Theorem ntrf2 43389

Description: The interior function is a map from the powerset of the base set to itself. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrrn.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
ntrrn.i	⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ntrf2	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋)

Proof of Theorem ntrf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrrn.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		ntrrn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)
3	1, 2	ntrf 43388	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝐽)
4	1	toptopon 22743	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5		topgele 22756	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ({∅, 𝑋} ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋))
6	4, 5	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ({∅, 𝑋} ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋))
7	6	simprd 495	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋)
8	3, 7	fssd 6726	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3941  ∅c0 4315  𝒫 cpw 4595  {cpr 4623  ∪ cuni 4900  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  Topctop 22719  TopOnctopon 22736  intcnt 22845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-top 22720  df-topon 22737  df-ntr 22848

This theorem is referenced by:  ntrelmap  43390