Theorem ntrelmap 44114

Description: The interior function is a map from the powerset of the base set to itself. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrrn.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
ntrrn.i	⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ntrelmap	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋))

Proof of Theorem ntrelmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrrn.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		ntrrn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)
3	1, 2	ntrf2 44113	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋)
4	1	topopn 22927	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
5	4	pwexd 5384	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝒫 𝑋 ∈ V)
6	5, 5	elmapd 8878	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐼 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋) ↔ 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋))
7	3, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477  𝒫 cpw 4604  ∪ cuni 4911  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ↑_m cmap 8864  Topctop 22914  intcnt 23040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-map 8866  df-top 22915  df-topon 22932  df-ntr 23043

This theorem is referenced by: (None)