntrelmap  43549
  Copyright terms: Public domain W3C validator